【概率论与数理统计经典计算题题2】期末复习题含答案

1、概率论与数理统计计算题（含答案）计算题1.一个盒子中装有6只晶体管，其中2只是不合格品。现作不放回抽样，接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：（1）2只都是合格品；（2）1只是合格品，1只是不合格品；（3）至少有1只是合格品。1-2,9-2.设甲，乙，丙三个工厂生产同一种产品，三个厂的产量分别占总产量的20%，30%，50%，而每个工厂的成品中的次品率分别为5%，4%，2%，如果从全部成品中抽取一件，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率。3.设随机变量的分布函数为，试求：（1）密度函数；（2）， 。4.二维随机变量只能取下列数组

2、中的值：，且取这些组值的概率分别为。求这二维随机变量分布律，并写出关于和关于的边缘分布律。5. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，试求下列事件的概率：（1）其中恰好有一位精通英语；（2）其中恰好有两位精通英语；（3）其中有人精通英语。6.某大型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品。在使用者中，假定有90人的药检呈阳性，而在未使用者中也有5人检查为阳性。如果一个运动员的药检是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率是多少？7.设随机变量的密度函数为，试求：（1）常数；（2） 。8. 设二维随机变量(X，Y)的分布律为求：(1)(X，Y)关于X的边缘

3、分布律；(2)X+Y的分布律9 已知，求,。10设某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的70%，10%，20%，成品中次品的百分比分别为2%，3%，5%，求检测的次品，是甲车间生产的概率。11确定常数，使得成为某个随机变量的分布律，并求。12设，求。 13设球体的直径服从上的均匀分布,求体积的概率密度。14已知随机变量(X,Y)甲、乙两种情形的联合分布:甲 乙 X Y 1435/367/3667/3617/36 X Y 1431/121/461/45/12分别求出 X、Y 的边缘分布，并根据结果说明联合分布与边缘分布的关系。15. 设随机变量，的联合分布如下图，

4、求以下随机变量的分布律：X Y123000.1010.30.2020.10.10.216. 已知，求,，。17.设某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一零件，各个车间的产量分别占总产量的10%，50%，40%，成品中次品的百分比分别为4%，2%，3%，求检测为次品，是丙车间生产的概率。18.确定常数，使得成为某个随机变量的分布律，并求。19. 设随机变量，的联合分布如下图，求以下随机变量的分布律：Y X-104-20.10.2010.20.1020.10.10.2（1）, （2）.20.设，求。21. 设22. 袋子中有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5。从中同时取出3个球，记X为取出的

5、球的最大编号，求X的分布率。23. 某种产品分别由甲、乙、丙三厂生产，甲厂产量占50%，次品率为0.01，乙厂产量占30%，次品率为0.02，丙厂产量占20%，次品率为0.05，求：（1）该产品的次品率；（2）若任取一件，该件是次品，求这件次品来自甲厂的概率。24.设连续型随机变量的分布函数为求：（1）常数A和B；（2）落入（-1，1）的概率；（3）的密度函数25. 设是两个事件，已知，试求及26. 发报台分别以概率0.6，0.4发出信号和，由于通信受到干扰，当发出时，分别以概率0.8和0.2收到和，同样，当发出信号时，收报台分别以0.9和0.1的概率收到和。求(1) 收报台收到信号的概率；(

6、2) 当收到时，发出的概率。27. 已知某商店经销商品的利润率的密度函数为， 求（1）常数； （2）D(X)28. 设随机变量独立同分布，且，记随机变量，求的分布律29袋内放有2个伍分的，3个贰分的和5个壹分的钱币，任取其中5个，求钱额总数超过一角的概率。30某人有一笔资金，他投入基金的概率为，购买股票的概率为，两项投资都做的概率为，求：（1） 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？（2） 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？31已知1班有6名男生，4名女生；2班有8名男生，6名女生。求下列事件的概率：（1）随机抽1个班，再从该班中随机选一学生，该生是男生；（2）合并两个班，从中随机

7、选一学生，该生是男生。32设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车为。今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。33一口袋有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字的分布律与分布函数。34设随机变量的分布函数为，求：（1），（2），（3）的密度函数。35某人上班所需的时间（单位：min）,已知上班时间为8：30，他每天7：50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。36国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是一个随机变量，它在200

