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文档简介
1、决胜2011年中考 探索性数学问题,赣州市教科所教研室,习惯上,我们可以按照命题者对解答者的要求将数学问题分为两大类:一类是已知和结论都有确定要求的题型,简称封闭性问题;另一类是已知与结论两者中至少有一个没有确定要求的题型,我们把这类问题称为开放探索性问题 因此,初中数学中的“探索性”问题的特征是:命题中缺少一定的题设或没有给出明确的结论,或解题思路及过程没有确定的形式和方向;解题时需要经过大胆地猜想、推断、补充与归纳,并加以计算或证明,探索性数学问题,探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动,探索性问题存在于一切学科领域之中,在数学中则更为普遍,探索性数学问题在近几年的中考中频频
2、出现;常出现的有四大类型:规律探索型、条件探索型、结论探索型、存在探索型等;江西中考试卷中多以一至两个填空、选择题和一个中等以上的解答题出现,分值约有614分;要求考生对问题进行观察、分析、比较、概括,达到发现规律,或得出结论,或寻求使结论成立的条件,或探索数学对象存在可能性与结果的目的,命 题 趋 势,探索性问题的解答必须利用题设进行分析、比较、归纳、推理,或由条件去探索出不明确的结论;或由结论去探索未给予的条件;或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的数学规律,解题策略,以下课案就近几年的中考试题,列举几例加以说明:目的是对各种探索性的问题进行归纳、整合,帮助老师和同学们提高对探索性数学问
3、题的分析、思考及解答能力,【题组讲解】 一、基础练习 【实现目标】 认识各类探索型试题的基本特征与形式,初步掌握解决各类不同目标的探索性问题的方法,1、规律探索型 规律探索型问题是根据已知条件或所提供的若干个特例,通过观察、类比、归纳,揭示和发现题目所蕴含的数学本质、规律与特征的一类探索性问题 解题策略是:常常利用特殊值(包含特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律,简析:观察预判每一个点 的坐标为: 可以递推得点 的坐标 ; 因而点P2010的坐标是 ,变式:题2(2010广东肇庆)、观察下列单项式: a,2a2,4a3,8a4,16a5,按照此规律
4、,第n个单项式是 (n是正整数) ,简析:这一列单项式,观察每一序列号下单项式的符号、系数、字母的次数;符号满足奇数序号项为正、偶数序号项为负;系数的绝对值成2的自然数幂;字母a的次数成正整数幂递增;因而设定n为正整数,则答案为: ,简析:图1的三角数,从第二个开始,有这样的规律: 1=1,3=1+2, 6=1+2+3, ,第n个三角数是: ;图2 中的正方形数从第二个开始,有这样的规律: 第m个正方形数时, ;比较A、B、C、D四个数,仅有25、1225是正方形数(m分别等于5、35),检验25不是三角形数(n无整数解),而1225又是三角形数(此时n=35);故1225既是正方形数、又是三
5、角形数;选择D,【变式意图】 变式试题T2 、T3与T4不仅要考虑数与字母的变化特征,而且还要观察数的排列规律,同时又要考虑图形的特征表象;需要从纵横两个方面、数形结合相互关联地比较、观察、猜想、推理,获取与形成对每一个问题自身的数学本质与规律的认识,再进行严格地推理、验证,【方法提炼】 在解决这类一般性规律的探索问题时,特别注意:(1)通常写成竖式或单列形式进行对比、分析;(2)注重纵横联系与数形结合;(3)关注序列号与数据之间的联系,2、条件探索型 条件探索型问题是指在给定明确的结论而未给出确定的条件,需要采取证明、推断去探索发现,并补充与完善使结论成立的一个或一些条件 解题策略是:从所给
