zpp--流体力学泵与风机02

1、返回目录,流体运动时，表征运动特征的运动要素一般随时间空间而变，而流体又是众多质点组成的连续介质，流体的运动是无穷多流体运动的综合。,怎样描述整个流体的运动规律呢？,拉格朗日法,欧拉法,1.拉格朗日法,拉格朗日法: 质点系法 把流体质点作为研究对象，跟踪每一个质点，描述其运动过程中流动参数随时间的变化，综合流场中所有流体质点，来获得整个流场流体运动的规律。,设某一流体质点 在t=t0 时刻占据居起始坐标（a，b，c），t为时间变量,图 拉格朗日法,x,流体质点运动方程,图 拉格朗日法,t时刻，流体质点运动到空间坐标（x，y，z）,式中，（a，b，c，t）=拉格朗日变数,（a，b，c） 对应流体

2、微团或流体质点,不同（a，b，c），t不变，表示在选定时刻流场中流体质点的位置分布。,给定（a，b，c），t变化时，该质点的轨迹方程确定；,流体质点的速度为,流体质点的加速度为,问题,2,数学上存在难以克服的困难,3,实用上，不需要知道每个质点的运动情况,因此，该方法在工程上很少采用。,2.欧拉法,又称为流场法，核心是研究运动要素分布场。即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。 该法是对流动参数场的研究，例如速度场、压强场、密度场、温度场等。,采用欧拉法，可将流场中任何一个运动要素表示为空间坐标（x，y，z）和时间t 的单值连续函数。,流体质点在任意时刻t 通过任意空间固定点

3、 (x, y, z) 时的流速为：,式中， (x, y, z, t )称为欧拉变数。,令 (x, y, z) 为常数， t为变数,令 (x, y, z) 为变数， t为常数,表示在某一固定空间点上，流体质点的运动参数随时间的变化规律。,表示在同一时刻，流场中流动参数的分布规律。即在空间的分布状况。,(a, b, c) : 质点起始坐标 t : 任意时刻 (x, y, z) : 质点运动的位置坐标 (a, b, c , t ) : 拉格朗日变数,(x, y, z) : 空间固定点（不动） t : 任意时刻 (x, y, z , t ) : 欧拉变数,拉格朗日法,欧拉法,流体质点通过任意空间坐标时

4、的加流速,式中， (ax , ay , az) 为通过空间点的加速度分量。,利用复合函数求导法，将（x,y,z）看成是时间 t 的函数，则,写为矢量形式,时变加速度分量（三项）,位变加速度分量（九项）,用欧拉法表达加速度,从欧拉法来看，不同空间位置上的流体流速可以不同； 在同一空间点上，因时间先后不同，流速也可不同。 因此，加速度分,迁移加速度（位变加速度）：同一时刻，不同空间点上流速不同，而产生的加速度。 当地加速度（时变加速度）：同一空间点，不同时刻上因流速不同，而产生的加速度。,图 时变加速度产生说明,图 位变加速度说明,例题1,已知平面流动的ux=3x m/s, uy=3y m/s,试

5、确定坐标为（8，6）点上流体的加速度。,【解】：由式,1.定常流动与非定常流动,在讨论流体运动的基本规律和基本方程之前，为了便于分析、研究问题，先介绍一些有关流体运动的基本概念。,若流场中流体的运动参数（速度、加速度、压强、密度、温度等）不随时间而变化，而仅是位置坐标的函数，则称这种流动为定常流动或恒定流动。,定常流动:,若流场中流体的运动参数不仅是位置坐标的函数，而且随时间变化，则称这种流动为非定常流动或非恒定流动。,非定常流动：,图 定常流动说明,如图所示容器中水头不随时间变化的流动为定常流动。流体的速度、压强、密度和温度可表示为,运动要素之一不随时间发生变化，即所有运动要素对时间的偏导数

