北京市顺义区2014届高三第一次统练考试数学(理)试题

1、.本试卷共 4 页， 150 分.考试时长 120 分钟 .考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效 .考试结束后将答题卡交回.第一部分 （选择题共 40 分）一. 选择题共 8 个小题 ,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知集合 ax | 3 x1 , bx | x 2,则集合 a u ba. x | 3 x 1b. x |3 x 2c.x | x 1d. x | x 22.在极坐标系中，过点(2,) 且垂直于极轴的直线方程为3a.sin1.bsin1 c.cos1 d.cos13. 执行右边的程序框图，若 p 5，则输出的 s 值为

2、a.7b.15816c.31d.633264rrr2 1) ，则 krr4. 已知向量 a (2,1)， ab (1,k2是 ab 的(a)充分不必要条件(b) 必要不充分条件(c)充分必要条件(d)既不充分也不必要条件5.将 4 名学生分配到甲、乙、丙3 个实验室准备实验，每个实验室至少分配 1 名学生的不同分配方案共有a. 12种b 24 种c. 36种d. 48 种6.已知函数 f (x)cos(2x)cos2x ，其中 xr ，给出下列四个结论3.函数 f ( x) 是最小正周期为的奇函数；.函数f ( x) 图象的一条对称轴是 x2；3.函数 f ( x) 图象的一个对称中心为 (5

3、,0) ；12.函数f ( x) 的递增区间为 k, k2， kz .36则正确结论的个数是(a) 1 个(b) 2个(c) 3个( d)4 个7.已知 a0 且 a1，函数 f (x)(a1)x3a4,( x0)满足对任意实数 x1x2 ，都有a x ,( x0)f ( x2 )f ( x1 )0成立，则 a 的取值范围是x2x1（a） 0,1（ b） 1,（ c）5（）51,d, 2338.设非空集合 m 同时满足下列两个条件： m1,2,3, n1 ；若 am ，则 n am ， (n2, nn)则下列结论正确的是.n（a）若 n 为偶数，则集合 m 的个数为22个；n（b）若 n 为偶

4、数，则集合 m 的个数为221个；n1（c）若 n 为奇数，则集合 m 的个数为 2 2个；n1（d）若 n 为奇数，则集合 m 的个数为2 2个.二.填空题 (本大题共 6 个小题 ,每小题 5 分,共 30 分)9. 已知 i 为虚数单位，在复平面内复数2i对应点的坐标为 _.1i10.一个几何体的三视图如图所示，3则这个几何体的体积是 _4主视图侧（左）视图俯视图.11. ( x1 )6 的展开式中，常数项是 _.x12.已知抛物线 y22 px（ p0 ）的焦点为 f ，准线为 l ， p 为抛物线上一点， pa l ，垂足为 a .如果 vapf 是边长为 4 的正三角形，则此抛物线

5、的焦点坐标为_,点 p 的横坐标 xp_.4x3y4013. 设 x, y 满足约束条件4xy40 ，若目标函数 z ax by (a 0, b0) 的最大值x 0 y 0为 8，则 ab 的最大值为 _.14.设等差数列an 满足公差 dn, ann,且数列an 中任意两项之和也是该数列的一项 .若 a135 ，则 d 的所有可能取值之和为_.三解答题（本大题共6 个小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题共 13 分）已知 vabc 中，角 a ， b ， c 所对的边分别为 a ， b ， c ，且满足sin a( 3 cos a sin a)32（）求

6、角 a ；（）若 a 2 2 ， sv abc2 3 ，求 b ， c 的值 .16.（本小题共 13 分）某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛 ,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有 5 次答题机会，选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止比赛， 答对 3 题者直接进入复赛， 答错 3 题者则被淘汰 .已知选手甲答对每个题的概率均为2 ，且相互间没有影响 .(）求选手甲进入复赛的概率；3() 设选手甲在初赛中答题的个数为x ，试求 x 的分布列和数学期望 .17.（本小题共 14 分）如图在四棱锥 pabcd 中，底面 abcd 是菱形，

