气体动力学讲义 吴子牛 lecture6.ppt

1、VI: 气体动力学第六讲,一维非定常流动 2001年10月16日-11月6日 星期二 上午9：50中午12：15 明理楼422,第六讲,Dear Song and Ziniu,I would like to recruit a graduate student who has undergraduateeducation from Tsinghua University under you two. Is it possible that you can help me to find one? I hope that he can spend coupleyears in Peking Un

2、iversity for Master Degree and come US (or stay at PKU) two or three years later for Ph. D. I assume that he should be qualified for the waiver of the entry examination from Tsinghua. In this way, I think that we can transfer the waiver to Peking University.The idea of getting a graduate student fro

3、m Tsinghua is so obvious. I would like to encourage the mixing of academic culture. If you thinkthat is a good idea, we should do this as soon as possible. The timeis up. Of course, if we can not find such a candidate this year, we cantry next year.The research areas will include: Turbulence theory

4、and Computations,CFD and applications, in particular in compbustion and multiphase flows, nanofluidics and microfluidics, pollen transport in biocomplx systemsand engineering data mining related information technology. Hope to hear from you soon and Best regards,Shiyi,意义,许多实际问题属于一维非定常流动：如汽车进排气管道中的流动

5、。某些三维流动（如点爆炸）也可以看成一维流动，如柱面波和球面波问题 许多高维问题局部存在一维效应 研究一维非定常问题可以揭示许多流动现象，因为问题存在精确解,VI:非定常流动,问题特征,考虑大扰动波或有限振幅波的传播，属于非线性问题 该类问题存在一些特殊解，如膨胀波、压缩波和激波；需要了解这些解的运动规律及它们之间或与其它物体之间的相互作用规律,VI:非定常流动,研究内容,基本方程及特征线法 一维非定常均熵流动 间断流 波的反射与相互作用 其它问题,VI:非定常流动,VI-1:基本方程与特征线法,基本方程 特征线方程 相容关系式 黎曼不变量与简单波,VI1:基本方程,方程组推导：控制体,VI-

6、1:基本方程,几何说明,截面积 ,控制体体积 对于周长为 的非圆截面管道，可以定义水利学直径 因此可以看成是直径为D的当量圆截面管道 所有流动参数都用截面平均值 扩张角 满足,VI-1:基本方程,质量守恒方程,左边界质量流量 右边界质量流量 添质作用 控制体质量变化率 质量守恒关系式,VI-1:基本方程,连续性方程,由 得,动量守恒：摩擦力表达式,壁面剪切应力 这里f 为摩阻系数（无量纲，基本为常数） 管壁摩擦力 管壁摩擦力沿轴线投影为 利用 ，得,VI-1:基本方程,动量方程：总受力分析,左边界受力： ，右边界受力： 侧面受力： 合力,VI-1:基本方程,动量方程：动量流量,从左边流进的动量

7、 从右边流出的动量 从侧面添质带进的动量： 动量流量引起的净增加,VI-1:基本方程,动量守恒方程,外力和净动量流量引起控制体内动量增加 因此，动量方程为,VI-1:基本方程,动量方程,由 得,VI-1:基本方程,能量方程：守恒率,V-1:基本方程,能量方程形式,一般形式 对于量热完全气体，可以得出,V-1:基本方程,广义一维流动控制方程组,VI-1:基本方程,矩阵形式,矩阵形式,如何求解？,方程为拟线性偏微分方程组，传统方法无法求解。 比较有效的方法是采用特征线法。方程沿某些曲线（特征线）可以化成常微分方程，从而可以积分出来。因此考虑波沿这些曲线的传播。,特征线理论,按 得特征值 相应的左特

8、征向量为,相容关系式1,对于特征线 ，相容关系式为,相容关系式2,对于特征线 ，相容关系式为,相容关系式3,对于特征线 ，相容关系式为,简单流动的相容关系式,对于 的简单流动，有,VI-2:一维非定常均熵流动,黎曼不变量与简单波 膨胀波与压缩波的定义 中心稀疏波,VI2:均熵流动,黎曼不变量,对于量热完全气体( ) 和等熵流动 可以将第1和第3个相容关系式沿特征线积分，得 沿第2条特征线，熵为常数；在熵为常数的前提下，沿第1和第3条特征线， 分别不变。称 为黎曼不变量。也就是说，沿给定的（第1和第3条）特征线，黎曼不变量为常数，但对于不同特征线，它们的值可以不同。 为了方便，记,VI2:均熵流

