高中数学竞赛平面几何讲座(非常详细)

1、最新资料推荐第一讲注意添加平行线证题在同一平面内 , 不相交的两条直线叫平行线. 平行线是初中平面几何最基本的, 也是非常重要的图形 . 在证明某些平面几何问题时 , 若能依据证题的需要 , 添加恰当的平行线 , 则能使证明顺畅、简洁 .添加平行线证题 , 一般有如下四种情况.1、为了改变角的位置大家知道 , 两条平行直线被第三条直线所截, 同位角相等 , 内错角相等 , 同旁内角互补 .利用这些性质 , 常可通过添加平行线, 将某些角的位置改变, 以满足求解的需要.例 1 、设 p、 q为线段 bc上两点 , 且 bp cq,a为 bc外一动点 ( 如图 1). 当点 a 运动到使 bap

2、caq时, abc是什么三角形？试证明你的结论 .da答： 当点 a 运动到使 bap caq时, abc为等腰三角形 .证明：如图 1, 分别过点 p、 b 作 ac、 aq的平行线得交点 d.连结 da.在 dbp aqc中 , 显然 dbp aqc, dpb c.b pq c由 bpcq,可知 dbp aqc.有 dp ac, bdp qac.图1于是 ,da bp, bap bdp.则 a、d、 b、 p 四点共圆 , 且四边形 adbp为等腰梯形 . 故 abdp.所以 abac.这里 , 通过作平行线 , 将 qac“平推”到 bdp的位置 . 由于 a、 d、b、 p 四点共圆

3、, 使证明很顺畅 .例 2、如图 2, 四边形 abcd为平行四边形 , baf bce.求证： eba ade.证明： 如图 2, 分别过点 a、 b作 ed、 ec的平行线 , 得交点 p, 连 pe.由 ab cd,易知 pba ecd.有 pa ed,pb ec.epg显然 , 四边形 pbce、 pade均为平行四边形 . 有abce bpe, ape ade.由 baf bce,可知 baf bpe.有 p、b、 a、 e 四点共圆 . 于是 , eba ape.所以 , eba ade.bfdc这里 , 通过添加平行线 , 使已知与未知中的四个角通过p、b、a、 e 四点共圆 ,

4、 紧密联系起来 . ape成为 eba与 ade相等的媒介 , 证法很巧妙 .图22、欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条, 常可通过添加平行线 , 将某些线段“送”到恰当位置, 以证题 .例 3、在 abc中,bd、 ce为角平分线 ,p 为 ed上任意一点 . 过 p 分别作 ac、ab、bc的垂线 ,m、n、 q为垂足 . 求证： pm pnpq.a证明： 如图 3, 过点 p 作 ab的平行线交 bd于 f, 过点 f 作 bc的enmpd平行线分别交 pq、 ac于 k、 g,连 pg.fg由 bd平行 abc,可知点 f 到 ab、bck

5、bcq两边距离相等 . 有 kq pn. 显然 , ep ef cg , 可知 pg ec.图3pdfd gd由 ce平分 bca,知 gp平分 fga.有 pk pm.于是 ,pm pn pk kq pq.这里 , 通过添加平行线 , 将 pq“掐开”成两段 , 证得 pm pk,就有 pm pn pq.证法非常简捷 .3 、为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边 , 所得对应线段成比例” , 在一些问题中 , 可以通过添加平行线 , 实现某些线段比的良性转化 . 这在平面几何证题中是会经常遇到的 .1最新资料推荐例 4设 m、 m是 abc的 bc边上的点 , 且 bmcm

6、. 任作一直线分别交ab、 ac、am、am121212于 p、 q、 n、 n. 试证：abacam 1am 2.a12apaqan 1an 2证明： 如图 4, 若 pq bc,易证结论成立 . 若 pq与 bc不平行 , 设 pq交直线 bc于 d.过点 a 作 pq的平行线交直线 bc于 e.由 bm1cm2, 可知 be cem1e m2e,易知ab be ,ac ce ,am 1 m 1 e ,am 2 m 2 eap deaq dean 1dean 2depn 1qn2ebm1 m2cd图4.则 ab ac be ce m 1e m 2 e am 1 am 2 .apaqdede

