概率论与数理统计第5讲.ppt

1、,概率论与数理统计 第五讲,主讲教师：杨勇,佛山科学技术学院数学系,随机变量概念的产生,在实际问题中，随机试验的结果可用数量来表示，这就产生了随机变量的概念。,2.1 随机变量,一方面，有些试验，其结果与数有关(试验结果就是一个数)；,另一方面，有些试验，其结果看起来与数值无关，,但试验结果可以数值化。,第二章 一维随机变量及其分布, 试验结果与数值有关的例子：,1. 掷一颗骰子，观察其上面出现的点数；,4. 七月份北京的最高气温；,每天北京站下火车的人数；,3. 每年12月份北京发生交 通事故的次数；,5. 一部电梯一年内出现故障的次数。, 试验结果看起来与数值无关，但试验结果可以数值化的例

2、子：,在投篮试验中，用0 表示投篮未中，1 表示罚篮命中，3 表示三分线外远投命中，2 表示三分线内投篮命中，则随机试验结果可数值化。,2. 在掷硬币试验中，用1 表示带国徽或人头 的一面朝上，0 表示另一面朝上，则随机 试验的结果也可数值化。,这种随机试验结果与数值的对应关系，在数学上可理解为:,.,X,定义一个实值函数 X(), 将,称这种定义在样本空间上的实值单值函数为随机变量，简记为 r.v. ( random variable ) 。, X() 的取值是不确定的，它随试验结果的不同而取不同的值。故, 在试验之前只知道其可能取值的范围，而不能预知其取哪个具体的值。, 由于试验结果的出现

3、具有一定的概率，所以 “ X() 取每个值或某个确定范围内的值” 也有一定的概率。,注意：,随机变量的取值一般用小写字母 x, y, z 等表示。,随机变量通常用英文大写字母X,Y, Z 或希腊字母,等表示。,有了随机变量，随机试验中的各种事件都可以通过随机变量的关系式表达出来。,引入随机变量的意义,如：用 X 表示单位时间内某信号台收到呼叫的次数，则 X 是一个随机变量。,事件 收到呼叫 X 1；,没有收到呼叫 X=0。,随机变量概念的产生是概率论发展史上重大的事件。引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩充到对随机变量及其取值规律的研究。,随机变量的分类,(通

4、常分两大类)：,如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等。,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取值可 以逐个列举,如：“电视机的使用寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等。,全部可能取值不仅有无 穷多，而且不能一一 列举，充满某些区间。,这两种类型的随机变量因都是随机变量，自然会有许多相同或相似之处；但因其取值方式不同，故又有其各自的特点。,学习时要注意它们各自的特点及描述方法。,设X是一个离散型随机变量，其可能取值为 x1, x2 , 。,为描述随机变量 X ，我们不仅要知道其所有可能的取值，还应知道取各值的概率。,2.2 离散型随机变量,这样，我们就掌握了X 这个取值的概率分布

5、。,例1：从盒中任取3 球， 记 X 为取到白球数。则 X 是一随机变量。,X 可能取的值为: 0, 1, 2。,取各值的概率为,且,用这两条性质判断 一个数列是否是某 个随机变量的概率 分布。,2.2.1 离散型随机变量概率分布的定义,定义1 ：设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 且有,则称（1）式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律，也称概率函数。其中 p1 , p2, 满足,（1）,概率分布也可用下面表格的形式给出：,解：依据概率分布的性质,欲使上述数列为概率分布，应有,例2：设随机变量 X 的概率分布为,确定常数 a 。,从中解得,这里用到了幂级数展开式,例 3：,如上图所示,

6、电子线路中装有两个并联继电器。设这两个继电器是否接通具有随机性，且彼此独立。已知各电器接通的概率为0.8，记X为线路中接通的继电器的个数。 求 (1). X 的概率分布；(2). 线路接通的概率。,解：(1). 记 Ai=第 i 个继电器接通, i =1, 2. 因两个继电器是否接通是相互独立的, 所以A1和A2相互独立，且 P(A1)=P(A2)= 0.8 . 下面求 X 的概率分布: 首先，X 可能取的值为: 0, 1, 2 . PX=0 = P表示两个继电器都没接通,PX=1 = P恰有一个继电器接通,PX=2 = P两个继电器都接通,所以，X的分布律为,(2). 因线路是并联电路，所以