8、0，4000（单位：t）上服从均匀分布。若每售出一吨，可获得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大。37. 假定某工厂甲，乙，丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的。若各车间的次品率依次为，现在从待出厂产品中检查出1个次品，试判断它是由丙车间生产的概率。38甲,乙两名射手在一次射击中得分(分别用, 表示)的分布律如表1,表2所示. 试比较甲乙两射手的技术.39两个相互独立的事件与，与都不发生的概率为 ，发生不发生的概率与不发生发生的概率相等，求。40设二维随机变量的联合密度函数为，求(1)系数；（2）；（3）证明与相互独立。41某地抽样

9、调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）服从正态分布，且96分以上的考生占考生总数的，试求考生的外语成绩在60至84分之间的概率。（）42国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是一个随机变量，它在2000，4000（单位：t）上服从均匀分布。若每售出一吨，可获得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大。43. 设随机变量X的概率密度为试求：（1）；（2）；（3）。四、综合题1.设随机变量独立同分布，且，（1）记随机变量，求的分布律；（2）记随机变量，求的分布律。2.某商店经销商品的利润率的密度函数为，求，。3.某人上班路上所需时间（单位：min

10、），已知上班时间是8:30，他每天7:50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周(以5天计)最多迟到一次的概率。4. 设随机变量的分布函数是(1) 求随机变量的分布律; (2)若随机变量, 求。5. 甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船至少有一艘在停靠泊位时需要等待的概率。6. 设随机变量的联合分布如右表 且相互独立，求的值.X Y012 11/61/181/93 1/3ab7. 已知二维随机变量联合分布律为Y X124-11/243/242/2402/244/2422/243/241/24（1）求数； （2）证明：与不相互独立。8.一个

11、均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色. 现以 分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，证明：两两独立，而 不相互独立。9-.设二维随机变量的概率密度为求:(1)随机变量X的边缘概率密度; (2)概率PX+Y1。10. 司机通过某高速路收费站等候的时间X（单位：分钟）服从参数为=的指数分布.（1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p；（2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y的分布律，并求PY1.五、证明题1.设为任意随机事件，证明：。2.某次大型体育运动会有1000名运动员

12、参加，其中有100人服用了违禁药物。在使用者中，假定有90人的药物检查呈阳性，而未使用者中也有5人检验结果呈阳性。试证明：如果一个运动员的药物检查结果是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率超过90%。3. 4. 设二维随机变量（X，Y）具有密度函数证明：X与Y是否相互独立。5设随机变量，是其分布函数，证明。6. 设事件发生，则事件一定发生，证明。 7. 若随机变量服从，试证服从。六、分析题1. 随机抽样谢村和杨村的半年收入分别如下（万元）：X1000000P1/51/51/51/51/5Y510203035P1/51/51/51/51/5 试用数学期望、方差、中位数，说明两个村的富裕程度。

13、2.（8分）已知随机变量(X,Y)甲、乙两种情形的联合分布: X Y 2521/31/651/61/3 X Y 2521/41/451/41/4 分别求出 X、Y 的边缘分布，并根据结果说明联合分布与边缘分布的关系。3. 随机抽样谢村和杨村的月收入分别如下（万元）：X500000P1/51/51/51/51/5Y28101218P1/51/51/51/51/5 试用数学期望、方差、中位数，说明两个村的富裕程度。七、应用题1. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从的指数分布，其密度函数为，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务

14、就离开的概率；（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中只有一次未等到服务的概率。2. 某保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年需交付保险费160元，若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获2万元赔金，已知该市人员一年内发生生大人身事故的概率为0.005（假设每人发生事故是相互独立的），现有5000人参加此项保险，求保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40万元的概率是多少？3. 设随机变量服从参数的指数分布，即，现在对进行3次独立观测，求：（1）的观测值大于1的概率；（2）至少有2次观测值大于1的概率4. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量。 设一个学

15、生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.75，0.2。 若学校共有1000名学生， 设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布，求有1名家长来参加会议的学生数不多于777的概率.（注： ）三、计算题1、解：设A表示取到的都是合格品，则 设B表示取到的一个合格品一个次品，则 设C表示至少有是一个合格品，则 2、解： 设A，B，C表示产品来自甲乙丙三个工厂，D表示抽到次品，则有以下概率 由全概率公式，得 由贝叶斯公式，得 3、解：（1） （2） ， （3） 4、解：由已知可得联合分布律为： Y X0 1-100002X PY P 5、解：设A表示恰好有一位精通英语，

