概率论与数理统计置信区间.ppt

1、解(1) 样本的似然函数为,当0 0,X1, X2, , Xn 是取自总体X的一组样本,求 的极大似然估计量与矩估计量.,其中 0为未知参数,例 设总体 X 的密度为,故有对数似然函数：,对 求导并令其为 0 可得似然方程：,= 0 ,解得极大似然估计量：,令,(2),解得矩估计量：,而区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.,无偏性 有效性 一致性, 估计量的期望值等于未知参数的真值.,为了使估计的结论更可信, 需要引入区间估计.,评选标准, 方差更小的无偏估计量., 样本 k 阶原点矩是总体 k 阶原点矩 的无偏估计量 ;, 样本方差 S 2 是总体方差 2 的无偏估计量 ;, 无偏估计量的函

2、数未必是无偏估计量, 在 的所有线性无偏估计量中, 样本均值 X 是最有效的.,参数的点估计是用样本算得的一个值去估计未知参数. 使用起来把握不大.,点估计值仅仅是未知参数的一个近似值, 它没有反映出这个近似值的误差范围.,若我们根据一个实际样本得到鱼数 N 的极大似然估计为 1000 条.,一个可以想到的估计办法是：若我们能给 出一个区间,并告诉人们该区间包含未知参数 N的可靠度 (也称置信系数).,但实际上, N 的真值可能大于 1000 条, 也可能小于1000条.,7.3 单个正态总体均值与方差的置信区间,也就是说,给出一个区间，使我们能以一定的可靠度相信区间包含参数 。,湖中鱼数的真

3、值, ,这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的, 称为置信概率，置信度或置信水平.,习惯上把置信水平记作 1- ,这里 是一个很小的正数.,譬如，在估计湖中鱼数的问题中,根据置信水平1- , 可以找到一个正数 ,例如, 通常可取置信水平 = 0.95 或 0.9 等等.,根据一个实际样本, 由给定的置信水平1- , 我们求出一个的区间 , 使,置信水平的大小是根据实际需要选定的.,如何寻找这种区间？,使得, 我们选取未知参数的某个估计量 , 只要知道 的概率分布就可以确定 .,下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法.,由不等式,可以解出 ：,这个不等式就是我们所求

4、的置信区间,代入样本值所得的普通区间称为置信区间的实现.,1） 为两个统计量（由样本完全确定的已知函数）；,X1, X2, , Xn 是取自总体 X 的样本,对给定值 0 1,满足,定义4 设 是总体 X 的待估参数,分别称为置信下限和置信上限.,一、 置信区间的概念,则称随机区间,为 的置信水平为 1- 的双侧置信区间 .,若统计量,和,置信度 置信概率,2） 是随机区间,并非一个实现以 1- 的概率覆盖了,要求置信区间的长度尽可能短.,估计的可靠度：, 即 P( )= 1- 要尽可能大. ,可靠度与精度是一对矛盾, 一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.,估计的精度：,即要求区间置信的

5、长度尽可能短, 或能体现该要求的其它准则.,要求 以很大的可能被包含在置信区间内 .,要求估计尽量可靠.,置信水平的概率意义： 置信水平为 0.95 是指 100 组样本值所得置信区间的实现中,约有95个能覆盖 ,而不是一个实现以 0.95 的概率覆盖了 .,估计要尽量可靠,估计的精度要尽可能的高：, 只要知道 的概率分布就可以确定 .,如何根据实际样本, 由给定的置信水平1- , 求出一个区间 , 使,根据置信水平1- , 可以找到一个正数 ,二、置信区间的求法,(一) 单个正态总体,1. 均值 ,(1) 已知方差 2,1. 均值 1- 2,(1) 已知方差12,22,(二) 两个正态总体,

6、2. 方差 2,(2) 未知方差 2,使得, 我们选取未知参数的某个估计量 ,由不等式,可以解出 ：,这个不等式就是我们所求的置信区间,分布的分位数,(1) 已知均值 ,(2) 未知均值 ,(2) 未知方差12,22,2. 方差 12/22,(1) 已知均值 1, 2,(2) 未知均值 1, 2,但相等!,对于给定的置信水平, 根据估计量U 的分布, 确定 一个区间, 使得 U 取值于该区间的概率为置信水平., X , S 2 分别是其样本均值和样本方差, X N( , 2/n),求参数 、 2 的置信水平为1- 的置信区间.,设 X1, , Xn 是总体 X N( , 2)的样本, 确定未知