6、恒等于零,定常流动的特点:,因此，定常流动时流体加速度可简化成,即，在定常流动中只有迁移加速度。,非定常流动的特点：,运动要素之一随时间而变化的流动，即运动要素之一对时间的偏导数不为零。,图中，当水箱的水位保持不变时，1点到2点流体质点速度增加，就是由于截面变化而引起的迁移加速度。,2.一维、二维和三维流动,“维”是指空间自变量的个数。,实际上，任何实际流体流动都是三维流，需考虑运动要素在三个空间坐标方向的变化。,由于实际问题通常非常复杂，数学上求解三维问题的困难，所以流体力学中，在满足精度要求的前提下，常用简化方法，尽量减少运动要素的“维”数。,例如，下图所示的带锥度的圆管内黏性流体的流动，

7、流体质点运动参数，如速度，即是半径r的函数，又是沿轴线距离的函数，即：u=u (r，x)。显然这是二元流动问题。,图 锥形圆管内的流动,工程上在讨论其速度分布时，常采用其每个截面的平均值u。就将流动参数如速度，简化为仅与一个坐标有关的流动问题，这种流动就叫一维流动，即：u=u (x)。,如图所示的绕无限翼展的流动就是二维流动，二维流动的参数以速度为例，可写成：,3.迹线和流线,流体质点不同时刻流经的空间点所连成的线，即流体质点运动的轨迹线。由拉格朗日法引出的概念。,迹线:,例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。,迹线的微分方程：,从该方程的积分结

8、果中消去时间t，便可求得迹线方程式。,某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线上的各流体质点的速度方向都与该曲线相切，因此流线是同一时刻，不同流体质点所组成的曲线。由欧拉法引出。,流线:,图 流经弯道的流线,图 绕过机翼剖面的流线,流线的基本特性,1.定常流动时，流线和迹线相重合。,在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随时间变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线和迹线相重合。,2. 流线不能相交和分支。,通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线。一般情况下，流线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向。,3. 流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲

9、线。,4. 流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。,流线的特例,驻点：速度为0的点； 奇点：速度为无穷大的点（源和汇）。,在驻点和奇点处，由于不存在不同流动方向，流线可以转折和彼此相交。,图 源,图 汇,流线微分方程,设在流场中某一空间点（x，y，z）的流线上取微元段矢量 该点流体质点的速度矢量为 。,根据流线的定义，该两个矢量相切，其矢量积为0。即,上式即为流线的微分方程，式中时间t是个参变量。,例题2,有一流场，其流速分布规律为：ux= -ky，uy= kx， uz=0，试求其流线方程。,【解】,由于 uz=0，所以是二维流动，其流线方程微分为,将两个分

10、速度代入流线微分方程（上式），得到,积分,即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。,4.流管、流束和总流,在流场中任取一不是流线的封闭曲线C，过曲线上的每一点作流线，这些流线所组成的管状表面称为流管。,流管：,C,流管内部的全部流体称为流束。,流管与流线只是流场中的一个几何面和几何线，而流束不论大小，都是由流体组成的。 因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出(由于流线不能相交)。,流束：,微小截面积的流束。,微小流束：,注意,5.流量、有效截面和平均流速,单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量，以qv表示，其单位为m3/s、m3/h等。,流量,有三种

11、表示方法：,从总流中任取一个微小流束，其过水断面为dA ，流速为u ，则通过微小流束的体积流量为 qv,式中：dA为微元面积矢量 ， 为速度u 与微元法线方向n夹角的余弦。,处处与流线相垂直的截面称为有效截面。,有效截面,有效断面可能是曲面，或平面。 在直管中，流线为平行线，有效截面为平面； 在有锥度的管道中，流线收敛或发散，有效截面为曲面。,图 有效截面为平面,图 有效截面为平面,常把通过某一有效截面的流量qv与该有效截面面积A相除，得到一个均匀分布的速度v。,平均流速,图 有效截面为平均流速,平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积

12、流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。,使流体运动得到简化（使三维流动变成了一维流动）。在实际工程中，平均流速是非常重要的。,引入断面平均流速的意义,在总流的有效截面上，流体与固体壁面接触的长度。 用表示。,6.当量直径、湿周和水力半径,湿周,在总流的有效截面上，流体与固体壁面接触的长度。 用表示。,湿周,总流的有效截面与湿周之比。用Rh表示。,水力半径,圆管,直径是水力半径的4倍。,非圆管,当量直径,直径是水力半径的4倍。,几种非圆形管道的当量直径,充满流体的矩形管道,充满流体的圆环形管道,s2,充满流体的流束,7.系统和控制体,一群流体质点的组合。,系统,在运动的过程中，尽管系