16、则 设B表示恰好有2位精通英语，则 设C表示有人精通英语，则 6、解： 设A表示服用违禁药，B表示检查呈阳性，则有以下概率 由全概率公式，得 由贝叶斯公式，得 7、解：（1） （2） 8、解：由已知可得X的边缘分布律为：X P由已知可得X+Y的分布律为X+Y P9. 解：(1) ， .(2) ，。 10. 解：设事件分别为甲乙丙车间生产的产品，事件次品， 由全概率公式得： 由贝叶斯公式得： 11.解：由条件得：，则 ； 且. 12.解： 13. 解：由于直径服从上均匀分布,所以其概率密度函数为. 而两随机变量有，则其反函数为 ，且其导数的绝对值为， 由性质得的概率密度 X36P1/32/3Y1

17、4P1/32/314.解：情形甲、乙中，X、Y的边缘分布都分别为： 甲、乙两种情形的联合分布不同，但X、Y的边缘分布却相同，因此他们的关系是：联合分布决定边缘分布，但边缘分布不能决定联合分布。 15. 解: 的分布律列出下表：P00.100.30.200.10.10.2(X,Y)(0,1)(0,2)(0,3)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)X-Y-1-2-30-1-210-1XY000123246所以，（1）的分布律为：X-Y-3-2-101P00.10.40.40.1（2）的分布律为：XY012346P0.10.30.300.10.216. 解：因为(1) ， (

18、2) ， 。 17. 解：设事件分别为甲乙丙车间生产的产品，事件次品， 由全概率公式得： 由贝叶斯公式得： 18.解：由条件得： ，则 ； 且 19.解: 的分布律, 列出下表：P0.10.20.10.20.10.1000.2(X,Y)(-1,-2)(-1,1)(-1,2)(0,-2)(0,1)(0,2)(4,-2)(4,1)(4,2)2X+Y-4-10-2126910X/Y1/2-1-1/2000-242 (4分)所以，（1）的分布律为：X+2Y-4-2-10126910P0.10.20.20.10.10.1000.2（2）的分布律为：X/Y-2-1-1/201/224P00.20.10.4

19、0.10.2020.解： 21. 解：22. 解：于是X的分布律为3 4 5 23.解：用B表示产品是次品，A1表示甲厂的产品，A2表示乙厂的产品，A3表示丙厂的产品。（1） 。 （2）， 24. 解：(1)由，有： 解之有：， (2) (3) 25.解： 因为 ，所以 于是， .26.解： 记 收到信号，发出信号(1) (2) . 28.解：由题可以得X,Y的分布列为 X10P1/43/4X10P1/43/4 Z的可能取值为0,1,2，且X与Y相互独立，所以P(Z=0)=P(X=0，Y=0)= P(X=0)P(Y=0)= P(Z=1)=P(X=0，Y=1)+ P(X=1，Y=0)= P(X=

20、0)P(Y=1)+ P(X=1)P(Y=0) =P(Z=2)=P(X=1，Y=1)= P(X=1)P(Y=1)= 分布律为：X012P9/166/161/1629解：设，于是有。由题意可知，当取两个5分币，其余的三个可以任取，其种数为： 而当取一个5分币，2分币至少要取2个，其种数为： 因此有利于事件的基本事件总数： 故 30解：记 ，则（1）；（2）。31解：（1）记，已知 ， 所以 ，。 （2） 32解：记，则。由贝叶斯公式有 。33. 解：依题意可能取的值为-3，1，2，则 的分布律为，分布函数为。 34. 解：（1）； （2） （3）由分布函数与密度函数的关系，可得在的一切连续点处有，

21、因此。 35. 解：（1）由题意知某人路上所花时间超过40 min，他就迟到了，因此所求概率为 （2）记为5天中某人迟到的次数，则服从的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为 36. 解：设随机变量表示平均收益（单位：万元），进货量为 ， 则 。 要使得平均收益最大，所以令，得。 37解：设分别表示“产品为甲，乙，丙车间生产的”，表示“产品为次品”，则构成一个完备事件组。 依题意，有 由贝叶斯定理，有 38解： 乙的技术好 39. ，与相互独立，与，与，与都相互独立 由得 又由得 40. 解： (1) 由联合密度函数的性质，得 （2） （3）与相互独立。 41. 解：本题中未知，由，得，查表得即。则。 42. 解：设随机变量表示平均收益（单位：万元），进货量为 ， 则 。 要使得平均收益最大，所以令，得。43、解：(1)E(X)=dx= =dx=2D(X)=-=2-= （2）D(2-3x)=D(-3x)=9D(X)