2017届北师大版数列的综合应用 专项强化训练

1、专项强化训练(三)数列的综合应用一、选择题1.设an,bn分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是()A.a2b2B.a3b5D.a6b6【解析】选A.设an的公差为d,bn的公比为q,由题可得d=-1,q=322,于是a2=3b2=2,故选A.【加固训练】若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则(a1+a2)2b1b2的取值范围是.【解析】由等差数列与等比数列的性质得所以=2+.当x,y同号时,+2;当x,y异号时,+-2.所以的取值范围为(-,04,+).答案:(-,04,+)2.已知数列an,bn满足a1=1,且an,an+

2、1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于()A.24B.32C.48D.64【解析】选D.依题意有anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1.两式相除得=2,所以a1,a3,a5,成等比数列,a2,a4,a6,也成等比数列.而a1=1,a2=2,所以a10=224=32,a11=125=32.又因为an+an+1=bn,所以b10=a10+a11=64.3.设an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5S8,则下列结论错误的是()A.dS5D.S6与S7均为Sn的最大值【解析】选C.因为an是等差数列,所以Sn=n2+a1-d2n.因为S5S8,所以Sn关于

3、n的二次函数开口向下,对称轴为n=6.5,所以d0,S6与S7均为Sn的最大值,S90时,若x=n,nN*,则f(n)=f(n-1)+1=f(0)+n=n;若x不是整数,则f(x)=f(x-1)+1=f(x-x-1)+x+1,其中x代表x的整数部分,由f(x)=x得f(x-x-1)=x-x-1,其中-1x-x-10,y0),已知数列an满足:an=F(n,2)F(2,n)(nN*),若对任意正整数n,都有anak(kN*)成立,则ak的值为()A.89B.2C.1D.4【解析】选A.an=,=,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2(n+1)2,即当n3时,an+1a

4、n,故数列an中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=,故ak的值为.5.甲、乙两间工厂的月产值在2012年1月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小,则有()A.甲的产值小于乙的产值B.甲的产值等于乙的产值C.甲的产值大于乙的产值D.不能确定【解析】选C.设甲各个月份的产值构成数列an,乙各个月份的产值构成数列bn,则数列an为等差数列,数列bn为等比数列,且a1=b1,a11=b11,故a6=b6,由于在等差数列an中

5、的公差不等于0,故a1a11,上面的等号不能成立,故a6b6,即6月份甲的产值大于乙的产值.【方法技巧】建模解数列问题(1)分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系.(2)构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题.(3)通过建立的关系求出相关量.【加固训练】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()A.1和20B.9和10

6、C.9和11D.10和11【解析】选D.设树苗放在第i个树坑旁边(如图所示)则各个树坑到第i个树坑的距离的和是S=10(i-1)+10(i-2)+10(i-i)+10(i+1)-i+10(20-i)=10+=10(i2-21i+210).所以当i=10或11时,S有最小值.二、填空题6.对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列ann+1的前n项和是.【解析】y=xn(1-x)=xn-xn+1,导数为y=nxn-1-(n+1)xn,所以曲线在x=2处的切线斜率为k=n2n-1-(n+1)2n=-(n+2)2n-1,切点为(2,-2n),所以切线方程为y

7、+2n=-(n+2)2n-1(x-2),令x=0得,y+2n=(n+2)2n,即y=(n+1)2n,所以an=(n+1)2n,所以=2n,数列是以2为首项,2为公比的等比数列,所以其前n项和Sn=2n+1-2.答案:2n+1-27.(2015昆明模拟)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(ba)以及实数x(0xa,b-a0,所以x2=1-x,即x2+x-1=0,解得x=.因为0x1,所以最佳乐观系数x的值等于.答案:8.数列an的前n项和为Sn,若数列an的各项按如下规律排列:12,13,23,14,24,34,15,25,35,45,1n,

