直线的参数方程及其应用(学案)

1、.直线的参数方程及应用目标点击：1掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；2熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题；基础知识点击 ：1、直线参数方程的标准式的直线 l 的参数方程是(1)过点 p ( x0 , y0 )，倾斜角为0xx0t cos（t 为参数） t 的几何意义： t 表示有向线段p0 p 的数量， p( x , y )yy0t sinp0p=tp0p =t为直线上任意一点 .(2)若 p、p 是直线上两点，所对应的参数分别为 t 、 t2，12 p p =t t 1则 p p =t t11221

2、221t、t、t(3)若 p 、 p 、p 是直线上的点，所对应的参数分别为312312则 p1p2 中点 p3 的参数为 t3t1 t2, p0p3=t1t 2220 时，点 p 在点 p 的上方；0当 t 0 时，点 p 与点 p0 重合；当 t0 时，点 p 在点 p0 的右侧；lp0p( x, y )当 t 0 时，点 p 与点 p0 重合；当 t0 时，点 p 在点 p0 的左侧；0x问题 2：直线 l 上的点与对应的 参数 t 是不是一l对应关系？y我们把直线 l 看作是实数轴，p0以直线 l 向上的方向为正方向，以定点0p为原点，以原坐标系的单位长为单位长，px这样参数 t 便和

3、这条实数轴上的点p 建立了0一一对应关系 .问题 3： p1、2 为直线l上两点所对应的参数分别为t1、2，pt则 p1p2？， p1p2=？p1p2p1p0 p0p2 t1 t2 t2 t1， p1p2=问题 4：若 p0为直线l上两点 1、 2的中点， 1、2所对应的、tpppp参数分别为 t2，则 t 、t之间有何关系？112y根据直线 l 参数方程 t 的几何意义，p1pt1，p2pt2， p0 为直线 l上两点 p 、 p 的中点， | p p| | p p|121 212p1 2，即t12pp pt ,tt 0, 设这个二次方程的两个根为 t1、2由韦达定理得t1t21 2 25，

4、由m为线段ab的中点，t ,8, t t4根据 t 的几何意义，得 | pm| t1t2 15216中点 m 所对应的参数为 t m = 15 ,将此值代入直线的标准参数方程* ，16m 点的坐标为 x 23?1541即m （41 ， 3 ）51616y4 ? 1531645164.(3)|ab| t 2t 1(t1t 2 ) 24t 1 t 2 5738点拨：利用直线 l 的标准参数方程中参数t 的几何意义， 在解决诸如直线 l上两点间的距离、 直线 l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线 l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷 .例 7：已知直线 l 经过点 p（ 1,33

5、）, 倾斜角为，3(1)求直线 l 与直线 l ： yx 23 的交点 q 与 p 点的距离 |pq| ；(2)求直线 l 和圆 x2y 2 16 的两个交点 a ，b 与 p 点的距离之积 .解： (1)直线 l 经过点 p（1,33 ）, 倾斜角为,直线 l 的标准参数方13x1t cosx程为3，即1t（t 为参数）代入直线 l ：2y33 t sin3y3 33 t2y x2 3得 (11 t )( 333 t)2 30 整理，解得 t=4+2322t=4+23 即为直线 l 与直线 l的交点 q 所对应的参数值，根据参数 t 的几何意义可知： | t| =|pq|,| pq|= 4+

6、23 .x1t(2)把直线 l 的标准参数方程为1（ t 为参数）代入圆的方程23y33t2x 2y2 16，得 (11 t )2(3 33 t) 216 ,整理得： t2 8t+12=0，222 -4 120, 设此二次方程的两个根为t1、t2则1 2=8t t =12根据参数 t 的几何意义， t1、 t2 分别为直线和圆 x 2y2 16 的两个交点a, b 所对应的参数值，则 | t1| =| pa|,| t2| =| pb|, 所以 | pa| | pb| =| t1 t2|=12点拨： 利用直线标准参数方程中的参数 t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的

7、普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便 .例 8：设抛物线过两点a( 1,6)和 b( 1,2)，对称轴与 x 轴平行，开口向右，直线 y=2 x +7 被抛物线截得的线段长是410 ，求抛物线方程 .解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（a ，2）方程为 (y2) 2=2p(x a ) (p0)点 b(1, 2)在抛物线上， ( 2 2) 2=2p(1 a )a p= 8 p代入 得(y 2) 2=2px 2p+16将直线方程 y=2 x +7 化为标准的参数方程tg=2,为锐角，.12x11tcos=, sin=得25（ t 为参数）5