7、an 1an 2所以 ,ab ac am 1 am 2 .apaqan1an 2这里 , 仅仅添加了一条平行线 , 将求证式中的四个线段比“通分”, 使公分母为de,于是问题迎刃而解 .例 5、 ad 是 abc的高线 ,k 为 ad上一点 ,bk 交 ac于 e,ck 交 ab于 f. 求证： fdaeda.证明： 如图 5, 过点 a 作 bc的平行线 , 分别交直线 de、df、m pa qnbe、 cf于 q、 p、n、m.f显然 , bd kd dc . 有 bd am dc an.ke(1)ankaam由 ap af am, 有 ap bd am .(2)bdfbbcbc由 aq

8、ae an , 有 aq dc an .(3)bdc图5dcecbcbc对比 (1) 、 (2) 、 (3) 有 apaq.显然 ad为 pq的中垂线 , 故 ad平分 pdq.所以 , fda eda.这里 , 原题并未涉及线段比, 添加 bc的平行线 , 就有大量的比例式产生, 恰当地运用这些比例式 , 就使 ap与 aq的相等关系显现出来.4、为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时, 应注意到平行线等分线段定理, 用平行线将线段相等的关系传递开去.例 6在 abc中 ,ad 是 bc边上的中线 , 点 m在 ab 边上 , 点 n 在 ac边上 , 并且 mdn90.2222

9、2122如果 bm cn dmdn, 求证： ad(ab ac).4证明： 如图 6,过点 b作 ac的平行线交 nd延长线于 e. 连 me.m由 bddc,可知 ed dn.有 bed cnd. 于是 ,benc.显然 ,md为 en的中垂线 . 有 em mn.b22222222由 bmbebm nc md dn mn em, 可知 bem为直角三角形 , e abc acb abc ebc90. 于是 , bac90.ancdmbe90. 有图6221bc 122所以 ,ad 2(abac).4这里 , 添加 ac的平行线 , 将 bc的以 d为中点的性质传递给en,使解题找到出路 .

10、2最新资料推荐例 7、如图 7,ab 为半圆直径 ,d 为 ab上一点 , 分别在半圆上取点e、f, 使 ea da,fb db.过 d 作 ab 的垂线 , 交半圆于 c.求证： cd平分 ef.cf证明： 如图 7, 分别过点 e、 f 作 ab的垂线 ,g、 h为垂足 , 连 fa、 eb.e2222易知 db fb ab hb,ad ae ag ab.22二式相减 , 得 db ad ab (hb ag), 或 (db ad) abab(hb ag).ad o hb于是 ,db ad hb ag,或 db hb ad ag.g就是 dh gd.显然 ,eg cd fh.故 cd平分 e

11、f.图7这里 , 为证明 cd平分 ef,想到可先证 cd平分 gh.为此添加 cd的两条平行线 eg、fh,从而得到 g、h 两点 . 证明很精彩 .经过一点的若干直线称为一组直线束. 一组直线束在一条直线上截得的线段相等, 在该直线的平行直线上截得的线段也相等 .如图 8, 三直线 ab、 an、 ac构成一组直线束 ,de 是与 bc平行的直线 . 于是 , 有adm am me ,dm me 或 dm bn .即debnanncbnncmencm此式表明 , dm me的充要条件是 bn nc.bnc利用平行线的这一性质, 解决某些线段相等的问题会很漂亮 .图8例 8 如图 9,abc

12、d为四边形 , 两组对边延长后得交点e、 f, 对角线bd ef,ac的延长线交 ef于 g.求证： eg gf.a证明： 如图 9, 过 c 作 ef的平行线分别交ae、 af 于 m、 n.由 bdef,可知 mn bd.易知 sbef s def. 有 s becs kg *5 dfc.bd可得 mc cn.所以 ,eggf.mn例 9 如图 10, o是 abc的边 bc外的旁切圆 ,d、 e、 f 分别为 o与 bc、ca、ab的切点 . 若 od与 ef相交于k, 求证： ak平分 bc.ecfga证明： 如图 10, 过点 k 作 bc的行平线分别交直线ab、ac于 q、p图9c

