初中数学辅助线添加秘籍5、图形变换 旋转

1、初中数学辅助线添加秘籍5、图形变换旋转一：如何构造旋转图形1、 遇中点，旋180，构造中心对称图形，即倍长中线。2、 遇90，旋90，构造垂直等腰直角三角形、正方形。3、 遇60，旋60，构造等边。口诀：边相等，就旋转。二：倒角（旋转后，常见图形）1、如图，边长为的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30到正方形ABCD，图中阴影部分的面积为连接AE，根据BAB=30可知DAB=60，由正方形的性质可知，AB=AD，由图形旋转的性质可知AD=AB，故可得出RtADERtABE，由直角三角形的性质可得出DE的长，再由S阴影=S正方形ABCD-S四边形ADEB即可得出结论解答：解：连接AE，BAB=30

2、，DAB=60，四边形ABCD是正方形，AB=AD，D=B=90，正方形ABCD是正方形ABCD旋转而成，AD=AB，B=90，在RtADE与RtABE中，AD=AB，AE=AE，RtADERtABE，DAE=30，DE=ADtanDAE=1，S四边形ADEB=2SADE=2ADDE=，S阴影=S正方形ABCD-S四边形ADEB=3-2、如图，P是正ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10.若将PAC绕点A逆时针旋转后，得到PAB，则点P与点P之间的距离为，APB=.答案此题答案为：6；150.解：连接PP.PAB是PAC绕点A旋转得到的，PABPAC.PABPAC，PA=6，PB=8

3、，PC=10，PA=PA=6，PB=PC=10，PAC=PAB.ABC为正三角形，BAC=60，PAC+BAP=60.PAC=PAB，PAB+BAP=PAP=60.PAP=60，PA=PA，PAP是等边三角形，PP=PA=6，PPA=60.在PBP中PP=6，PB=8，PB=10，PBP是直角三角形，BPP=90，APB=PPA+BPP=60+90=150.3、如图，P是等边ABC内一点，APB、BPC、CPA的大小之比为5:6:7，则以PA、PB、PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）.A.2:3:4B.3:4:5C.4:5:6D.以上结果都不对答案此题答案为：A.解：如图，将AP

4、B绕A点逆时针旋转60得APC，显然有APCAPB，连PP，AP=AP，PAP=60，APP是等边三角形，PP=AP，PC=PB，PCP的三边长分别为PA，PB，PC，APB+BPC+CPA=360，APB：BPC：CPA=5：6：7，APB=100，BPC=120，CPA=140，PPC=APC-APP=APB-APP=100-60=40，PPC=APC-APP=140-60=80，PCP=180-（40+80）=60，PPC：PCP：PPC=2：3：4故选A4、如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接。以下五个结论：；。恒成立的结论有_。

5、（把你认为正确的序号都填上） 答案本题主要考查全等三角形的应用和等边三角形。项，在正和正中，所以，所以。在和中，所以。所以。故项正确。项，由知，所以。在和中，所以。所以，所以为等边三角形，所以。故项正确。项，由知，所以。由知，所以。所以。故项正确。项，由题意知，所以。故项错误。项，又因为，所以。故项正确。5、已知如图，RtABC中BAC=90，AB=AC，D为BC边上任意一点.(1)求证：2AD2=BD2+CD2；(2)若D 为BC延长线上任意一点，(1)中结论是否成立？若成立，请验证；若不成立，请说明理由.答案 方法一：旋转ADC使AC与AB重合方法二解：(1)作过点D分别垂直AB、AC于点

6、F、E，由题意中RtABC中BAC=90，AB=AC，所以此三角形为等腰三角形，那么B=C=45而作过点D分别垂直AB、AC于点F、E，所以RtBFD与RtCDE均为等腰直角三角形在RtBDF中有BF=DF，由勾股定理得：BF2+DF2=BD2即BD2=2DF2在RtDEC中有DE=CE，由勾股定理得：CE2+ED2=CD2即CD2=2DE2在RtAFD中，由勾股定理得：AD2=DF2+AF2而四边形AFDE为矩形，所以有DF=AE，AF=DE由以上等式通过等量代换得：2AD2=2DF2+DE2=BD2+CD2 即2AD2=BD2+CD2； (2)同样作过点D垂直BA延长线于点H，过点C作垂直

7、DH于点G，同(1)得RtBHC与RtCGD为等腰三角形，在RtBHC中有BH=CH，由勾股定理得：BD2=BH2+DH2=2DH2在RtCGD中有CG=DG，由勾股定理得：DC2=DG2+CG2=2CG2在RtAHD中，由勾股定理得：AD2=AH2+DH2而由题意知：四边形AHGC为矩形，所以有AH=CG由以上等式，由等量代换得：2AD2=2AH2+DH2=2AH2+2DH2=BD2+CD2所以(1)中结论仍成立.6、已知如图,中,E、F为BC上的点且,求证:.答案证明:把绕点A顺时针旋转,得到.连接EG.则.,.,.,在和中,.,又,即.7、如图,和都是等腰直角三角形,D为AB边上一点.求

8、证:.答案证明:和都是等腰直角三角形,即,在和中,.8、如图，以RtBCA的斜边BC为一边在BCA的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果,，那么AC的长为（） 答案在上取一点G,使CG=AB=4,连接OGOGC全等于OAB是等腰直角三角形,(勾股定理).GOC+GOH=90 GOH+BOA=90AOG=90 三角形AOG是等腰三角形，AG=12 AC=169、已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、。当绕点旋转到时（如图），易证。 （1）当绕点旋转到时（如图），线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明。（2）当绕点旋转到如图的位置时

9、，线段、和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。答案（1）。如图，将绕点顺时针旋转，使得与重合，则、共线，。因为，所以。在与中，所以，所以，即。（2）。解析本题主要考查图形的旋转变换、边角边定理以及正方形的性质。（1）根据旋转图形性质，利用边角边定理证得，根据等量代换证得，进而证得。（2）如图所示，在上截取，在与中，所以，所以，。又因为，所以。在和中，所以，所以，所以。10、已知：在ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题：(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且ACB=60，则CD=_；(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且ACB=90，则CD=_；(3)如图3，当ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的ACB的度数。答案 （3）(1)a=b=3，且ACB=60，ABC是等边三角形，OC=332，CD=33；(1分) (2)3632；(2分) (3)以点D为中心，将DBC逆时针旋转60，则点B落在点A，点C落在点E. 连接AE，CE，CD=ED，CDE=60，AE=CB=a，CDE为等边三角形