《数理方程》PPT课件.ppt

1、1,Email: ,数理方程与特殊函数,任课教师：杨春,数学科学学院,2,本次课主要内容,(一)、常微分方程求解,(二)、积分方程求解,(三)、求解偏微分方程定解问题,傅立叶变换的应用,3,c.将边界条件齐次化后，先采用延拓法，然后用傅立叶变换法求解.,傅立叶变换的应用,应用范围:,(1) 求解无界区域的定解问题, 直接傅氏求解;,(2) 对于半无界区域的定解问题:,a. 第一类边界条件, 采用傅立叶正弦变换;,b.第二类边界条件,采用傅立叶余弦变换；,4,例1 利用傅立叶变换解微分方程：,解：方程两边作傅立叶变换有：,等式中第一项为：,由像函数的导数定理：,(一)、常微分方程求解,5,所以，

2、,所以，原方程经过傅立叶变换后得到：,6,例2 求解积分方程：,解 (1) 对积分方程两端作傅立叶变换,(二)、积分方程求解,由卷积性质：,所以方程变换为：,7,(2) 求像函数,(3) 求原像函数,正弦与余弦变换,正弦变换：,8,正弦变换的逆变换：,余弦变换：,余弦变换的逆变换：,9,例3 求解积分方程：,其中：,解：方程左边为y(x)的傅立叶正弦变换，因此，y(x)等于F()的正弦逆变换。,10,所以，方程的解为：,(三)、求解偏微分方程定解问题,1、全无界域上的定解问题,11,例4 求解无界弦振动方程的初值问题,解 (1) 对定解问题作对应于空间变量的傅立叶变换,变换后得关于t的常微分方

3、程定解问题：,12,*中方程的通解为：,*定解为：,(2) 求像函数,(3) 求原像函数,13,由延迟定理 ：,所以：,14,于是得定解为：,15,本例小结,1、傅立叶变换施行的变量对象是无界变量；,2、作傅立叶变换和逆变换时要灵活应用傅立叶变换性质。本例涉及的性质是：,(1)、线性性质：,(2)、原象的导数定理：,(3)、延迟定理：,(4)、积分定理：,16,例5 求解上半平面拉普拉斯方程的狄氏问题,解 (1) 对定解问题作对应于空间变量x的傅立叶变换:,变换后得关于y的常微分方程定解问题：,17,*中方程的通解为：,当0时：,(2) 求像函数,(3) 求原像函数,当0时：,像函数为：,18

4、,由卷积定理 ：,直接计算或查表得：,19,于是得定解为：,20,本例小结,1、本例的无界变量是x而不是y；,2、本例涉及的性质是：,(1)、线性性质：,(2)、原象的导数定理：,(3)、卷积性质：,21,例6 求无限长梁自由振动的定解问题：,解 (1) 对定解问题作对应于空间变量x的傅立叶变换:,变换后得关于t的常微分方程定解问题：,22,(2) 求像函数,(3) 求原像函数,像函数为：,由卷积定理 ：,23,通过查表计算得：,24,例7 设有一根无限长的杆，杆上有强度为 F(x,t)的热源，杆的初始温度为(x)，试求 t0时杆上温度的分布规律。,解：定解问题为：,(1) 对定解问题作对应于

5、空间变量x的傅立叶变换,25,(2) 求像函数,(3) 求原像函数(查表),26,2、半无界域上的定解问题,半无界域上的定解问题一般采用正、余弦变换求解。,a. 第一类边界条件, 采用傅立叶正弦变换;,b. 第二类边界条件,采用傅立叶余弦变换。,也可以将边界条件齐次化后，采用延拓法，最后用傅立叶变换法求解.,27,例8 求定解问题 (端点固定的半无界弦振动),解 (1) 对定解问题中(1)、(3)作对应于空间变量x的傅立叶正弦变换,变换后得关于t的常微分方程定解问题：,28,(2) 求像函数,(3) 求原像函数,像函数为：,29,同理计算得：,30,注：三角函数积化和差公式为：,问题：采用余弦

6、变换行吗？为什么？,31,例9 求如下定解问题 ：,解：以 x 为积分变量，作余弦变换 :,32,于是得变换后的定解问题为：,解为：,33,作反余弦变换,34,注：,问题：本题采用正弦变换行吗？为什么？,35,例10 求定解问题,解：将边界条件齐次化，仿波动方程问题作奇延拓，将问题化为无界问题,1、边界条件齐次化,令：,得：,36,要使该解满足*的边界条件，只要：,*对应的全无界问题为：,*的解为：(由例7),37,(2) 奇延拓,不难发现：只要(x)为奇函数即可！,该定解问题的解为：,38,即得：,将该解限制在x0上，即得到原定解问题的解,通过积分换元得：,39,当x0时：,40,作业,P1

7、15习题5.2第1、2、3、4、5、6、7、8题,41,补充材料,有限区域上的傅立叶变换及其应用,1、正弦变换：,正弦逆变换：,其中，f (x)是定义在【0，】上的满足狄氏条件的函数；n是正整数。,一、定义,42,2、余弦变换：,余弦逆变换：,其中，f (x)是定义在【0，】上的满足狄氏条件的函数；n是正整数或零。,43,二、应用：,例1 求下面定解问题,分析：显然，可以采用分离变量法求解。但现在采用有限余弦变换法求解。,1、对定解问题作有限余弦变换,44,得到如下定解问题：,2、求像函数,3、求原像函数,45,例2 求下面定解问题,解：1、对定解问题作有限正弦变换,方程变换为：,46,边界条件变换：,2、求像函数,