高中数学 2.2.2反证法教学案 新人教A版选修2-2

1、2. 2.2反证法 课前预习学案一、预习目标： 使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题.二、预习内容：提出问题：问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？学生尝试用直接证明的方法解释。采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次这个矛盾说明

2、假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上问题2：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？分析:假设C没有撒谎, 则C真.那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.推进新课在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究

3、学案一、 学习目标（1）使学生了解反证法的基本原理；（2）掌握运用反证法的一般步骤；（3）学会用反证法证明一些典型问题.二、学习过程： 例1、已知直线和平面，如果，且，求证。解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；证明：因为, 所以经过直线a , b 确定一个平面。因为，而，所以 与是两个不同的平面因为，且，所以. 下面用反证法证明直线a与平面没有公共点假设直线a 与平面有公共点，则，即点是直线 a 与b的公共点，这与矛盾所以 .点评：用反证法的基本步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

4、第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分. 例2、求证：不是有理数解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法假设不是无理数，那么它就是有理数我们知道，任一有理数都可以写成形如（互质， ”的形式下面我们看看能否由此推出矛盾证明：假设不是无理数，那么它就是有理数于是，存在互质的正整数，使得，从而有, 因此，所以 m 为偶数于是可设 ( k 是正整数），从而有，即所以n也为偶数这与 m , n 互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而是无理数点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设

5、，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。变式训练2、已知，求证：（且）例3、设二次函数， 求证：中至少有一个不小于.解析：直接证明中至少有一个不小于.比较困难，我们应采用反证法证明：假设都小于，则 （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有 （2） （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。点评：结论为“至少”、“至多”等时，我们应考虑用反证法解决。变式训练3、设0 a, b, c 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于 反思总结： 1.反证法的基本步骤：（1）假设命题结

6、论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确2.归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。3.应用反证法的情形：(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论；（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题； （4结论为 “唯一”类命题；当堂检测：1. 证明不可能成等差数列2设，求证证明：假设，则有，从而 因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。课后练习与提高一、选择题1用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）假设都是偶数假设都不是偶数假设至多有一个是偶数假设至多有两个是偶数2（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，（2）已知，求证方程的两根的绝对值都小于1用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（）与的假设都错误与的假设都正确的假设正确；的假设错误的假设错误；的假设正确3命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）有两个内角是钝角有三个内角是钝角至少有两个内角是