高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.2.1 复数的加法与减法学案 新人教B版选修

1、32.1复数的加法与减法1掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算(重点)2理解复数加减法运算的几何意义，能解决相关的问题(难点、易混点)基础初探教材整理1复数代数形式的加减法阅读教材P91例1以上部分1运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.2加法运算律设z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)复数与向量一一对应()(2)复数与复数相加减后结果只能是实数()(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小()【答案】(1)(2)(3

2、)教材整理2复数加减法的几何意义阅读教材P92练习A以上部分，完成下列问题若复数z1，z2对应的向量分别为，.复数加法的几何意义复数z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数已知向量O1对应的复数为23i，向量O2对应的复数为34i，则向量对应的复数为_【解析】O2O1(34i)(23i)1i.【答案】1i质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型复数的加减法运算(1)(2i)_.(2)已知复数z满足z13i52i，求z.(

3、3)已知复数z满足|z|z13i，求z.【自主解答】(1)(2i)i1i.【答案】1i(2)法一：设zxyi(x，yR)，因为z13i52i，所以xyi(13i)52i，即x15且y32，解得x4，y1，所以z4i.法二：因为z13i52i，所以z(52i)(13i)4i.(3)设zxyi(x，yR)，则|z|，又|z|z13i，所以xyi13i，由复数相等得解得所以z43i.1复数加减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项2当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设zabi(a，bR)再练一题1复数(

4、1i)(2i)3i等于() 【导学号：】A1iB1iCiDi【解析】(1i)(2i)3i(12)(ii3i)1i.故选A.【答案】A复数加减法的几何意义(1)在复平面内，平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个顶点A，B，C对应的复数分别是13i，i,2i，则点D对应的复数为_(2)已知z1，z2C，|z1|z2|1，|z1z2|，求|z1z2|.【精彩点拨】(1)先写出点A，B，C的坐标，利用向量D列方程求解(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决【自主解答】(1)设D(x，y)，类比向量的运算知AD，所以有复数i(13i)2i(xyi)，得x3，y5，所以D对应的复数为3

5、5i.【答案】35i(2)设复数z1，z2，z1z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由|z1|z2|1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，在OZ1Z 中，由余弦定理，得cosOZ1Z，所以OZ1Z120，所以Z1OZ260，因此OZ1Z2是正三角形，所以|z1z2|Z2Z1|1.利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论1技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中2常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形

6、OACB：(1)为平行四边形；(2)若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形再练一题2若把上例(2)中的条件“|z1z2|”改为“|z1z2|1”，则|z1z2|等于多少？【解】设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，由|z1|z2|1，|z1z2|1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形OZ1ZZ2，OZ为对角线，OZ1Z2为正三角形，由余弦定理，得|z1z2|2|z1|2|z2|22|z1|z2|cosOZ1Z，因为Z1OZ260，所以OZ1Z

7、120，所以|z1z2|.探究共研型复数加减法的几何意义的应用探究1在实数范围内ab0ab恒成立，在复数范围内是否有z1z20z1z2恒成立呢？【提示】若z1，z2R，则z1z20z1z2成立否则z1z20z1z2.如果z11i，z2i，虽然z1z210，但不能说1i大于i.探究2复数|z1z2|的几何意义是什么？【提示】复数|z1z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,42i，由ABCD按逆时针顺序作ABCD，求|.【精彩点拨】首先由A，C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标【自主解答】如图，设D(x，y)，F

8、为ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，所以即所以点D对应的复数为z33i，所以33i123i，所以|.1解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解2复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题再练一题3已知zC，且|z34i|1，求|z|的最大值与最小值【解】由于|z34i|z(34i)|1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数34i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(3,4)为圆心

9、，半径等于1的圆而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|5，所以点Z到原点O的最大距离为516，最小距离为514.即|z|最大值6，|z|最小值4.构建体系1设z12i，z215i，则|z1z2|为()A.B5C25 D.【解析】|z1z2|(2i)(15i)|34i|5.【答案】B2设复数zabi对应的点在虚轴右侧，则()Aa0，b0Ba0，b0，aRDa0，bR【解析】复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数【答案】D3已知|z|3，且z3i是纯虚数，则z_. 【导学号：】【解析】设zxyi(x，yR)，3，且z3ixyi3ix(y3)i是纯虚数，则由可

10、得y3.z3i.【答案】3i4若|z2|z2|，则|z1|的最小值是_ .【解析】由|z2|z2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到点(2,0)距离相等的点即虚轴，|z1|表示z对应的点到点(1,0)的距离，|z1|最小值1.【答案】15集合Mz|z1|1，zC，Nz|z1i|z2|，zC，集合PMN.(1)指出集合P在复平面内所表示的图形；(2)求集合P中复数模的最大值和最小值【解】(1)由|z1|1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z1i|z2|可知，集合N在复平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此，集合P在复平面内所表示的图