7、 P(线路接通) = P(只要一个继电器接通) = PX1 = PX=1+PX=2 = 0.32+0.64 = 0.96.,2.2.2 常见离散型随机变量的概率分布,1. （01）分布（也称两点分布）,设 E 是一个只有两种可能结果的随机试验, 用= 1, 2 表示其样本空间。 P(1) = p , P(2) = 1-p .,则称X的概率分布是（01）分布（或两点分布）, 记成 XB(1, p) 。,从而,例 4：200 件产品中，有196件正品，4件次品，今从中随机地抽取一件，若规定,则 PX=1 = 196/200 = 0.98, PX=0 = 4/200 = 0.02 . 故 X 服从参

8、数为0.98的两点分布， 即 XB(1, 0.98)。,例5：某射手每次射击时命中10环的概率为 p, 现进行 4 次独立射击，求 恰有 k 次命中10环的概率。,2. 伯努利概型与二项分布,解：用X 表示 4 次射击后, 命中10环的次数, 则,其中“”表示未中，“”表示命中。,易见：X 的概率分布为,例6：将一枚匀称的骰子掷 3 次，令X 表示 3 次中出现“4”点的次数。,不难求得，X 的概率分布是为,掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”,射击：“中10环”， “未中10环”,抽验产品：“抽到正品”,“抽到次品”,设重复地进行 n 次独立试验，每次试验“成功”的概率都是 p, “失败”的

9、概率是 q=1-p 。,一般地，设在一次试验中只有两个互逆的结果： , 形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”。如：,这样的 n 次独立重复试验称作 n 重伯努利试验，简称伯努利试验或伯努利概型。,用X 表示 n 重伯努利试验中事件A发生的次数，则,称随机变量 X 的概率分布是参数为 n, p 的二项分布, 记成 X B(n, p)。,伯努利概型对试验结果有下述要求：,(1). 每次试验条件相同；,二项分布描述的是：n 重伯努利试验中,事件A发生的次数 X 的概率分布。,(3).各次试验相互独立。,(2). 每次试验只考虑两个互逆结果 A 或 ,例7 ：已知某类产品的次品率为0.2，现从一

10、大批这类产品中随机地抽查20件,问恰有k件次品的概率是多少？,解: 设X为20件产品中次品的个数，则,X B (20, 0.2)，,这是不放回抽取，但抽取 的数量比产品的数量小很 多，故可当不放回抽取,则有,20件产品中恰有k件次品的概率分布表,下面我们研究二项分布 B(n, p) 和两点分布B(1, p)之间的一个重要关系。,设试验 E 只有两个结果: A 和 。,将试验 E 在相同条件下独立地进行 n 次，记 X 为 n 次独立试验中A出现的次数。描述第 i 次试验的随机变量记作 Xi , 则 Xi B(1, p)，且 X1, X2 , , Xn相互独立 ( 随机变量相互独立的严格定义将在

11、后面讲述)。则有,X= X1+X2+ +Xn .,设随机变量 X 所有可能取的值为: 0, 1, 2, 概率分布为：,3. 泊松分布,易见,例8：某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数 =3 的泊松分布。求： (1). 一分钟内恰好收到3次寻呼的概率； (2).一分钟内收到2至5次寻呼的概率。.,解:,(1). PX=3 = P(3; 3) = (33/3!)e-3 0.2240； (2). P2X5 = PX=2 + PX=3 + PX=4 + PX=5 = (32/2!) + (33/3!) + (34/4!) + (35/5!) e-3 0.7169.,解:,例 9: 某一城市每

12、天发生火灾的次数 X 服从参数为0.8的泊松分布。求该城市一天内发生 3 次以上火灾的概率。,PX3= 1-PX3 = 1-( PX=0+PX=1+PX=2 ) = 1-( (0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!) )e-0.8 0.0474 .,泊松分布的图形,历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 。,二项分布与泊松分布的关系,定理1(泊松定理): 对二项分布 B(n,p), 当 n充分大, p又很小时,对任意固定的非负整数 k，有近似公式,由泊松定理，n重伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布。,我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件。如：地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等。,例10：某出租汽车公司共有出租车400辆，设每天每辆出租车出现故障的概率为0.02，求:一天内没有出租车出现故障的概率。,解: 将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验 E。因为每辆车是否出现故障与其它车无关, 于是, 观察400辆出租车是否出现故障就是做 400 次伯努利试验。设 X 表示一天内出现故障的出租车数, 则 X B(400, 0.02)。 令 =