6、出的结论出发,采用逆推的办法,猜想出合乎结论要求的一些条件,并进行逻辑推理证明,从而寻找出满足结论的条件,简析:因为CFBE,所以 FCDEBD又因为FDC =EDB,要证明BDECDF, 只需要添加一组对应边相等即可,答案:(1) 从BDCD(或点D是线段BC的中点),BECF,EF;三者中任选一个即可 (2)以添加EF 为例,进行证明: CFBE, FCDEBD又 FDCEDB, 且添加EF; BDECDF,简析:命题的结论很明显: 四边形ABCD欲成为等腰梯形; 现需探索补充使它成立的一个 条件(有可能不唯一);可以 先观察与已知条件ABDACD相关联的、一对可能 全等的三角形ABD与A
7、CD,满足这种可能的添加条件有若干条;也可以从其他方面入手;可供添加的条件可以是以下的任选其一:,解答:DACADB,BADCDA,DBCACB,ABCDCB,OBOC,OAOD,3、结论探索型 结论探索型问题是指仅给出某种情境而没有明确指出结论,需要解题者去探索符合条件的数学结论的一类试题;这类探索问题的设问,常以适合某种条件的结论“成立”、“不成立”、“是否成立”等语句加以表述,或直接问“有何结论”等它与传统题的区别在于:探索问题的结论的过程往往也是解题过程 解题策略:从剖析题意入手,充分捕捉题设信息,执因索果,顺向推理或联想类比、猜测等,获得所求结论(特别注意:解答的多样性和反思与证明)
8、,4、存在探索型 探索存在型问题:是指在一定的前提条件下,需探索发现某种数学关系是否存在的一类问题;它往往以“是否存在”“是否有”“是否变化”等疑问句出现,以示结论成立与否有待判断 解题策略是:通常对结论作出肯定存在的假设,再按题设条件进行推理、计算,若导出矛盾,则否定先前的假设;若推出合理的结论,则说明先前的假设成立,解答:(1) 过点B作 ,垂足为D, 又 , = =1, = =2;点B的坐标为(-3,1);,(2)代入点B的坐标,抛物线的解析式还是可以求得的;,(2)抛物线 经过点B(-3,1) , 则得到 ,解得: , 所以抛物线解析式为 ;,(3)假设存在P1、P2两点, 使得ACP
9、是直角三角形: 若以AC为直角边,点C为直角 顶点;则延长BC 至P1点,使得 P1 C=BC,得到等腰直角三角形 AC P1 ,利用MP1 C DBC 可求得点P1(1,-1);经检验: 点P1(1,-1)在抛物线上,使 等腰直角三角形; 若以AC为直角边,点A为直角顶点;则过点A作 ,且使得 ,得到等腰直角三角形ACP2 ,利用AP2N CAO;可求得点P2(2,1);经检验:点P2 (2,1)也在抛物线上,使得ACP2也是等腰直角三角形,第(3)是存在性探索问题: 假设这样的点 P 存在,思考过程中,考虑点P是否点B 关于直线AC 的轴对称点?考虑点P 是否是关于线段AC 中点的中心对称
10、点?(或者将等腰直角三角板ABC物化, 把它沿直线AC的翻折或绕线段AC的中点旋转180)如此寻求到:求点P 的方法与思路,二、能力提高 【实现目标】 掌握各类探索性问题入手解答的基本套路,能将较为复杂的问题各个击破,类比转化为较为熟悉或简单的问题;在解题的过程中注重数学思想方法的运用:如,、研究几何的运动变化情境时, 常常借助代数变量的思想来表达变化中的几何量; 、经常利用数形结合观点、方程函数辩证统一的思想构通代数与几何两大板块,最终达到数学本质意义的化归与统一; 、用分类讨论的数学思想考虑问题的多变性与复杂性,减少失误; 、通过善于观察数学对象的独立性、特殊性,猜想、归纳、抽象、概括出具
11、有更加一般性的数学规律,并注意条件的不同带来的数学变化和转化 经过这一阶段的学习、演练之后,学生思路可以更为灵活与开阔,解题也会变得更加深刻与严密,数学思维与能力将获得有效的提升,提供解法二:第问:以斜边AB上的中线CM(设点M是斜边AB的中点)为辅助线;同理第问:以斜边AB上的高线CH(设点H是垂足)为辅助线,(点评:本题的第2问又是结论探索型问题,顺应条件的变化与不同,做出正确的解答即可),简析:本题是一道探索 结论的典型试题,并且符合 条件的点P有多种可能,需要 确定它的个数;为了探索本题 的方便,不妨设正六边形ABCDEF的边长为a,则依据三角函数知识可知对角线BD= ,对角线BE=2
