高考数学一轮复习第十二章不等式选讲第讲绝对值不等式学案

1、第69讲绝对值不等式考纲要求考情分析命题趋势1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1).(2).2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：c，c，c.2017全国卷，232016全国卷，242016全国卷，242016江苏卷，21(D)解绝对值不等式是本部分在高考中的重点考查内容，其中以解含有两个绝对值的不等式为主.分值：510分1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么，当且仅当_ab0_时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么，当且仅当_(ac)(cb)0_时，等号成立2含绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式a，a的解集不等式a0a

2、0a0a_x|axa_a_x|xa或xa_x|xR且x0_R_(2)c(c0)和c(c0)型不等式的解法ccaxbc；caxbc或axbc.1思维辨析(在括内打“”或打“”)(1)对当且仅当ab0时等号成立()(2)对当且仅当时等号成立()(3)对当且仅当ab0时等号成立()(4)c的解等价于caxbc.()(5)不等式2的解集为.()2设ab0，a，bR，那么正确的是(C)ABCD解析 由ab0，得a，b异号，易知|ab|ab|，|ab|a|b|，|ab|a|b|，C项成立，A，B，D项均不成立3不等式13的解集为(D)A(0,2)B(2,0)(2,4)C(4,0)D(4，2)(0,2)解析

3、 1|x1|31x13或3x110x2或4x2.4不等式|2x1|23x的解集是(C)ABCD解析 |2x1|23x3x22x123xx.5若不等式|3xb|4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为_(5,7)_解析 由|3xb|4得43xb4，即x，不等式|3xb|4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则5b7.一绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x的系数为1(或可化为1)，可选用几何法或图象法求解较为简单若x的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍【例1】 解不等式|x1|x2|5.解析 将原不等式转化为|x1|x2|50，令f(x)|x

4、1|x2|5，则f(x)作出函数的图象，如图所示由图可知，当x(，32，)时，y0，原不等式的解集为(，32，)二绝对值不等式的证明(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明(3)转化为函数问题，数形结合进行证明【例2】 设aR，函数f(x)ax2xa(1x1)，若|a|1，求证：|f(x)|.证明 方法一1x1，|x|1.又|a|1，|f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|x21|x|1|x|2|x|2.方法二设g(a)f(x)ax2xa(x21)ax.1x1，当x1，即x210时，|f(x)|g(a)|1；当1x1

5、，即x210时，g(a)ax2xa是单调递减函数|a|1，1a1，g(a)maxg(1)x2x12；g(a)ming(1)x2x12.g(a)，|f(x)|g(a)|.三绝对值不等式的综合应用对于求y|xa|xb|或y|xa|xb|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便形如y|xa|xb|的函数只有最小值，形如y|xa|xb|的函数既有最大值又有最小值【例3】 已知函数f(x)|2x1|2x3|a.(1)当a0时，解不等式f(x)6；(2)若不等式f(x)3a2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围解析 (1)当a0时，求得f(x)由f(x)6x1或x2.所以不等式的解集是(，12，)(2)因

6、为|2x1|2x3|(2x1)(2x3)|4.所以f(x)min4a，要使f(x)3a2对一切实数x恒成立，只要4a3a2，解得1a.所以实数a的取值范围为.【例4】 (2017全国卷)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围解析 (1)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式化为x2x40，从而1x.所以f(x)g(x)的解集为.(2)当x1,1时，g(x)2.所以f(x)g(x)的解集包含1,1，等价于当x1,1时，f(x)2.又f(

7、x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.故a的取值范围是1,11解不等式|x3|2x1|1.解析 当x3时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x10，x3.当3x时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x，3x.x，原不等式化为(x3)(2x1)1，解得x2，x2.故原不等式的解集为.2(2016全国卷)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|，当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围解析 (1)当a2时，f(x)|2x2|2，解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解

8、集为.(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，当x时等号成立，所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3.当a1时，等价于1aa3，无解当a1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，)3(2018陕西西安模拟)已知函数f(x)|2x1|，xR.(1)解不等式f(x)|x|1；(2)若对于x，yR，有|xy1|，|2y1|，求证：f(x)1.解析 (1)f(x)0，当x0，得x0，无解；当0x时，x(2x1)10，得x0，0时，x(2x1)10，得x2，x2，故不等式f(x)|x|1的解集为x|0x2(2)证明：f(x)|2x1|2(

9、xy1)(2y1)|2|xy1|2y1|20.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解析 (1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)易错点不能正确处理好整体与个体的关系错因分析：先由已知求得x和y的取值范围，再代入求证，致使取值范围扩大造成错误

10、【例1】 已知，求证：.证明 设m(xy)n(2xy)xy，则解得.【跟踪训练1】 (2016江苏卷)设a0，求证：a.证明 因为|x1|，|y2|，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|2a.课时达标第69讲解密考纲对本考点的考查以填空题和解答题为主，填空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等，解答题涉及含有两个绝对值的问题，难度中等1已知f(x)|x1|x2|，g(x)|x1|xa|a(aR)(1)解不等式f(x)5；(2)若不等式f(x)g(x)恒成立，求a的取值范围解析 (1)f(x)|x1|x2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而2对应点到1和2

11、对应点的距离之和正好等于5,3对应点到1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f(x)5的解集为2,3(2)若不等式f(x)g(x)恒成立，即|x2|xa|a恒成立而|x2|xa|(2x)(xa)|a2|，(|x2|xa|)min|a2|，|a2|a，a0或解得a1，故a的取值范围为(，12设f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)若对任意的xR，f(x)4，求实数a的取值范围解析 (1)当a1时，f(x)|x1|x1|其图象如下根据图象易得f(x)3的解集为.(2)由于f(x)|x1|xa|x1|ax|a1|，对任意的xR，f(x)4等价于|a1|4，解得a5或a3

12、，故实数a的取值范围为(，35，)3已知函数f(x)|x2|2xa|，aR.(1)当a3时，解不等式f(x)0；(2)当x(，2)时，f(x)0，即|x2|2x3|0，等价于或或解得1x或x或无解原不等式的解集为.(2)当x(，2)时，f(x)2x|2xa|，f(x)2x，即2xa2x或2xax2，即ax2恒成立，x2，a4.故a的取值范围是4，)4设对于任意实数x，不等式|x7|x1|m恒成立(1)求m的取值范围；(2)当m取最大值时，解关于x的不等式|x3|2x2m12.解析 (1)设f(x)|x7|x1|，则有f(x)当x8，当7x1时，f(x)8，当x1时，f(x)8.综上，f(x)有最小值8，所以m8，故m的取值范围为(，8(2)当m取最大值时，m8.原不等式等价于|x3|2x4，等价于或等价于x3或x3.所以原不等式的解集为.5(2017全国卷)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围解析 (1)f(x)当x2时，由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，故m的取