7、bad600 ，平面 pad平面 abcd ， papdad 2 ， q 为 ad 的中点， m 是棱 pc上一点，且1pmpc .3p（）求证： pq平面 abcd ；m（）证明： pa 平面 bmq ；（）求二面角 mbqc 的度数 .qdc18.（本小题共 13 分）ab已知函数 f ( x)1 ax2xln x （ ar, a 0 ）2（）当 a2 时，求曲线 yf ( x) 在 (1, f (1) 处的切线方程；（）若在区间 1,上函数 f ( x) 的图象恒在直线 yax 下方，求 a 的取值范围19.（本小题共 14 分）已知椭圆 c 的离心率 e2 ，长轴的左右端点分别为 a1

8、 (2,0) ， a2 ( 2,0) 2（）求椭圆 c 的方程；（）设动直线 l : y kxb 与曲线 c 有且只有一个公共点 p ，且与直线 x 2相交于点 q .问在 x 轴上是否存在定点 n ，使得以 pq 为直径的圆恒过定点 n ，若存在，求出 n 点坐标；若不存在，说明理由 .20.（本小题共 13 分）对任意实数列 aa1, a2 , a3，定义 vaa2 a1, a3 a2 , a4 a3, 它的第 n 项为an 1 an (n n ) ,假设 va 是首项是 a 公比为 q 的等比数列 .（）求数列 v(va) 的前 n 项和 tn ；（）若 a1 1， a2， q2 .求实

9、数列 aa1 , a2 ,a3的通项 an ；证明： n1a1a2a3ann .23 a2a3a4an 12.即 3sin 2 a1cos 2a 1sin(2 a)1 5 分226q 0a，2 a11666由 sin(2 a) 1得 2 a6，a 7 分623或选手甲答了 4 个题，前 3 个 2 对 1 错，第 4 次对进入复赛c32 ( 2)2 1 28 ， 4 分33 327或选手甲答了 5 个题，前 4 个 2 对 2 错，第 5 次对进入复赛2(2 2(1)2216c43)3381分 6.选手甲进入复赛的概率881664p( a)2781 7 分2781x345p110832727e

10、x107 13 分27（）连结 bd ， q 底面 abcd 是菱形，且 bad600 ，vbad 是等边三角形，bqad 由（） pq平面 abcd .pqad .以 q 为坐标原点， qa, qb,qp 分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系则 q(0,0,0), a(1,0,0), b(0, 3,0), p(0,0, 3) . 10 分.urur uuur0m qb设平面 bmq 的法向量为 m( x, y, z) ，ur uuuur，注意到 mn pam mn0ur uuur0urm qb( 3,0,1) 是平面 bmq 的一个法向量12 分ur uuur0，解得 mm pa

11、（）令 g( x)f ( x) ax1 ax2x ln x ax 定义域 (0, )2在区间 1,上，函数 f ( x) 的图象恒在直线 yax 下方，19（本小题共14 分）.解：（）由已知 a2,c2e 2 分a2c 1 ， b a2c21椭圆 c 的方程为 x2y21 ； 4 分2npuuuruuur0 10 分nq ，即 npnq( 2kx1 , 1)(2x1 ,2kb) 0 ，bb2k ( x11)x122x110 对满足 b22k21恒成立，bx110，x11x22x11 0故在 x 轴上存在定点 n (1,0) ，使得以 pq 为直径的圆恒过定点n . 14 分20（本小题共 1

12、3 分）解：（）令 vab1 ,b2 , b3这里 bnan 1an ,( nn )q va 是公比为 q 的等比数列 .vab1,b1q, b1q2vv( a)b1( q1),b1q(q1),b1q2 ( q1)，当 q1时， vv( a)0,0,0，tn0 ，. 2 分.当 q1时， v(va) 是公比为 q ，首项为 b1 (q1) 的等比数列； .tnb1 (q1)(1 qn )b1 (1qn )a(qn1) . 4 分1q综上 tna( qn1)nn. 6 分（）由题设 a2, q2 ，bn2n ，q an1anbn(nn) 叠加可得 an 2n1（ nn）. 8 分 q ak2k12k12k11ak12k112(2k12(2 k1)2)2a1a2a3an1111 n . 10 分a2a3a4an 12 2 22 2ak2k1(2k1)11111又 q22ak2k11k122k122(2k 11)12(22(2)22k n