8、2n,n-1n,有如下运算和结论:a24=38;数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,是等比数列;数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,的前n项和为Tn=n2+n4;若存在正整数k,使Sk10,Sk+110,则ak=57.其中正确的结论有.(将你认为正确的结论的序号都填上)【解析】依题意,将数列an中的项依次按分母相同的项分成一组,第n组中的数的规律是:第n组中的数共有n个,并且每个数的分母均是n+1,分子由1依次增大到n,第n组中的各数和等于=,对于,注意到21=240,即b2b1,当n2时,bn+1-bn0,即bn+1bn,又b1=,

9、b2=2,b3=158,b4=,b5=3532.要使集合M=n|bn,nN*恰有4个元素,须3532.所以,所求实数的取值范围是35325时,bn0.从而当n5时,有Tn=|b1|+|bn|=-(b1+bn)=.当n5时,有Tn=|b1|+|b2|+|bn|=-b1-b2-b3-b4-b5+b6+bn=(b1+b2+bn)-2(b1+b2+b3+b4+b5)=+20.综上所述,Tn=【加固训练】已知等差数列an前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式.(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列|an|的前n项和.【解析】(1)设等差数列的公差为d,根据a1+a2+a3=

10、-3可得a2=-1,进而得a1a3=-8,即(a2-d)(a2+d)=-8,所以1-d2=-8,解得d=3.当d=3时,a1+3=-1,得a1=-4,此时an=-4+(n-1)3=3n-7;当d=-3时,a1-3=-1,得a1=2,此时an=2+(n-1)(-3)=-3n+5.所以an的通项公式为an=3n-7或an=-3n+5.(2)d=3时,a2=-1,a3=2,a1=-4,此时a2,a3,a1成等比数列;当d=-3时,a2=-1,a3=-4,a1=2,此时a2,a3,a1不是等比数列,故an=3n-7,这个数列的第一、二两项为负值,从第三项开始为正值.方法一:当n2时,|an|=7-3n

11、,这是一个首项为4,公差为-3的等差数列,故Sn=4n+(-3)=-+;当n2时,|an|=an=3n-7,此时这个数列从第三项起是一个公差为3的等差数列,故Sn=|a1|+|a2|+a3+a4+an=(4+1)+2+5+(3n-7)=5+=-+10.所以Sn=这个式子中n=2时两段函数值相等,故可以写为Sn=方法二:设数列an的前n项和为Tn,则Tn=-.由于n2时,|an|=-an,所以此时Sn=-Tn=-+;当n2时,Sn=(-a1-a2)+(a3+a4+an)=-T2+(Tn-T2)=Tn-2T2=-+10.所以Sn=这个式子中n=2时两段函数值相等,故可以写为Sn=11.已知数列an

12、中,a1=1,且点P(an,an+1)(nN*)在直线x-y+1=0上.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=1an,Sn表示数列bn的前n项和.试问:是否存在关于n的整式g(n),使得S1+S2+S3+Sn-1=(Sn-1)g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.【解题提示】(1)由条件寻找an与an+1的关系,转化为特殊数列,求an.(2)利用函数与方程思想,探求g(n).【解析】(1)把P点代入直线x-y+1=0得:an+1-an=1,所以an是公差为1的等差数列,又a1=1,因此可得:an=n(nN*).(2)因为bn

13、=,所以Sn=+.有S1+S2+S3+Sn-1=(n-1)+(n-2)+(n-3)+n-(n-1)=n+-=n-n+1=n=n(Sn-1).当n2,nN*时,g(n)存在,且g(n)=n.【加固训练】已知数列an的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn.(1)求数列an的通项公式.(2)设Q=x|x=kn,nN*,R=x|x=2an,nN*,等差数列cn的任一项cnQR,其中c1是QR中的最小数,110c10115,求cn的通项公式.【解析】(1)因为点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上

