高三数学理一轮复习课件第2章第五讲对数与对数函数

1、目 录 Contents,考情精解读,考点1,考点2,A.知识全通关,B.题型全突破,考法1,考法2,考法4,考法3,考情精解读,考纲解读,命题趋势,命题规律,1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a0,且a1).,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,考纲解读,命题规律,命题趋势,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,考纲解读,命题规律,返回目录

2、,1.热点预测对数函数的性质是高考的热点,题型一般为选择题、填空题,属中低档题,主要考查利用对数函数的性质比较对数值大小,求定义域、值域、最值以及对数函数与相应指数函数的关系. 2.趋势分析预测2018年高考将以对数函数的性质为主要考点,考查逻辑思维能力.,命题趋势,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,知识全通关,考点一对数与对数运算,继续学习,1.对数的概念 一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作 x=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作真数. 由此可得对数式与指数式的互化: ax=NlogaN=x(a0且a1). 说明 两个重要对数:常用对数,以10为

3、底的对数lgN;自然对数,以无理数e=2.718 28为底的对数lnN. 2.对数的性质 (1)负数和零没有对数,即N0; (2)1的对数等于0,即loga1=0; (3)底数的对数等于1,即logaa=1; (4)对数恒等式alogaN=N(N0); (5)logaax=x.其中a0,且a1.,_,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,继续学习,3.对数的运算性质 如果a0,且a1,M0,N0,那么: (1)loga(MN)=logaM+logaN; (2)loga =logaM-logaN; (3)logaMn=nlogaM(nR). 对数的运算性质实质就是把积、商、幂的对数运算转化为对数的

4、加、减、乘的运算. 4.对数的换底公式 换底公式: logab= lo g lo g (a0,且a1;c0,且c1;b0). 应用换底公式时,一般选用e或10作为底数.,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,继续学习,1.换底公式的变形: (1)logablogba=1,即logab= 1 lo g ; (2)lo g bn= logab; (3)logNM= lo g lo g = lo g lo g . 2.换底公式的推广:logablogbclogcd=logad.,【通关秘籍】,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,考点二对数函数的图象与性质,1.对数函数的概念 函数 y=logax (a

5、0,且a1)叫作对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是 (0,+). 2.对数函数的图象和性质,继续学习,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,【规律总结】,(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”:当a1时,对数函数的图象“上升”;当01还是0a1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. (3)作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标为该对数函数的底数,由此可判断多个对数函数底数的大小关系.,继续学习,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,继续学习,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,题型全突破,考法一对数式的运算,继续学习,考法指导解决对数式的运算问题,主要

6、依据是对数的运算性质.常用的方法有: (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简; (2)将同底对数的和、差、倍合并; (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用; (4)利用常用对数中的lg2+lg5=1; (5)对于多重对数符号的化简,应从内向外逐层化简; (6)在计算真数是“ ”的式子时,常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”; (7)利用对数的运算法则,可以把乘、除、乘方的运算转化为对数的加、减、乘运算,反之亦然,这种运算的互化可简化计算过程,加快计算速度.,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,继续学习,数学 第二章第五讲 对数与对数函数

7、,考法示例1计算:(1)lg 25+lg 2lg 50+(lg 2)2; (2) (lg3 ) 2 lg9+1 (lg 27 +lg8lg 1 000 ) lg0.3lg1.2 ; (3)(log32+log92)(log43+log83). 思路分析 解析 (1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)lg 2+ 2lg 5=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.,继续学习,(2)原式= (lg3 ) 2 2lg3+1 ( 3 2 lg3+3lg2 3 2 ) (lg31)(lg3+2lg21) = (1lg3) 3 2

8、(lg3+2lg21) (lg31)(lg3+2lg21) =- 3 2 . (3)原式=( lg2 lg3 + lg2 lg9 )( lg3 lg4 + lg3 lg8 )=( lg2 lg3 + lg2 2lg3 )( lg3 2lg2 + lg3 3lg2 )= 3lg2 2lg3 5lg3 6lg2 = 5 4 .,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,继续学习,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,考法示例2已知log189=a,18b=5,求log3645. 思路分析,解析解法一因为log189=a,18b=5,所以log185=b,于是log3645= lo g 18 45 lo g

9、 18 36 = lo g 18 (95) 1+lo g 18 2 = + 1+lo g 18 18 9 = + 2 . 解法二因为log189=a,18b=5,所以lg 9=alg 18,lg 5=blg 18,所以log3645= lg45 lg36 = lg(95) lg 1 8 2 9 = lg9+lg5 2lg18lg9 = lg18+lg18 2lg18lg18 = + 2 .,继续学习,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,在解决对数的化简与求值问题时,要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式,同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化.,继