9、动,黎曼不变量的作用,根据黎曼不变量的定义，沿特征线方向的任意点的解可以由某一初始点的解获得。,特征值的正负反应了波的传播方向。不变量可以用于定义边界条件。例如，在入口边界，如果 ，那么对应的不变量要给定。,VI2:均熵流动,边界条件个数,VI2:均熵流动,左（右）边边界条件类型,设有 个正(负)特征值，需要给定 个不变量作为边界条件。对应正(负)特征值的波称为入射波 ， 对应负(正)特征值的波称为出口波 。 无反射边界条件：无论出口波如何，只给定入射波的值作为边界条件 反射边界条件：出口波被部分反射为入口波,VI2:均熵流动,例：亚音速入流边界条件,反射边界条件(一般边界条件)也可以按扰动量

10、写成 考虑到 因此上述一般边界条件可以写成,VI2:均熵流动,病态条件特例,如果在亚音速入口给定速度和压力，即令 则一般边界条件成为 因此，不存在与 无关的参数 ，使(3)等价于无反射边界条件的一般形式（2）。,VI2:均熵流动,良态条件特例,如果在亚音速入口给定密度和速度，即令 则一般边界条件成为 因此，取 ，上述条件便变为,VI2:均熵流动,简单波,定义1：如果流动所涉及的两个或多个参数互为单值函数，那么流动称为简单波流动。它比均匀流区域稍复杂，比非简单波区域更简单。 定义2：在简单波区域，其中一个黎曼不变量为常数（从而是两个，因为已经假定熵不变)。 可以证明(p.253)， 以上两个定义

11、是等价的。 数学上，简单波有更一般的定义。 这些定义正好等价。,VI2:均熵流动,状态平面上的简单波,平面(V,a)称为状态平面。均匀流对应状态平面上一点，简单波对应一条直线，非简单波有两束特征线（在状态平面上都为直线）。,VI2:均熵流动,简单波的连接（特征平面）,与均匀流相连接的区域只可能是简单波区域 。简单波区既可与均匀流区相接，也可以与非简单波区相接。,均匀流,简 单 波 区,非 简 单 波 区,均匀流,VI2:均熵流动,左行简单波（站在运动质点上看）,对于第一个黎曼不变量为常数的简单波区域，有 在第I束特征线 上，第二个黎曼不变量也为常数 因此，在第I束特征线上， 即第I束特征线为直

12、线，从而有,VI2:均熵流动,左行简单波,一般情况下，c=c(V) or c(a). 如果c0为常数, 则波是从一个点 出发的，称为以 为中心的中心简单波。简单波可分为膨胀波（稀疏波）与压缩波两种,VI2:均熵流动,左行简单波图示,VI2:均熵流动,左行中心简单波关系式,假设中心简单波区域由 定义，由（1）简单波的定义得 另外由简单波特征线的性质得 即 ，从而,VI2:均熵流动,左行中心简单波关系式续,假设中心简单波左右均匀流状态分别为 和 ， 它们满足条件 于是简单波区的定义为 在简单波区任意点(x,t)各参数定义为,VI2:均熵流动,左行中心简单波的性质,由于 所以左行中心简单波必为膨胀波

13、，从而被称为中心稀疏波(expansion fan). 问题：中心稀疏波与坐标选择有关吗？ (Z.N.Wu, Expansion fan in forced and passively moving frames, Acta Mechanica, accepted and to appear in 2002),VI2:均熵流动,习题,请结合前面介绍和书中254-256页，将上述内容推广到右行简单波的情况。,VI2:均熵流动,活塞后撤问题,设活塞后撤速度为 。引起右行膨胀波。,VI2:均熵流动,活塞后撤问题,对于右行简单波(3-简单波)，有 因此 从而由 得,VI2:均熵流动,活塞后撤问题,于是

14、 由上式解出V得,VI2:均熵流动,VI-3:有间断的流动,激波与接触间断 兰金于戈尼奥(Rankine-Hugoniot)关系式（激波跳跃关系式）。 以一般间断作为初始条件的问题：黎曼问题 波的相互作用,VI3:有间断的流动,激波的产生：活塞效应,左边活塞向右加速至某一固定速度,越靠左，扰动传播速度 就越大，从而左边的波试图超越右边的波，即波形越来越陡峭。,VI3:有间断的流动,激波的产生续,波形越陡峭，局部速度梯度（还有温度梯度）就越大，从而粘性耗散作用就越大，直到出现粘性耗散与波的追赶效应出现平衡为止。出现平衡时波形内部高梯度区所对应的厚度 不再变化，为几个分子平均自由程的量级，宏观上可