14、,所以Sn=n2+2n(nN*).当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1,当n=1时,a1=S1=3满足上式,所以数列an的通项公式为an=2n+1.(2)因为Q=x|x=2n+2,nN*,R=x|x=4n+2,nN*,所以QR=R.又因为cnQR,其中c1是QR中的最小数,所以c1=6,因为cn的公差是4的倍数,所以c10=4m+6(mN*).又因为110c102n-12.【解题提示】(1)先利用an=Sn-Sn-1(n2)把Sn与an的关系式转化为an与an-1的关系式,判断数列的性质,求其通项公式.(2)根据(1),求出数列bn的前三项,利用b22=b1b3列出方程即可求得a的值.(3

15、)先求出数列cn的通项公式,根据所求证问题将其放缩,然后利用数列求和公式证明.【解析】(1)当n=1时,S1=a(S1-a1+1),得a1=a.当n2时,Sn=a(Sn-an+1),Sn-1=a(Sn-1-an-1+1),两式相减,得an=aan-1,又a0,所以an0,则=a.即an是等比数列,所以an=aan-1=an.(2)由(1)及a1知bn=(an)2+an,bn=,若bn为等比数列,则有b22=b1b3,而b1=2a2,b2=a3(2a+1),b3=a4(2a2+a+1),故a3(2a+1)2=2a2a4(2a2+a+1),解得a=,再将a=代入bn,得bn=,结论成立,所以a=.

16、(3)由(2)知an=,所以cn=-=+=2-+.所以cn2-+.Tn=c1+c2+cn+2-+=2n-+2n-.结论成立.【加固训练】已知等差数列an的公差为2,其前n项和Sn=pn2+2n(nN*).(1)求p的值及an.(2)若bn=2(2n-1)an,记数列bn的前n项和为Tn,求使Tn910成立的最小正整数n的值.【解题提示】【解析】(1)方法一:因为an是公差为2的等差数列,所以Sn=na1+d=na1+2=n2+(a1-1)n.又由已知Sn=pn2+2n,所以p=1,a1-1=2,所以a1=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,an=2n+1.方法二:由已知a1

17、=S1=p+2,S2=4p+4,即a1+a2=4p+4,所以a2=3p+2.又此等差数列的公差为2,所以a2-a1=2,所以2p=2,所以p=1,所以a1=p+2=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,an=2n+1.方法三:由已知a1=S1=p+2,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=pn2+2n-p(n-1)2+2(n-1)=2pn-p+2,所以a2=3p+2,由已知a2-a1=2,所以2p=2,所以p=1,所以a1=p+2=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,an=2n+1.(2)由(1)知bn=-,所以Tn=b1+b2+b3+bn=+=1-=.因为

18、Tn,所以,所以20n18n+9,即n,又nN*,所以使Tn成立的最小正整数n=5.13.(2015重庆模拟)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学,该商场向他提供了三种付酬方案:第一种,每天支付38元;第二种,第一天付4元,第二天付8元,第三天付12元,依此类推;第三种,第一天付0.4元,以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍,工作时间为n天.(1)工作n天,记三种付酬方式薪酬总金额依次为An,Bn,Cn,写出An,Bn,Cn关于n的表达式.(2)如果n=10,你会选择哪种方式领取报酬?【解析】(1)设三种付酬方式每天金额依次为数列an,bn,cn,它们的前n项和依次分别为An,Bn,Cn.依题意,第一种付酬方式每天金额组成数列an为常数数列,则An=38n.第二种付酬方式每天金额组成数列bn为首项为4,公差为4的等差数列,则Bn=4n+4=2n2+2n.第三种付酬方式每天金额组成数列cn为首项是0.4,公比为2的等比数列,则Cn=0.4(2n-1).(2)由(1)得,当n=10时,A10=3810=380,B10=2102+210=220,C10=0.4(210-1)=409.2.所以B10A10C10.答:应该选择第三种付酬方案.【加固训练】有一种零存整取的储蓄项目,在每月某日存入一笔相同金额,这是零存;到期可以提出全部本金和利息