13、统的形状和位置常常不停地变化，但始终包含这群流体质点，有确定的质量。,在流场中确定的空间区域称为控制体。,控制体,控制体外表面称控制面，控制体可根据需要将其取成不同形状。,流体可自由进出控制体。,有效截面、壁面、自由液面,控制体的组成：,图 一段管道控制体,图 一个微分控制体,连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。它建立了流体流速与流动面积之间的关系。,推导：,选取控制体：过流断面1-1、2-2及管壁所围成的体积。,取微元流束：流束的两过流断面面积为dA1 ，dA2 ，速度分别为u1， u2 。,dt时间流经两个过流断面的流体体积： u1A1 dt 和 u2 dA2 dt 。,1.流束和

14、总流的连续性方程,假设条件：,流束的形状不随时间改变，为定常流动； 流束侧面没有流体质点流入或流出； 流体是不可压缩的； 该流束内流体的质量不变。,根据上述条件，得：,上述各式即为流束的连续性方程。它表明流束过流断面面积与该断面上速度的乘积为一常数，或所有过流断面上流量都相等。,将上式沿总流过水断面进行积分，得,移项得,上式即为总流的连续性方程。表明流量一定时，断面平均流速与断面面积成反比。在过水断面积小处，流速大；过水断面面积大处，流速小。,2. 连续性方程的微分形式,设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx、dy和dz，如下图所示。,假设微元平行六面体形心的坐标为x、y、z，在某

15、一瞬时t经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为ux、 uy、 uz ，流体的密度为。,先分析x轴方向，由于ux和都是坐标和时间的连续函数，即ux=uxx (x，y，z，t)和 = (x，y，z，t)。根据泰勒级数展开式，略去高于一阶的无穷小量，得在dt时间内，沿轴方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为,同理可得在dt时间内从右边微元面积dydz流出的流体质量为,上述两者之差为在dt时间内沿x轴方向流体质量的变化，即,同理，在dt 时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别为：,因此，dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为,由于流体是作为连续介质来研究的，六面体内流体质量的总变化，唯一的

16、可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。因此上式中流体质量的总变化和由流体密度变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。,设开始瞬时流体的密度为，经过dt时间后的密度为,在dt时间内，六面体内因密度变化而引起的质量变化为,代入相等条件，得,上式为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。,不可压缩流体,可压缩流体定常三维流动的连续性方程。,若流体是定常流动,上式变为：,不可压缩流体三维流动的连续性方程。,在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。,物理意义：,假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为ux=3（x+y3)，uy

17、=4y+z2，w=x+y+2z。试分析该流动是否连续。,例题3,【解】,根据连续性方程的微分形式,该流动不连续。,有一输水管道，如图所示。水自截面1-1流向截面2-2。测得截面1-1的水流平均流速v1=2m/s，已知d1=0.5m， d2=1m，试求截面2-2处的平均流速v2为多少？,例题4,【解】,根据连续性方程,运动物体在某一时间段内动能的增量，等于同一时间段内作用在运动物体上外力做功的总和。,能量转换与守恒定律是自然界物质运动的普遍规律。伯努利方程是这一定律在流体力学中的应用。,1. 伯努利方程的建立,动能定理：,运动物体的质量,外力对运动物体所做的功,运动物体的末速度,运动物体的初速度

18、,(1)不可压缩理想流体的定常流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。,假定条件：,从理想流体恒定流中取出一微小流束，并截取1-1和2-2断面之间的流段来研究，沿流束取二过流断面1、2，其上的流速和压强分别为u1 、 u2和p1、 p2 ，断面面积分别为dA1、 dA2 ，面积中心距基准面的高度分别为z1、z2，如下图所示。,图 微小流束的伯努利方程,时段dt内，流段由1-2断面流至1-2 的位置，其动能增量和外力做功的总和分别为：,动能的增量,1-1 流段的动能：,2-2 流段的动能：,由于是定常流动，时段dt内，流段1-2 内流动的动能不变，所以其动能增量

