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文档简介
1、2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合A=x|x1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入AA1 000和n=n+1BA1 000和n=n+2CA1 000和n=n+1DA1 000和n=n+29已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+),则下面结论正确的是A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
2、C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C210已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为A16B14C12D1011设xyz为正数,且,则A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是A440B330C220D110二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
3、13已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则| a +2 b |= .14设x,y满足约束条件,则的最小值为 .15已知双曲线C:(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若MAN=60,则C的离心率为_。16如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥。当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm
4、3)的最大值为_。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB/CD,且.(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,求二面角A-PB-C的余弦值.19(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个
5、零件,并测量其尺寸(单位:cm)根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,求及的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查()试说明上述监控生产过程方法的合理性;()下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得,其中为抽取的第个零件的尺寸
6、,用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01)附:若随机变量服从正态分布,则,20.(12分)已知椭圆C:(ab0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1,证明:l过定点.21.(12分)已知函数ae2x+(a2) exx.(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求a的取值范围.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答
7、。如果多做,则按所做的第一题计分。22选修44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为.(1)若a=1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l的距离的最大值为,求a.23选修45:不等式选讲(10分)已知函数f(x)=x2+ax+4,g(x)=x+1+x1.(1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1,求a的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. A2B
8、3B4C5D6C7B8D9D10A11D12A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。1314-51516三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长.解:(1)由题意可得,化简可得,根据正弦定理化简可得:。(2)由,因此可得,将之代入中可得:,化简可得,利用正弦定理可得,同理可得,故而三角形的周长为。
9、18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB/CD,且.(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,求二面角A-PB-C的余弦值.(1)证明:,又,PA、PD都在平面PAD内,故而可得。又AB在平面PAB内,故而平面PAB平面PAD。(2)解:不妨设,以AD中点O为原点,OA为x轴,OP为z轴建立平面直角坐标系。故而可得各点坐标:,因此可得,假设平面的法向量,平面的法向量,故而可得,即,同理可得,即。因此法向量的夹角余弦值:。很明显,这是一个钝角,故而可得余弦为。19(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其
10、尺寸(单位:cm)根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,求及的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查()试说明上述监控生产过程方法的合理性;()下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得,其中为抽取的第个零件的尺寸,用样本平均数
11、作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01)附:若随机变量服从正态分布,则,解:(1)由题意可得,X满足二项分布,因此可得(2)由(1)可得,属于小概率事件,故而如果出现的零件,需要进行检查。由题意可得,故而在范围外存在9.22这一个数据,因此需要进行检查。此时:,。20.(12分)已知椭圆C:(ab0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1,证明:
12、l过定点.解:(1)根据椭圆对称性可得,P1(1,1)P4(1,)不可能同时在椭圆上,P3(1,),P4(1,)一定同时在椭圆上,因此可得椭圆经过P2(0,1),P3(1,),P4(1,),代入椭圆方程可得:,故而可得椭圆的标准方程为:。(2)由题意可得直线P2A与直线P2B的斜率一定存在,不妨设直线P2A为:,P2B为:.联立,假设,此时可得:,此时可求得直线的斜率为:,化简可得,此时满足。当时,AB两点重合,不合题意。当时,直线方程为:,即,当时,因此直线恒过定点。21.(12分)已知函数ae2x+(a2) exx.(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求a的取值范围.解:(1)对函数进
13、行求导可得。当时,恒成立,故而函数恒递减当时,故而可得函数在上单调递减,在上单调递增。(2)函数有两个零点,故而可得,此时函数有极小值,要使得函数有两个零点,亦即极小值小于0,故而可得,令,对函数进行求导即可得到,故而函数恒递增,又,因此可得函数有两个零点的范围为。(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22选修44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为.(1)若a=1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l的距离的最大值为,求a.解:将曲线C 的参数方程化为直角方程为,直线化为直角方程为(1)当时,代入可得直线为,联立曲线方程可得:,解得或,故而交点为或(2)点到直线的距离为,即:,化简可得,
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