高中数学第一章导数及其应用1.1第3课时导数的几何意义学案新人教A版选修

1、1.1 第三课时 导数的几何意义一、课前准备1.课时目标1. 回顾导数的概念并会运用导数的概念求函数的导数； 2. 理解导数的几何意义，会求曲线上某一点处的切线方程。2.基础预探1函数yf(x)在点处的导数f()的几何意义是 _.相应地，曲线yf(x)在点P(，f()处的切线方程为 _.2利用导数的几何意义，求在点(，f()处的切线方程的一般方法，可分两步：(1) _；(2) _.二、学习引领1利用导数的几何意义求曲线上一点的切线(1)若验证所给点(，)适合曲线方程，则为曲线上的切点：(2)求出函数yf(x)在点处的导数f()；(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：yf()(x)2利用导数的几

2、何意义求曲线外一点的切线(1)验证所给点(，)不适合曲线方程，则为曲线外一点；(2)设曲线上的切点为(，)；(3)通过切点在曲线上建立一个方程(4)利用切线斜率等于曲线切点的导数值建立第二个方程；(5)求得切点为(，)，得到导数值即直线的斜率；(6)利用点斜式写出直线方程.三、典例导析题型一 求曲线上点的切线方程例1已知曲线y上一点P(1,2)，用导数的定义求在点P处的切线的倾斜角和切线方程思路导析：由题意可知，给出的点在曲线上，故为切点；则求出曲线在该点处的导数即为切线的斜率，再由点斜式求出直线方程解析：yf(1x)f(1).，k=tan1，45.即在P点处的切线的倾斜角等于45，在点P处的

3、切线方程为y2x1，即xy10. 归纳总结：求曲线上一点的切线时直接利用导数的定义求得此点处的导数值即为切线的斜率，再利用点斜式即可求得切线方程变式训练：已知曲线yx3上一点P(2，)，求点P处的切线的斜率及切线方程题型2 求曲线的切点问题例2 在曲线yx2上取一点P，使得在该点处的切线(1)平行于直线4xy70；(2)垂直于直线y+2；（3）切线的倾斜角为135。思路导析：先求导函数f(x)并设切点为P(，)，由导数的几何意义知切点(，)处的切线的斜率为f()，然后根据题意列方程解关于的方程即可求出，又点(，)在曲线yx2上，代入求就可得出答案解析：设y=f(x),则=2x。设P(，)为满足

4、条件的点，则(1)因为切线与直线4xy70平行，所以24，解得2，故4，即P(2,4)(2)因为切线与直线y+2垂直，所以21，得，故，即P(，)(3)因为切线的倾斜角为135，所以其斜率为1，即21，得，故，即P(，)规律总结：解此类题的步骤为：先设切点坐标(，)；求导函数f(x)；求切线的斜率f()；由斜率间的关系列出关于的方程，解方程求；由于点(，)在曲线yf(x)上，将代入求，得切点坐标 变式训练：已知直线l：y4xa和曲线yx32x23相切求切点的坐标及a的值题型3 求曲线外一点的切线例3 求曲线yx32x过点(1，1)的切线方程思路导析：验证可知，点(1，1)不在曲线上，故应先设出

5、切点坐标为M(，)，利用此点既在切线上，又在曲线上，建立方程组求得点M，进而求出切线方程。解析：设M(，)为切点，由导数定义得y3x22，所以即切线的斜率为3x2.设此切线方程为yy0(3x2)(xx0)，又因为切线过点(1，1)，故1y0(3x2)(1x0)切点M(x0，y0)在曲线上，故y0x2x0.由，解得或故所求切线方程为y1x1或y(x)，即xy20或5x4y10. 归纳总结：求切线方程要注意区分“在点(，)处”和“过点(，)”的含义，“在点(，)处”此点一定为切点，而“过点(，)”时，即使(，)在曲线上，还要分“该点是切点”和“该点不是切点”两种情况进行讨论变式训练：求过点P(3,

6、5)且与曲线yx2相切的直线方程四、随堂练习1.若曲线f(x)在点x0处的切线斜率2，则 ()A1 B2 C-1 D-22下列说法正确的是 ()A若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线B若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在3已知曲线yx22上一点P(1，)，过点P的切线的倾斜角()A30 B45 C135 D1654已知曲线yx3上一点P(2，)，则点P处切线的斜率为_，点P处切线方程