8、5y5t5直线与抛物线相交于 a，b, 将代入并化简得：4 t 2122p t 7 0，由= 4( p6) 2350, 可设方程的两根为 t1、t2，55521(t1t2 )24t1t 2 4 10又 |ab|= t t5 (122p) 2435 =( 410) 2化简，得 (6 p)2=10044 p=16 或 p=-4( 舍去 ) 所求的抛物线方程为 (y 2) 2=32x 48点拨： (1)（对称性） 由两点 a( 1,6) 和 b( 1, 2) 的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含 p 一个未知量，由弦长 ab的值求得 p）.(2) 利用直线标准参数方程解决弦长问题 . 此

9、题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些 .例 9：已知椭圆(x 1) 2y2，ab 是通过左焦点 f1 的弦，2 为右焦点，1f4 3求 | f2a| | f2b| 的最大值 .解：由椭圆方程知a 2，b=3 ,c=1,f1(0,0),f2(2,0),设过的弦所在直线的参数方程为xt cos （t 为参数）代入椭圆方程整理得yt sin（3sin2）t2 6 t cos 9=0 ，=36cos2 （ 2）036 3sin此方程的解为 t1、t2，分别为 a 、 b 两点对应的参数，由韦达定理 t1 t2= 6 cost1 t293sin 2

10、3sin 2根据参数 t 的几何意义， t1、 t2 分别为过点 f1 的直线和椭圆的两个交点a, b 所对应的参数值， |f a| | t| f b| | t|1112|ab|= t 2 t 1(t1t2 )24t1 t 212| f1a| | f1b| | t1| | t2|=|t1t2|3sin 24， | f b|+|f b|=2 4由椭圆的第一定义 |f a| |f a| 2aa| f a| |f b|=(4-|1212f a|)(4-|fb|)=16-4|ab|+|f a| | f b|221111=16-4 t 2t 1 +| t1t2|=16-412+9sin 2sin 239

11、33=16-sin 23.222有最大值25当 sin1 时， | f a| | f b|4点拨： 求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解1(0,0),f2(2,0),显然 f1 坐标简单，因此选择过 f1题，此题中两定点 ff b| 转化为 | f a| |fb|.的直线的参数方程， 利用椭圆的定义将 | f a| |2211例 10：（黄冈习题册： p155,第 23 题）（ 2）除书中解法外，补充解法二 .解法二：设过点 p( a ,0) 的直线 l 的参数方程为xa t cos(t为参数yt sin(0,) ，且 )(1)2直线 l 与圆 x2y 2 5 相交于

12、b,c 将直线 l 的方程 (1)代入圆的方程得 t2+2a t cos+ a 2 50，=( 2a cos) 2-4(a 25)0.即 a 2 sin2+50(2)25t btc=2 a costbtc=a直线 l 与抛物线 y2= x +7 相交于 a,d 将直线 l 的方程 (1)代入抛物线的方程得 (sin2 ) t2 t cos a 70，= cos2-4 (sin2)(-a 7)0即 1+(4 a +27) sin20(3)costb tc=a7t atd =sin 2sin 2又 |ab|=|cd|线段 ad与线段 bc的中点重合，即tatd=tbtc cos = - 2a co

13、s即 - 2a =1，sin 2sin 2(0,) , 且 0sin21将 sin21代入 (2) 、(3)22aa100a 必须满足2a270-10a 12a122a点拨： 此题利用直线参数方程形式比普通方程求 a 的范围运算量相对要小，注意使用直线上两个点的中点的参数 .xx0t cos方法总结： 利用直线 l 的参数方程y0（t 为参数），给研究直线与yt sin圆锥曲线 c：f( x, y )=0 的位置关系提供了简便的方法 .一般地，把 l 的参数方程代入圆锥曲线c：f( x, y )=0 后，可得一个关于 t 的一元二次方程， f (t ) =0,1、 (1)当 0 时，.l 与

14、c 相交有两个交点；分别代入 l 的参2、当0 时，方程 f (t ) =0 的两个根分别记为 t 、 t ，把 t 、 t1212数方程即可求的 l 与 c 的两个交点 a 和 b 的坐标 .3、定点 p ( x0 , y0 )是弦 ab 中点t +t =00124、 l 被 c 截得的弦 ab 的长 |ab| | t t | ；p a p b=tt；弦 ab 中点 m120012点对应的参数为t1t20t1t22； | p m |=2基础知识测试2：7、 直线x1t(t 为参数 )与椭圆 x22 y 28 交于 a、b 两点，则 |ab| 等于 ( )y2ta 22b43d6c 2338、直线xx0t cos（ t 为参数）与二次曲线a、 b 两点，则 |ab| 等于 ( )yy0t sina |t1+t2 | b |t1| | t2|c |t1 t2|dt1t22x21 t229、 直线2为参数 )与圆 xy1有两个交点 a、b，若 p 点的坐y11 t (t2标为 (2,-1),则 |pa| |pb|=7 ) 的直线x6 2t10、过点 p(6,y72t2(t 为参数 )与抛物线y2=2 x