15、以看成间断，也称为激波。激波厚度为1/10个微米的量级。激波内部有真实气体效应。,VI3:有间断的流动,参数与坐标系,激波左边参数和右边参数分别记为 和 ，另外激波的运动速度记为 实验室坐标系：在该坐标系中，管道（或其它固定物体）不动。在前面提到的例子中，激波一侧的气体是静止的。 一般坐标系：在一般坐标系中，两侧气体都有速度。 激波坐标系：坐标系原点固定于激波上，在该坐标系中，激波不动，即激波速度为0。,VI3:有间断的流动,参数关系式,设一般坐标系中的流动参数为 那么在激波坐标系中，相应的流动参数为,VI3:有间断的流动,守恒关系式,坐标系：选择激波坐标系。 守恒关系式：左边的（质量、动量与

16、能量）通量，等于右边的通量 ,即,VI3:有间断的流动,兰金于戈尼奥(R-H)关系式,利用 和前面的守恒关系式得R-H关系式 利用记号 ，则R-H(Rankine - Hugoniot)关系式(也称激波跳跃关系式)也可以写成,VI3:有间断的流动,R-H关系式的显示表达,对于气体动力学方程，R-H关系式可以写为,VI3:有间断的流动,历史上的兰金于戈泥奥关系式,由,历史,牛顿于1687年 用等温假设研究声音的传播。 Monge于1770年提出特征线理论，被Earnshaw(1858)和Riemann (1859) 独立用于气体动力学问题。 Poisson于1808年首次考虑有限振幅的波动（可看

17、成激波理论的首作）。同时他定义了气体比热比的符号 。 Laplace于1816年改用等熵假设改进了牛顿的理论。 Earnshaw(1851)发现雷电的超音速传播现象。 激波一词首先由Toepler于1864 年提出。 De Laval于1888年发明能产生超音速出流的收缩扩张管道（称为拉瓦尔喷管）。 Vieille于1899年发明激波管，通过弄破分开高压气体和低压气体的膜片，获得强激波并产生高温高速气流。,VI3:有间断的流动,历史续,接着Poisson的工作，Airy(1848), Stokes(1849), Rankine (1858,1870), Earnshaw(1958-1860),

18、 Riemann(1859), Hugoniot(1885-1887), , Rayleigh (1910), Taylor(1910),争吵着发展和完善了经典激波理论。 Riemann(1859)认为穿越激波熵不变。 Rankine (1869)与Hugoniot(1887)分别独立地发现穿越激波质点熵增加。 Rankine (1869)考虑热传导。 Hugoniot(1887)发现，在p-v相平面上，激波参数不满足绝热曲线，而满足动态绝热曲线（被称为Hugoniot Curve）。并且导出 上式被称为（Rankine-）Hugoniot关系式。,VI3:有间断的流动,激波坐标系中R-H关系

19、式的解,考虑量热完全气体，R-H关系式为,VI3:有间断的流动,绝热线和Hugoniot线,VI3:有间断的流动,激波坐标系中普朗特公式,由 得 另外由临界音速的定义有 从而,VI3:有间断的流动,注意,临界音速是这样定义的，气流到某一截面，其速度等于当地音速。用的是总焓守恒这一关系式 由于跨越（定常）激波总焓守恒，所以左边的临界音速等于右边的临界音速。但推广到非定常激波，需要特别注意。,VI3:有间断的流动,普朗特公式意义,可以写成 。分两种情况： 如果 ，因激波是压缩波，所以 因此波前必定是超音速（ ），波后是亚音速（ ）。 如果 ，因激波是压缩波，所以 因此波前必定是超音速（ ），波后是

20、亚音速（ ）。,VI3:有间断的流动,激波前后马赫数关系式,由速度系数关系式 和 得,VI3:有间断的流动,激波前后密度与速度关系式,由 得,VI3:有间断的流动,激波前后压力与温度关系式,由 得,VI3:有间断的流动,激波前后总压关系式,由 得,VI3:有间断的流动,激波前后总温总密度关系,由于 并且 所以 即激波前后总温不变 于是,VI3:有间断的流动,激波前后熵的变化,由,VI3:有间断的流动,激波坐标系中定性分析,“如果” ，那么 如果 ，则称为弱激波，因为,VI3:有间断的流动,一般坐标系,将前面的速度用相对速度 ，马赫数用相对马赫数 代替，则所有关系式维持不变。另外定义 压力比关系