7、参数的 估计量及其函数的分布,是 的无偏估计量, 由分布求分位数 ,即得置信区间,(一) 单个正态总体置信区间的求法,(1)已知方差 2 时, 故可用 X 作为 EX 的一个估计量, N(0, 1),对给定的置信度 1- ,按标准正态分布的双侧 分位数的定义,查正态分布表可得 u / 2 , 由u / 2确 定置信区间,有了分布就可求出U 取值于任意区间的概率,简记为,由抽样分布定理知,1. 均值 的置信区间,是求什么参数的置信区间?,置信水平 1- 是多少?, 1. 寻找未知参数 的一个良好的点估计量 (X1, X2, , Xn );, 确定待估参数估计量函数 U( ) 的分布 ;,求置信区

8、间首先要明确问题：,2. 对于给定的置信水平 1- , 由概率, ( , ) 就是 的 100(1- ) 的置信区间. ,一般步骤如下:, 3. 由分位数|U| x 确定置信区间 ( , ). ,查表求出分布的分位数 x ,总体分布的形式是否已知,是怎样的类型,至关重要.,某乡农民在联产承包责任制前人均纯收入 X(单位:元),求 的置信水平为 0. 95 的置信区间.,推行联产承包责任制后, 在该乡抽得 n =16 的样本,且 X N ( , 252).,解 由于 =0.05 ,查正态分布表得,例1, 得 x =325元,假设 2 = 25 2 没有变化,即得置信区间 ( 312. 75 ,

9、337. 25 ).,同一置信水平下的置信区间不唯一,如在上例中取 = 0. 01 + 0. 04 ,由正态分布上侧分位数定义知,查表知,u0. 025 = 1. 96 ,当然区间长度越短的估计, 精度就越高.,其长度也不相等.,区间长度为 24. 25,长度为 25. 5,谁是精度最高的？,由于标准正态分布密度函数的图形是单峰且对称的,在保持面积不变的条件下, 以对称区间的长度为最短 ! !,但 的长度是最短的,l 与 n , 的关系：,可知,置信区间的长度 l 为:,由置信区间公式,l 随着 的减小而增大;,20 若给定 , l 随着 n 的增大而减小;,同一置信水平下的置信区间不唯一.,

10、其长度也不相等.,故我们总取它作为置信水平为 1- 的置信区间.,若给定 n ,且由于 l 与 成反比,减小的速度并不快,例如, n 由 100 增至 400 时,l 才能减小一半.,则 u / 2 越大, l 就越大,这时 就越小.,10,(u / 2)就越大,一般地, 在概率密度为单峰且对称的情形下, a =-b 对应的置信区间的长度为最短.,例2: 某厂生产的零件长度 X 服从 N( , 0.04),现从该厂生产的零件中随机抽取6个，长度测量值如下(单位:毫米): 14.6, 15.l, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1. 求: 的置信系数为0.95的区间估计。,解：n =

11、6， = 0.05，z/2 = z0.025 = 1.96，2=0.22 .,所求置信区间为,故不能采用已知方差的均值估计方法,由于 与 有关,但其解决的思路一致.,由于 S 2是 2 的无偏估计量,查 t 分布表确定上侧 /2 分位数,令,T =,(2) 未知方差, 用 分布的分位数求 的置信区间.,故可用 S 替代 的估计量:,S, t(n-1),即为 的置信度为 1- 的区间估计., 2 时,由抽样分布定理知, 实用价值更大 !,t / 2(n -1),测定总体服从正态分布,求总体均值 的置信水平为 0. 95 的置信区间.,解 由于 /2 =0. 025 ,查 t 分布表得,例3 为确

12、定某种溶液中甲醛浓度, 且其 4 个独立测量值的平均值 x = 8. 34%,样本标准差 s= 0. 03%,即得置信区间,自由度 n-1= 3,t 0. 025 = 3. 182, 将 x = 8. 34 % 代入 得,(2) 未知时,所以 2的置信水平为1- 的区间估计为,因为 2 的无偏估计为 S 2 ,2. 方差 2 的,置信区间的求法,由抽样分布定理知, 2 =,由 确定 2 分布的上侧 /2 分位数,找一个含 与S, 但不含 , 且分布已知的统计量,为了计算简单,在概率密度不对称的情形下,如 2 分布,F 分布,习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间.,并不是最短的置信区间

13、, /2, /2,测定总体服从正态分布,求总体均值 的置信水平为 0. 95 的置信区间.,解 由于 /2 =0. 025 ,查 2 分布表得,例4 为确定某种溶液中甲醛浓度, 且其 4 个独立测量值的平均值 x = 8. 34%,样本标准差 s= 0. 03%,故 2 的置信区间为,自由度 n-1= 3,得,将 s 2 = 0. 0009代入,求总体方差 2和标准差 的置信水平为 0. 95 的置信区间.,故 的置信区间为,在实际应用中，经常会遇到两个正态总体的区间估计问题。,于是，评价新技术的效果问题，就归结为研究两个正态总体均值之差 1-2 的问题。,例如：考察一项新技术对提高产品的某项