19、仅为2-2 与1-1 动能之差 ：,对不可压缩流体有,动能增量,外力做功总和,质量力重力； 表面力压力和摩擦力。,作用在1-2流束段上的外力有：,重力做的功W1：,压力做的功W2：,流束侧表面压力与流动方向垂直，不做功。,过流断面1与2上的压力做功：,由于,摩擦阻力做的功W3：,摩擦阻力与流动方向相反，对流体运动做负功。,令W3为流段由1-2流至1-2 时摩擦阻力所做的功； 令-ghw表示摩擦阻力对单位质量流体沿微小流束全流程1-2所做的平均功，有,外力做功的总和,伯努利方程,将动能增量与外力做功的总和代入动能定理，得：,重力作用下、不可压缩流体、定常流动的伯努利方程。,2. 伯努利方程的物理

20、意义,伯努利方程中每一项都表示单位重量 流体所具有的能量。,单位重量流体对某一基准面所具有的位能势能。 单位重量流体所有的压力势能。 单位重量流体所具有的动能。 单位重量流体两断面间为克服摩擦阻力所消耗的机械能。,单位重量流体所具有的势能。 单位重量流体所具有的总机械能。,物理意义：,流体沿流束从一个断面流到另一个断面时，位能、压能与动能可以相互转化，但在流经前一个断面时流体所具有的单位重量流体的总机械能，应等于它在流经后一个断面时所具有的单位重量流体的机械能，与单位重量流体在流经两断面间的过程中阻力损失之和。,hw ：,水头损失,总水头,压强水头,测压管水头,速度水头,3. 伯努利方程的几何

21、意义,伯努利方程中每一项都具有长度的量纲,可按比例用几何线段长度 来表示能量方程中各项的值,表示为水头线图示,4. 伯努利方程的几何图示,0,1,2,z1,hw,1,z2,z,u12,2g,u22,2g,测压管水头线,总水头线,位置水头线,5. 伯努利方程的应用举例,1.容器小孔射出水流的速度,图示一水箱，在近底部的侧壁上开有一小孔，水在重力作用下从小孔射出，求射流速度。,大气,取过小孔中心B处的流速，沿流束写A、B断面的伯努利方程,可见，从比自由界面低h的小孔出流的速度与质点从h高度自由落下所达到的速度一样。,2.毕托管原理,流体流动因受阻时流动完全停于一点，该点称为驻点，压力记为p0，叫总

22、压。未受到扰动的流束上流速记为u，压力为p，称为静压。过驻点取水平基准面列驻点与未受扰动点的伯努利方程，有：,整理得，,表示：总压水头等于静压水头与由流动转化而来的速度水头之和。,在工程上，通常用毕托管来测定某一点的流速，并用系数来修正由流体的粘性和仪器所带来的误差，值的大小在出厂时经率定来确定。毕托管及其测定原理如下图所示。,动压管,静压管,h,h1,h2,A,A,A-A,形式一：,形式二：,一、总流伯努利方程的建立,不可压缩实际流体定常流动微小流束的伯努利方程为,实际工程中，考虑的流体都是总流,应用伯努利方程解决实际问题，需把微小流束的伯努利方程推广到总流中去。,dA1,u1,1,2,1,

23、2,p1,z1,z2,u2,p2,dA2,由连续性方程，单位时间内从dA1、dA2流过的流体质量相等，即,单位时间内流过两过流断面的流体的总能量应满足,把组成总流的每条微小流束的能量叠加起来，即沿总流过水断面积分，得单位时间内流过总流过流断面A1、A2的能量关系：,第类积分势能积分； 第类积分动能积分； 第类积分能量损失积分。,类积分,类积分,类积分,确定三种类型的积分,第类积分,条件：渐变流过水断面,第类积分,解决动能积分,用断面平均流速v代替实际流速u,引入动能修正系数,第类积分,单位重量流体总流从过水断面1-1到2-2之间 的平均能量损失。,将、式代入式，有,各项同除以 ，有,上式即为实