12、a ; 因而在点P沿直线AB从右向左移动过程中, 当 时,此时的点 与正六边形ABCDEF 六个顶点中的点 、 构造成等腰 、 ;,【引入几何画板动画演示,验证结论!】,【方法提炼】 1、注意分类讨论时的不重不漏;2、利用了对称性的数学思想方法,使求解更简便;思考的过程中还可以通过平移方法来检验3、将原试题进行了改编,适当增加了它的思考性与难度!,三、挑战中考 【实现目标】 接触到中考型探索性数学问题,要做到认真审题、分类思考,具体问题具体分析,针对不同的题型:或特殊探路,或逆推分析,或用数学思想方法研究、分析、转化同学们掌握了这些规律并在练习中不断领悟,提高综合解决问题的能力,形成自己的数学
13、思维和能力 同时培养并掌握一定的应试技巧与心理素质,相信同学们一定能在中考中取得优良的数学成绩.,题11(2010四川乐山)、在ABC中,D为BC的中点,O为AD的中点,直线l过点O.过A、B、C三点分别做直线l的垂线,垂足分别是G、E、F,设AG=h1,BE=h2,CF=h3. (1)如图(11.1),当直线lAD时(此时点G与点O重合).求证:h2+h3= 2h1; (2)将直线l绕点O旋转,使得l与AD不垂直. 如图(11.2),当点B、C在直线l的同侧时,猜想(1)中的结论是否成立?请你说明理由; 如图(11.3),当点B、C在直线l的异侧时,猜想h1、h2、h3满足什么关系.(只需写
14、出关系,不要求说明理由),简析:(1)当直线 lAD时,本图满足直角梯形的中位线性质,易得结论 ;(2)将直线 l 绕点O旋转,使得l与AD不垂直. 此时的图形(11.2)依然通过辅助线、转化至(11.1),继续运用直角梯形的中位线性质,容易得结论: ;(3)抓住中点O不放,继续过点D作DHl,垂足为H,依然有DH=AG= h1;又知点D是线段BC的中点,将直线 l 向上平移h3个单位,构建三角形中位线图形,可得: ,即得 ,解答:(1)证明:BEl,CFl, 四边形BCFE是梯形. 又GDl,D是BC的中点, DG是梯形的中位线, BE+CF=2DG. 又O为AD的中点,AG=DG,BE+C
15、F=2AG. 即 . (2)成立;证明如下: 过点D作DHl,垂足为H, AGO=DHO=Rt, AOG=DOH,OA=OD, AGODHO,DH=AG. 又 BD=CD,由梯形的中位线性质, 得2 DH=BE+CF,即2 AG =BE+CF, 成立. (3)猜想h1、h2、h3满足h1、h2、h3 满足关系: .,【引入几何画板动画演示,验证结论!】,【解题反思】 第(3)问是在感悟了前两问的猜想与推理的前提下,作出的合情推理,考查着学生的数学直觉能力与发现、猜想能力;在此处猜想时,需要有直觉的感知:估算正确图形下线段的长短,再作出一种合乎逻辑的大胆猜测(为节约时间,试题不要求证明而已;在简
16、析中实际上已作较为明了的解析).,先理解静止状态下,原题与图形所表达的含义:点光源O,静止直立于地面的木杆AB在点光源O下的投影是影长AC;(此时由直立于地面的电线杆、木杆构成一个平面,以下的运动操作均在本平面内实施.),简析:本题对“点光源下物体的 投影所形成的阴影”的知识与能力的 考查非常深刻,需要较好的空间想象力和运动变化的观点.,【几何画板动画演示,验证结论!】,简析:观察图形,从B1所对的圆周得出特性:它是垂直于AD的n 条弦把圆周2n等分后,第一条圆弧又被二等分之后的弧所对的圆周角,因此B1= ; 验算第(1)问中的B1 (此时n=2); 验算第(2)问中的B1 (此时n=3);第
17、(2)问中的B2用几何方法容易获得 45;第(3)问,观察前后 图形,从Bn所对的圆周得出特性:(1)Bn与前面所求的通项中B1互余(几何特性);(2)Bn所对的圆周是B1所对圆周加上(n -1)段被 2n 等分后的圆周的圆弧所对的圆周角,因此可计算得到: ; 或者是 或者 . 【答案】 (1)、22.5,67.5;(2)、15,4575,几何画板:动画移动A的切线NPQ,请注意变化的数量与不变的数量!,第(1)问是存在性探索题,通常 先假设“CPQ是等边三角形”;,解答:(1)假设CPQ为等边三角形时,一方面: x=PQ=BQ=CQ=0.5,另一方面,连接AQ, , ; 得出自相矛盾;证明C