21、不变 普朗特关系,VI3:有间断的流动,一般坐标系,马赫数关系 速度关系,VI3:有间断的流动,一般坐标系,压力密度关系 总压关系,VI3:有间断的流动,速度压力关系式,由 和,消去马赫数得右行和左行激波的速度压力关系式,与某状态相连的激波的p-V关系式,与状态 相连的右行激波满足 与状态 相连的左行激波满足,一般坐标系,熵关系式,VI3:有间断的流动,多激波定理,设左边马赫数和压力给定，经过若干道激波使气流压力增加到某一给定值。那么，经过一道激波比经过多道激波引起的总压损失更大，熵增更大。,VI3:有间断的流动,普朗特公式意义,可以写成 或 已经知道，在亚音速区，马赫数小于速度系数； 在超音

22、速区，马赫数大于速度系数。 分两种情况：,VI3:有间断的流动,普朗特公式意义续,如果 ，因激波是压缩波，所以 因此 即 因此，第I束特征线 向左行激波会聚。,VI3:有间断的流动,普朗特公式意义续,如果 ，因激波是压缩波，所以 因此 即 因此，第III束特征线 向右行激波会聚。,VI3:有间断的流动,同族激波性质,第I族特征线会聚的激波为I族激波，第III族特征线会聚的激波为III族激波。同族激波也可以说成是同向激波。也可以说成是左行（第I族、反向）激波或右行(第III族、正向)激波。 同族激波追赶定理：对于两个相邻的同族激波，后面的激波比前面的运动的快，必然赶上前面的。请用两种方法证明。,

23、VI3:有间断的流动,接触间断,前面提到的2简单波为接触间断，即速度和压力连续，密度（从而熵）有间断。间断以质点速度运动。 物理上也称为滑移线（面）。两相流的交界面为接触间断。 数学表达式为 思考题：证明接触间断也满足R-H关系式,VI3:有间断的流动,基本解的特征线表示,VI3:有间断的流动,思考题：唯一性问题,考虑一以速度 运动的激波，左右状态分别为 ，请问该激波是否可以用多个波（两个激波、一个激波加一个稀疏波等）代替？（激波表达唯一性问题）。,VI3:有间断的流动,思考题：稳定性问题,考虑一以速度 运动的激波，左右状态分别为 ，请问该激波在什么条件下是稳定的，也就是说，给定激波一个轻微的

24、扰动，激波是恢复原样？还是分解成其它波（或变得不成样子）？（激波稳定性问题）。,VI3:有间断的流动,黎曼问题定义,前面介绍了激波与接触间断，间断前后参数都满足R-H关系式。 如果给定一般间断 ，并且 和 不满足R-H关系式，即不存在 ，使得下式满足 那么将出现说明情况？解是什么？这就是黎曼问题。 黎曼问题在激波管（书p272-274-）等问题中有应用, 另外大量用于计算流体力学。,VI3:有间断的流动,黎曼问题的思考,给定间断左边的状态和右边的状态。如果是激波，那么激波速度是未知数。而激波跳跃关系式有三个关系式。因此，未知数个数(1)少于关系式(3)个数，即问题为超定问题，一般无解，即任意给

25、定的间断一般不为激波。 既然一般初始间断不是一个激波，那么有可能立即分解为几个基本解，如两个激波或更多、激波加接触间断或激波加中心稀疏波。这些解都是最简单的解。物质世界越简单越稳定。 到底是何种组合，首先要考虑问题的确定性。,VI3:有间断的流动,黎曼问题的思考续,假设初始间断分解为两个激波，它们中间的（均匀流）状态记为 。两个激波各有一个速度。因此给定左边和右边流动参数后，有3个流动参数和2个激波速度。而两个激波的跳跃关系式加起来有6个。于是未知数个数（5个）少于于方程个数（6个）。于是问题变成超定的，一般无解。 初始间断不可能分解为三个激波。这是因为，如果有三个，那么必然有两个属于同族激波

26、，从而前者被后者赶上。刚分开又和好，自然界不存在。,VI3:有间断的流动,黎曼问题的思考续,假设分解为三个波（激波、接触间断或中心稀疏波），则中间出现两段均匀流区，共6个未知数。如果中间波为接触间断，那么左右波无论是激波还是中心稀疏波，都可以使未知数个数等于方程个数（课堂解释）。,VI3:有间断的流动,黎曼问题的思考续,因此，一般情况下，黎曼问题的解为一个向右的激波或中心稀疏波、中间一个接触间断、一个向左的激波或中心稀疏波。特殊情况下上述波的数量减少到两个，更特殊的情况减少到一个。,VI3:有间断的流动,黎曼问题思考续,思考题：能否出现4个或以上的波的情况？（证明不能） 具体出现何种情况，还得

