自动控制答案

1、第 二 章2-3试证明图2-5()的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。分析 首先需要对两个不同的系统分别求解各自的微分表达式，然后两者进行对比，找出两者之间系数的对应关系。对于电网络，在求微分方程时，关键就是将元件利用复阻抗表示，然后利用电压、电阻和电流之间的关系推导系统的传递函数，然后变换成微分方程的形式，对于机械系统，关键就是系统的力学分析，然后利用牛顿定律列出系统的方程，最后联立求微分方程。证明：(a)根据复阻抗概念可得：即取A、B两点进行受力分析，可得：整理可得：经比较可以看出，电网络（a）和机械系统（b）两者参数的相似关系为2-5 设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分

2、方程式，并概略绘制x(t)曲线，指出各方程式的模态。(1) ()2-7 由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-6所示，试求闭环传递函数U()()。 图2-6 控制系统模拟电路解：由图可得联立上式消去中间变量U1和U2,可得：2-8 某位置随动系统原理方块图如图2-7所示。已知电位器最大工作角度，功率放大级放大系数为K3,要求：(1) 分别求出电位器传递系数K0、第一级和第二级放大器的比例系数K1和K2；(2) 画出系统结构图；(3) 简化结构图，求系统传递函数。图2-7 位置随动系统原理图分析：利用机械原理和放大器原理求解放大系数，然后求解电动机的传递函数，从而画出系统结构图，求出系统的传

3、递函数。解：（1）（2）假设电动机时间常数为Tm，忽略电枢电感的影响，可得直流电动机的传递函数为式中Km为电动机的传递系数，单位为。又设测速发电机的斜率为，则其传递函数为由此可画出系统的结构图如下：（3）简化后可得系统的传递函数为2-9 若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出 响应，试求系统的传递函数和脉冲响应。分析：利用拉普拉斯变换将输入和输出的时间域表示变成频域表示，进而求解出系统的传递函数，然后对传递函数进行反变换求出系统的脉冲响应函数。解：（1），则系统的传递函数（2）系统的脉冲响应2-10 试简化图2-9中的系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s )和C(s)/

4、N(s)。可求出：令R（s）0，简化结构图如图所示：所以：（b）令N（s）0，简化结构图如下图所示：所以：令R（s）0，简化结构图如下图所示2-12 试用梅逊增益公式求图2-8中各系统信号流图的传递函 数C(s)/R(s)。图2-11 题2-12系统信号流图解：（a） 存在三个回路：存在两条前向通路：所以：（b）9个单独回路：6对两两互不接触回路：三个互不接触回路1组：4条前向通路及其余子式：所以，第 三 章3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为 试求系统的超调量、峰值时间p和调节时间s。解：依题意时，并且是使第一次为零的时刻()可见，当第一次为0时，所以根据调节时间的定义：，即，得所以：3-5

5、设图3-3是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数K和Kt，使系统、。分析：求出系统传递函数，如果可化为典型二阶环节形式，则可与标准二阶环节相对照，从而确定相应参数。解 对结构图进行化简如图所示。故系统的传递函数为和标准二阶系统对照后可以求出：3-7已知系统特征方程如下，试求系统在s右半平面的根数及虚根值。 分析 系统在右半平面的根数即为劳思表第一列符号改变的次数，虚根值可通过构造辅助函数求得。解 由系统特征方程，列劳思表如下：（出现了全零行，要构造辅助方程）由全零行的上一行构造辅助方程，对其求导，得故原全零行替代为表中第一列元素变号两次，故右半s平面有两个闭环极点，系统不稳定。对辅助方程化简得

6、由得余因式为 求解、，得系统的根为所以，系统有一对纯虚根。3-9 已知单位反馈系统的开环传递函数（1）（）（）试求输入分别为 和 时，系统的稳态误差。分析：用静态误差系数法求稳态误差比用误差传递函数求解更方便。对复杂的输入表达式，可分解为典型输入函数的线性组合，再利用静态误差系数法分别求各典型输入引起的误差，最后叠加起来即为总的误差。解 （1）判别系统的稳定性可见，劳思表中首列系数全部大于零，该系统稳定。求稳态误差K100/5=20,系统的型别，当时，当时，当时，所以， ， (2)判断稳定性劳斯表中首列系数全部大于零，该系统稳定。求稳态误差K10/100=0.1,系统的型别，当时，当时，当时，