18、PQ不能为等边三角形,第(2)问是条件探索性问题,点P在何处时? CPQ周长最小;一般从特殊的临界点入手考虑!,解(2):CPQ的周长=PQ+QC+CP =BQ+QC+CP=BC+PC=1+PC; PCAC-PA= (当点P落在点P0时), CPQ的周长1+ = , 当点P落在AC与 的交点P0处时 ,CPQ周长的最小值是 ,由此引发了对第(3) 问:CPQ形状的结论性探索; 环环相扣,变化自然天成!,解(3)连结AC,交 于P0 ,则P0CQ=45,CP0Q=90, 有P0Q=BQ=P0C= ,且 , ; 当P在 上运动时,CP0Q=90, 0CPQ90,此时CPQ是锐角三角形, . 当P与
19、P0重合时, , 此时CPQ是直角三角形 当P在 上运动时, , 此时CPQ 是钝角三角形,题15 (2010江西)、如图,已知经过原点的抛物线 与 轴的另一交点为A,现将它向右平移m(m0)个单位,所得抛物线与 轴交于C、D两点,与原抛物线交于点 P . (1)求点A的坐标,并判断PCA存在时它的形状(不要求说理); (2)在 轴上是否存在两条相等的线段?若存在,请一一找出,并写出它们的长度(可用含m的式子表示);若不存在,请说明理由; (3)设PCD的面积为S,求S关于m的关系式.,几何画板:动画平移抛物线,观察两支抛物线的相交情况如何,请注意变化的数量与不变的数量!,当m2时,如图12-
20、2,作 轴于H,设 . A(2,0),C( ,0), , . ; 把 代入 ,得 . , 另一种方法更简洁:采用 思路求解,注意排除m=2,点评:本题通过抛物线的平移变换,设置成融代数与几何为一体的综合探索题;构思新颖,入手容易,逐步上升;尤其在第(3)问的探索中,较好地运用了数学的空间观念和综合分析能力,以及分类讨论、数形结合的数学思想方法;解题的关键在于用含m的代数式表示点 P 的坐标,涉及到坐标系中线段长度、三角形面积等数量的求法,实现了数量与图形的辩证统一,难度较大,具有明显的区分度,总 结 数学探索性问题既包含着问题又包含着求解,是数学学科的典型问题;从以上课案可以看出,它的解题过程
21、不具有确定方向,解题时总是需要合情合理、实事求是的分析,把归纳与演绎协调配合起来,把直觉发现与逻辑推理结合起来,把数学能力与心理素质同时发挥出来,因此,通过探索性数学问题的求解活动,不仅可以促进数学知识和数学方法的巩固与掌握,而且更加有利于各方面能力的整体发展和思维品质的全面提高,有利于促进中学生主体精神、探究态度、科学方法、创新才能的培养,这正是当前在数学教学中积极引进探索性数学问题的意义,更具有正确的教学导向作用; 在数学中考试卷中,探索性问题,不仅出现频率高,而且题型不断丰富,更具有全面的检测效果,深受命题者的青睐.,几何画板技术支持:赣县教师进修学校 马跃进老师,特此鸣谢!,欢迎批评指
22、正! 个人工作邮箱: QQ:1402859514 2011年3月24日,把教研作为教师的一种生活方式 章建跃(人民教育出版社中数室),本项活动(全国初中数学青年教师优秀课观摩与评比活动)在我国中学数学教育界具有很大影响力,已成为研究课堂教学问题,探讨课堂教学规律,提高课堂教学质量和效益,促进教师专业化发展的重要平台。,“重在参与,重在过程,重在交流,重在研究”的活动宗旨深入人心。我们欣喜地看到,本项活动在模式上不断创新,质量不断提高。所有这些都得益于大家的共同智慧和创造,得益于各会员单位在准备过程中不断加强和完善过程性、研究性,将活动宗旨具体化。,把教研作为教师的一种生活方式 章建跃(人民教育出版社中数室),教师专业
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