7、为_5设f(x)为可导函数，且满足 1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率是_.6.已知曲线y上一点P(1,2)，用导数的定义求在点P处的切线的倾斜角和切线方程五、课后作业1设计如下4个杯子，向杯中匀速注水时，杯中水的高度h随时间t的变化图象与下列图象相符合的是( )A. B. C. D. 2.已知直线ykx1与曲线yx3axb相切于点(1,3)，则b的值为()A3B3 C5 D53曲线y在点(3,3)处的切线的倾斜角为_4.若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于 ()A1或 B1或 C或 D或75已知抛物线yx2bxc在点(1,2)处的切线与直线y

8、x2平行，求b，c的值6过点(1,0)作抛物线yx2x1的切线，求其切线方程。参考答案1.1 导数的概念第三课时 导数的几何意义2.基础预探1.曲线yf(x)在点P(，f()处的切线斜率yf()f()(x)2.先求出函数yf(x)在点处的导数f() 根据点斜式得切线方程为yf()(x)三、典例导析例1 变式训练解：(1)由yx3得，y(xx)3x33x2x3x(x)2(x)3，3x23xx(x)2，当x无限趋近于0时，3x23xx(x)2无限趋近于x2，f(x)x2，f(2)4，点P处的切线的斜率等于4.在点P处的切线方程是y4(x2)，即12x3y160.例2 变式训练解析：设直线l与曲线C

9、相切于点P(，)，=。由导数的几何意义可知：3-4=4，解得2或=，故切点P的坐标为 (，)或(2,3)将切点代入直线方程可知：当切点为(2,3)时，a=-5，当切点为 (，)时，a=.例3 变式训练解析：验证可知P(3,5)不在曲线yx2上=2x。设所求切线的切点为A(，)，因为点A在曲线yx2上，所以因为A是切点，所以过A点的切线的斜率为.又因为切线过P(3,5)和A(，)两点，所以其斜率又可表示为.所以2x0，解之得x01或x05.所以切点坐标为(1,1)或(5,25)，所以切线的斜率为k2或k10.所以所求切线方程有两个：y12(x1)和y2510(x5)即和10x-y250.四、随堂

10、练习1.解析： f(x0)，故f(x0)=2.答案:B2解析：本题主要考查导数的几何意义，f(x0)即曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率答案：C3解析：f(x0)= x0， f(1)=1，故倾斜角为45.答案：B4解析：由已知：f(x0)= x，在(2，)处切线的斜率为k4.切线方程为y4(x2)，切线方程为12x3y160.答案：412x3y1605解析：由题意得 f(1)1，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率f(1)1.答案：1.6.解：yf(1x)f(1).，所以，k=。tan1，45.即在P点处的切线的倾斜角等于45，在点P处的切线方程为y2x1，即xy

11、10.五、课后作业1解析：设杯中水的高度与时间t的函数关系式为hf(t)在图(1)中，未满水之前，杯中水的高度的瞬时变化率是一个常数，即：hf(t)是一个常数，说明杯子的直径相同，故形状为： 在图(2)中，未满水之前，hf(t)的图象是一条下凸的曲线，即曲线的斜率逐渐增大，说明杯子的直径由大变小，故形状为：在图(3)中，未满水之前，hf(t)的图象是一条上凸的曲线，即曲线的斜率逐渐减小，说明杯子的直径由小变大，故形状为：在图(4)中，根据(1)的结论，不难看出杯子的形状为：答案:A2.解析：注意点(1,3)既在直线上，又在曲线上由于y 3x2a，所以，将(1,3)代入ykx1，得k2，所以a1，又点(1,3)在曲线yx3axb上，故1ab3，又由a1，可得b3，故选A.答案：A3解析：f(x) 9 9 ，又直线的倾斜角范围0，180)，倾斜角为135.答案：1354.解析：设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切线上，则x00或x0.当x00时，由直线y0与曲线yax2x9相切可得a；当x0时，由直线yx与曲线yax2x9相切可得a1.所以选A.答案：A5解：由于点(1