27、根据左右流动状态决定。利用穿越各波的关系式，消去参数，剩下一个，看是否有合理的解。对于给定的左右状态，合理的解一般是唯一的。目前有通用软件求解黎曼问题的精确解（判断出现何种情况和给出相应的解）。,VI3:有间断的流动,黎曼问题精确解,给定初始间断的左右状态，确定t0时刻的波态、波的强度和波与波之间的流动特性的问题称为黎曼问题。,VI3:有间断的流动,黎曼问题的精确解续,五种波态:RCS;SCR;SCS;RCR;RCVCR,VI3:有间断的流动,黎曼问题的精确解续,五种波态边界(p-V图，N表示退化) 具体边界见 计算流体力学基本原理 第111页.,VI3:有间断的流动,RCS情况,左移稀疏波关

28、系式 右移激波关系式,VI3:有间断的流动,RCS情况续,由 得,VI3:有间断的流动,RCS情况续,由 得,VI3:有间断的流动,RCS情况续,由 得 从而,VI3:有间断的流动,RCS情况续,由 两者相减得 上式即为确定压力 的代数方程（迭代法求）。,VI3:有间断的流动,RCS情况续,得到压力 后，由等熵关系式 确定密度 ，再由 确定速度 ，再由 确定密度,VI3:有间断的流动,思考题,用上述类似思路，考虑下面问题的解: SCR问题 RCR问题 SCS问题 .,VI3:有间断的流动,黎曼问题得一般公式,求 和 的一般公式为 参考文献: E.F.Toro, Riemann Solvers

29、and Numerical Methods for Fluid Flows, Springer, 1999.,VI3:有间断的流动,黎曼问题得一般公式,这里， 由下式定义,VI3:有间断的流动,黎曼问题得一般公式,这里， 由下式定义,VI3:有间断的流动,黎曼问题得一般公式,系数 由下面式子定义,VI3:有间断的流动,波的相互作用,波(简单波、激波、接触间断)在物理平面上的反射。 波的相互作用。 激波的反射、衍射、折射（略）。 激波的合并与分裂（两个同向激波可以合并成一个吗？一个激波可以分裂成两个吗？略）。,VI3:有间断的流动,膨胀波在固体壁面上的反射,考虑右行膨胀波（ ），在静止气体中向右

30、传 播，在右边固体壁面上反射。反 射时相当于静止气体突然向左以 某速度运动，由于壁面处速度保 持为零，所以仍有 ， 即右行膨胀波在固壁上反射为 左行膨胀波。 如果是中心简单波，则反射规 律见p256-257.,VI3:有间断的流动,压缩波在固体壁面上的反射,考虑右行压缩波（ ），在静止气体中向右传 播，在右边固体壁面上反射。反 射时相当于静止气体突然向右以 某速度运动，由于壁面处速度保 持为零，所以仍有 ， 即右行压缩波在固壁上反射为 左行压缩波。,VI3:有间断的流动,激波在固体壁面上的反射,考虑右行激波，在静止气体中向右传 播，在右边固体壁面上反射。反 射时相当于静止气体突然向右以 某有限

31、速度运动，由于壁面处速 度保持为零，所以反射波必为激 波。 反射规律见p266-267。,VI3:有间断的流动,波在开口端的反射,与固体壁面速度恒为0相反，在开口端（大气压）压力恒定。 右行膨胀波（左边压力低）反射为左行压缩波（由于右端开口端压力固定，所以左边压力低的状态仍然保持，对于左行波，质点穿越波时被压缩）。同理，右行压缩波和激波都反射为膨胀波。,VI3:有间断的流动,等熵波的相互作用,异族膨胀波相互碰撞，其透射波仍为膨胀波 异族压缩波相互碰撞，其透射波仍为压缩波 膨胀波和压缩波相互膨胀，压缩波的透射波仍为压缩波，膨胀波的透射波仍为膨胀波。 原因（极限思考法）：考虑等熵波的极限情况即小扰动情况，此时各波的相互干扰近似为线性干扰，相互近似无干扰。 严格说明请参阅p258-259.,VI3:有间断的流动,非等熵波与任意波的相互作用,异族激波的相互碰撞。 激波与膨胀波的相互碰撞。 激波与接触间断的相互碰撞。 膨胀波与接触间断的相互碰