24、际不可压缩单位重量流体定常总流的伯努利平衡方程。,或,二、应用总流伯努利方程的注意事项,1.总流伯努利方程的应用条件,总流的伯努利方程是在一定的限制条件下推导出来，因此在应用时须满足这些条件：,流体必须是定常流动，且不可压缩； 作用于流体上的力只有重力； 选取的过流断面必须符合渐变缓断面； 在选取的两过流断面间，流量保持不变； 两过流断面间，能量损失必须是以热能形式扩散。,2.总流伯努利方程中各项的取值,基准面z的选取,断面压强的计算,基准面的选取是任意的，但在计算不同断面的位置水头z时，应选同一基准面。,位能与压强的计算点要统一。 计算断面上 值时，明渠取液面点，管道取管轴线上点的数值为代表

25、点。 压强的表述要一致。,动能修正系数,紊流时取1，层流时取2，同一基准面取同一值。,阻力水头损失hw,包括沿程水头损失和局部水头损失两类，可写成 。,三、总流伯努利方程的扩充,1.两断面有能量输入或输出的情况,以上所推导的总流伯努利方程，没有考虑由1-1断面到 2-2断面之间，中途有能量输入或输出的情况。有些情况下，两个断面之间有能量的输入和输出，例如，,抽水管路系统中设置的抽水机，是通过水泵叶片转动向水流输入能量。 水电站有压管路系统上所安置的水轮机，是通过水流推动水轮机叶片输出能量。,1,流体对水轮机做 功，流体向外输出能量。,若所取的断面1-1到2-2之间有能量输入或输出时，总流伯努利

26、方程可写为：,式中, H 为水力机械对单位重量流体所作的功。,当为输入能量时，H 前符号为“”； 当为输出能量时， H 前符号为“”。,2.两断面有流量分入或汇出的情况,图为两支汇合的流体，每一支流量分别为qv1和qv2，根据能量守恒的物理概念，单位时间内，从1-1 与2-2 断面流入的总能量应等于3-3断面流出的总能量加上能量的损失，即,图 流体的分流与汇流,以管轴线所在平面为基准面，写伯努利方程，有：,流体汇流,流体分流,同理，对于分流有：,四、总流伯努利方程应用举例,文丘里流量计,图 文丘里流量计,图示为一文丘里流量计，它通常安装在管道中用来测定流量。文丘里流量计通常由收缩段、喉部及扩张

27、段三部分组成。,以平面3-5为等压面，有,写1-1与2-2断面的伯努利方程，计算化简后得,文丘里流量计流量系数，由率定得出。,例题5,有一直径缓慢变化的锥形管，如图所示，1-1断面的直径d1=0.15m，中心点的相对压强P1=7.2KN/m2。2-2断面直径 d2=0.3m，P2=7.2KN/m2，v2=1.5m/s，A、B两点高差h=1.0m。 是判断水流方向； 求1-1、2-2两断面的水头损失。,首先利用连续性方程求断面1-1的平均流速。因,因水管直径缓慢变化，1-1及2-2断面水流可近似看作缓变流，以过A点的水平面为基准分别计算两断面的总能量：,【解】,因,故管中水流应从A流向B。,水头

28、损失,在需要确定流体与外界的相互作用力时，连续性方程和 能量方程都无法解决，需引入动量方程。动量方程是自然界 的动量定理在流体力学中的应用。,1. 恒定总流动量方程的建立,在恒定总流中，取一流段（控制体）研究，如下图所示。,断面1-1至2-2所具有的动量,经过时间dt 后，流体从1-2运动至1-2，此时所具有的动量为,dt时段动量变化,dt 时间内水流动量的变化,dt 时间内水流的动量变化,总流1-1与2-2断面的动量,因为断面上的流速分布一般较难确定，所以上述积分不能完成。如何解决这个积分问题？,上述积分问题的解决,造成的误差用动量修正系数 来修正。,按照动量定律原理，则,引入动量修正系数后：,R,P1,P2,v2,v1,G,式中，