7、3-11设随动系统的微分方程为其中，T、和K为正常数。若要求r(t)=1+ t时，c(t)对r(t)的稳态误差不大于正常数，试问K应满足什么条件?分析：先求出系统的误差传递函数，再利用稳态误差计算公式，根据题目要求确定参数。解：对方程组进行拉普拉斯变换，可得按照上面三个公式画出系统的结构图如下：定义误差函数所以 令，可得，因此，当时，满足条件。第 四 章4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d)： (1) （2）解：(1)， n3，根轨迹有3条分支； 起点：p10，p2-2，p3-5；没有零点，终点：3条根轨迹趋向于无穷远处。 实轴上的根轨

8、迹：-2,0,(; 渐进线：，； 分离点：求解得：（舍去），；作出根轨迹如图所示：(2)， n2，根轨迹有2条分支； 起点：p10，p2-0.5，；终点：，条根轨迹趋向于无穷远处。 实轴上的根轨迹：-0.5,0,(; 分离点：求解得：，；作出根轨迹如图所示：4-6 设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，要求：确定 产生纯虚根为1的值和值。解：令代入，并令其实部、虚部分别为零，即：，解得：画出根轨迹如图所示：4-10 设单位反馈控制系统的开环传递函数 要求：(1) 画出准确根轨迹(至少校验三点)；(2) 确定系统的临界稳定开环增益K；(3) 确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K。分析：利用解析法

9、，采用逐个描点的方法画出系统闭环根轨迹。然后将代入特征方程中，求解纯虚根的开环增益，或是利用劳斯判据求解临界稳定的开环增益。对于临界阻尼比相应的开环增益即为实轴上的分离点对应的开环增益。解：（1） n3，根轨迹有3条分支,且均趋于无穷远处； 实轴上的根轨迹：-50,0,(00; 渐进线：，； 分离点：求解得：，（舍去）；作出根轨迹如图所示：（2）临界开环增益为根轨迹与虚轴交点对应的开环增益。令，代入，并令其实部、虚部分别为零，即，解得：（舍去） （3）系统处于临界阻尼比，相应闭环根位于分离点处，即要求分离点d对应的K值。将sd-21.3代入幅值条件：4-14 设系统开环传递函数如下，试画出b从

10、零变到无穷时的根轨迹图。 (1) （）解：（1）做等效开环传递函数 n=2,有2条根轨迹分支，n-m=1条趋于无穷远处； 实轴上的根轨迹：(; 分离点整理得出射角：根轨迹如图所示：（2）做等效开环传递函数 n=2,有2条根轨迹分支，且均趋于无穷远处； 实轴上的根轨迹：; 分离点整理得根轨迹如图所示：第 五 章5-2 若系统单位阶跃响应为试确定系统的频率特性。分析 先求出系统传递函数，用替换s即可得到频率特性。解：从中可求得：在零初始条件下，系统输出的拉普拉斯变换与系统输出的拉普拉斯变换之间的关系为即 其中为系统的传递函数，又则令，则系统的频率特性为5-7 已知系统开环传递函数为 ;（、1、2）

11、当取时， ,|()|.。当输入为单位速度信号时，系统的稳态误差为0.1，试写出系统开环频率特性表达式G()。分析：根据系统幅频和相频特性的表达式，代入已知条件，即可确定相应参数。解： 由题意知：因为该系统为型系统，且输入为单位速度信号时，系统的稳态误差为0.1，即所以：当时，由上两式可求得，因此5-14 已知下列系统开环传递函数(参数K、T、T，2，)(1) (2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) (10)其系统开环幅相曲线分别如图5-6(1)(10)所示，试根据奈氏判据判定各系统的闭环稳定性，若系统闭环不稳定，确定其s右半平面的闭环极点数。分析：由开环传递函数可知系统在右半平面开环极点个数P，由幅相曲线图可知包围点（）的圈数。解：（1）所以系统在虚轴右边有2个根，系统不稳定。（2）所以系统在虚轴右边有0个根，系统不稳定。（3）所以系统在虚轴右边有2个根，系统不稳定。（4）所以系统在虚轴右边有0个根，系统稳定。（5）所以系统在虚轴右边有2个根，系统不稳定。（6）所以系统在虚轴右边有0个根，系统稳定。（7）所以系统在虚轴右边有0个根，系统稳定。（8）所以系统在