14、质量指标的作用，将实施新技术前的产品质量指标看成正态总体 N(1, 12)，实施新技术后产品质量指标看成正态总体 N(2, 22)。,设 X1, , Xm分别是总体 X N( 1 ,12)的样本, Y1, , Yn分别是总体 Y N( 2 ,22)的样本, X , Y 分别是总体 X 和 Y 的样本均值,求参数 1- 2 和 12/22 的置信水平为 1- 的置信区间., 由于X , Y 分别是1, 2 的无偏估计量,即得置信区间,(二) 两个正态总体,(1)已知方差12,22 时, 故可用 X -Y 作为 1- 2 的一个估计量, N(0, 1),对给定的置信度 1- ,查正态分布表可得 u

15、 / 2 ,由抽样分布定理知,1. 均值 1- 2 的置信区间,SX2 , SY2分别是总体 X 和 Y 的样本方差,置信区间的求法,设 X1, , Xm分别是总体 X N( 1 ,12)的样本, Y1, , Yn分别是总体 Y N( 2 ,22)的样本, X , Y 分别是总体 X 和 Y 的样本均值,求参数 1- 2 和 12/22 的置信水平为 1- 的置信区间.,即得置信区间,(二) 两个正态总体置信区间的求法,(2)未知方差12,22 , 但 12 = 22 = 2时, 仍用 X - Y 作为 1- 2 的一个估计量, t(n+m-2),对给定的置信度 1- ,查 t 分布表可得,由

16、抽样分布定理知,1. 均值差 1- 2 的置信区间,SX2 , SY2分别是总体 X 和 Y 的样本方差,t / 2(n+m-2),例5：某公司利用两条自动化流水线灌装矿泉水。设这两条流水线所装矿泉水的体积 (单位:毫升) XN(1, 2) 和 YN(2, 2)。现从生产线上分别抽取 X1, X2, X12 和 Y1, Y2, , Y17，样本均值与样本方差分别为:,求 1- 2 的置信系数为0.95的区间估计。,解：m=12, n=17, = 0.05，且,查 t 分布表，得 tm+n-2( /2) = t27(0.025)=2.05. 因此，置信度为 1- 的置信区间：,例6 (比较棉花品

17、种的优劣)：假设用甲、乙两种棉花纺出的棉纱强度分别为 XN(1, 2.182)和Y N(2, 1.762)。试验者从这两种棉纱中分别抽取样本 X1, X2 , X200 和 Y1, Y2, , Y100，样本均值分别为:,求 1-2 的置信系数为 0.95 的区间估计。,解: 1=2.18, 2=1.76, m=200, n=100, =0.05, 1- 2 的置信系数为 1- 的置信区间为:,设同上,求参数 12/22 的置信水平为 1- 的置信区间.,即得12/22 的置信区间,(二) 两个正态总体置信区间的求法,(2)未知 1 , 2 时, F(m-1, n-1),对给定的置信度 1-

18、,查 F 分布表可得上侧分位数,由抽样分布定理知,2. 方差比 12/22 的置信区间,F / 2(m-1, n-1), F1- / 2(m-1, n-1),求两总体方差比12/22 的置信水平为 0. 90 的置信区间.,称重后所的样本方差分别为 sx2= 0.0125, sy2= 0. 01,假定所装番茄酱的重量 X 与 Y 分别服从正态分布N( 1 ,12)和 N( 2 ,22),解 由于 /2 =0. 05 ,查 F 分布表得,例7 某厂用两条流水线生产番茄酱小包装,现从两条流水线上各随机抽取样本容量分别为 m=6 , n=7 的样本,将条件代入得 12/22 的置信区间为 ( 0. 2847 , 6. 1875 ).,自由度 m-1=5, n-1= 6,主要根据 抽样分布Th,(二)两个总体, 由 的概率分布和置信水平 1- , 确定其相应的分位数 x /2 ;,小结正态总体置信区间的求法,(一)单个总体,均值 ,已知方差 2,均值差 1- 2,已知方差12,22,方差 2,未知方差 2,解得所求的置信区间, 根据未知参数的无偏估计量, 确定其某个估计量 ;, 由不等式,已知均值 ,未知均值 ,未知方差12,22,方差比12/22,已知均值 1,