10、续学习,【突破攻略】,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,继续学习,考法指导1.函数图象过定点问题,主要是根据函数y=logax的图象过定点(1,0),进行平移求解. 2.图象的识别问题,主要是依据底数确定图象是上升还是下降、图象的位置、图象所过定点、图象与坐标轴的交点等,然后求解. 3.利用数形结合法解决与对数函数有关的大小比较、方程、不等式、取值范围以及过定点等问题.,考法二 对数函数的图象及其应用,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,继续学习,考法示例3函数y=logax与y=-x+a在同一坐标系中的图象可能是 思路分析 解析当a1时,函数y=logax的图象为选项B,D中过点(1,0)

11、的曲线,此时函数y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a1,选项B,D中的图象都不符合要求; 当0a1时,函数y=logax的图象为选项A,C中过点(1,0)的曲线,此时函数y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0a1,选项A中的图象符合要求,选项C中的图象不符合要求. 答案A,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,在解决对数函数图象的相关问题时,要注意:(1)底数a的值对函数图象的影响;(2)指数函数的图象与对数函数的图象关于直线y=x对称;(3)增强数形结合的解题意识,使抽象问题具体化.,返回目录,【突破攻略】,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,考法3 对数函数的性质及其应

12、用,继续学习,考法指导1.比较对数式的大小 (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论. (2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较. 2.求函数的单调性 解决与对数函数有关的函数的单调性问题的方法步骤: (1)求出函数的定义域; (2)判断对数函数的底数与1的关系,当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时,要考查其单调性,就必须对底数进行分类讨论.,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,(3)判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”

13、原则判断函数的单调性. 注意 研究对数型复合函数的单调性,一定要坚持“定义域优先”原则,否则所得范围易出错,继续学习,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,继续学习,考法示例4设a=log3,b=log2 3 ,c=log3 2 ,则 A.abcB.acbC.bacD.bca 思路分析借助中间值1比较a,b的大小,观察b,c的特征,可用二者的商与1比较,得到b,c的大小关系. 解析因为a=log3log33=1,b=log2 3 b,又 = 1 2 lo g 2 3 1 2 lo g 3 2 =(log23)21,b0,所以bc,故abc. 答案A,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,考法示例5

14、已知a0且a1,若函数f(x)=loga(ax2-x)在3,4上是增函数,则a的取值范围是. 思路分析对底数a按a1和01时,要使f(x)=loga(ax2-x)在3,4上单调递增,则y=ax2-x在3,4上单调递增,且y=ax2-x0恒成立,即 1, 1 2 3, 930, 解得a1. 当00恒成立,即 00, 此时无解.综上可知,a的取值范围是(1,+).,继续学习,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式的问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a的取值对函数单调性的影响,及真数必须为正的限制条件.,继续学习,【突破

15、攻略】,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,考法指导1.利用“反函数”的性质解题 指数函数与对数函数是互为反函数的关系,当题目中出现指数函数与对数函数时,可以联想“反函数”,结合互为反函数的两个函数的性质(图象关于直线y=x对称),利用数形结合进行求解;若出现f(f(a)=b,也可以利用“互为反函数”的两个函数的性质(若f(x)图象上有一点(a,b),则(b,a)在其反函数图象上)来转化问题. 2.与指数型函数有关的恒成立问题 与指数型函数有关的恒成立问题,通常采取转化与化归的思想,即当a1时,af(x)ag(x)恒成立f(x)g(x)恒成立f(x)-g(x)0恒成立f(x)-g(x)min0

16、,再构造函数h(x)=f(x)-g(x),求出h(x)的最小值即可.当0a1时,af(x)ag(x)恒成立f(x)g(x)恒成立f(x)-g(x)0恒成立f(x)-g(x)max0,进一步求得相应函数的最大值即可.,考法4 指数函数、对数函数的综合问题,继续学习,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,继续学习,3.与对数型函数有关的恒成立问题 与对数型函数有关的恒成立问题多与其定义域和值域有关.对于函数y=logaf(x),若定义域为R(即对任意x都有意义),则f(x)0在R上恒成立;若函数y=logaf(x)的值域为R,则函数f(x)能取所有正实数.,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,考法示

17、例6设点P在曲线y= 1 2 ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为 A.1-ln 2B. 2 (1-ln 2) C.1+ln 2D. 2 (1+ln 2) 解析根据函数y= 1 2 ex和函数y=ln 2x的图象可知两函数图象关于直线y=x对称,故要求|PQ|的最小值可转化为求与直线y=x平行且与两曲线相切的直线间的距离,设曲线y= 1 2 ex上的切点为A(m,n),则A到直线y=x的距离的2倍即所求最小值.因为y=( 1 2 ex)= 1 2 ex,则 1 2 em=1,所以m=ln 2,切点A的坐标为(ln 2,1),切点到直线y=x的距离为d= |ln21| 2 = 1ln2 2 ,所以2d= 2 (1-ln 2). 答案B,继续学习,数学 第二章第五讲 对数与对数函数,继续学习,考法示例7已知f(x)=ln(x2+1),