13、两点 , 连 op、oq、oe、 of.bp由 odbc,可知 ok pq.fqke由 ofab,可知 o、 k、 f、q四点共圆 , 有 foq fkq.由 oeac,可知 o、 k、 p、e 四点共圆 . 有 eop ekp.o显然 , fkq ekp,可知 foq eop.由 of oe,可知 rt ofqrt oep.图10则 oqop.于是 ,ok 为 pq的中垂线 , 故 qkkp.所以 ,ak 平分 bc.综上 , 我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用. 同学们在实践中应注意适时添加平行线 , 让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.练 习 题1. 四边形 abcd中 ,ab

14、cd,m、n 分别为 ad、 bc的中点 , 延长 ba交直线 nm于 e, 延长 cd交直线 nm于 f. 求证： ben cfn.( 提示：设 p 为 ac的中点 , 易证 pmpn.)2. 设 p 为 abc边 bc上一点 , 且 pc 2pb.已知 abc45, apc60. 求 acb.( 提示：过点 c 作 pa 的平行线交ba延长线于点d.易证 acd pba.答： 75)23. 六边形 abcdef的各角相等 ,fa abbc, ebd60,sebd 60cm. 求六边形 abcdef的面积 .( 提示：设 ef、 dc分别交直线 ab 于 p、q,过点 e 作 dc的平行线交

15、 ab于点 m.所求面积与emqd面积相等 . 答： 120cm2 )3最新资料推荐4. ad 为 rt abc的斜边 bc上的高 ,p 是 ad的中点 , 连 bp并延长交 ac于 e. 已知 ac:ab k.求 ae:ec.21( 提示：过点 a 作 bc的平行线交be延长线于点f. 设 bc1, 有 adk,dc k . 答：1k 2)5. ab 为半圆直径 ,c 为半圆上一点 ,cdab于 d,e 为 db上一点 , 过 d作 ce的垂线交 cb于f. 求证： ad cf .( 提示：过点f 作 ab的平行线交ce于点 h.h 为 cdf的垂心 .)defb6. 在 abc中, a:

16、b: c4:2:1, a、 b、 c的对边分别为 a、b、 c. 求证： 1 a1 1 .( 提示：在 bc上取一点 d, 使 adab.分别过点 b、 c作 ad的平行线交直线 ca、 ba b c于点 e、 f.)7. abc的内切圆分别切 bc、ca、ab于点 d、 e、 f, 过点 f 作 bc的平行线分别交直线da、 de于点 h、 g.求证： fh hg.( 提示：过点 a 作 bc的平行线分别交直线de、 df于点 m、n.)8. ad 为 o的直径 ,pd 为 o的切线 ,pcb 为 o的割线 ,po 分别交 ab、ac于点 m、 n. 求证： om on.( 提示：过点 c

17、作 pm的平行线分别交 ab、 ad于点 e、f. 过 o作 bp 的垂线 ,g 为垂足 .ab gf.)第二讲巧添辅助妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中, 巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系, 通过圆的有关性质找到解题途径. 下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1、挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”, 此时若能把握问题提供的信息, 恰当补出辅助圆 , 并合理挖掘图形隐含的性质, 就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1作出三角形的外接圆a例 1 如图 1, 在 abc中,abac,d 是底边 bc上一点 ,e 是线段 ad上一点且 bed2 ce

18、d a. 求证： bd 2cd.e分析：关键是寻求 bed2ced与结论的联系 . 容易想到作 bed的平分线 , 但因 be ed,故不能直接证出 bd2cd.若延长 ad交 abc的外接bdc圆于 f, 则可得 eb ef,从而获取 .gf证明： 如图 1, 延长 ad与 abc的外接圆相交于点f, 连结 cf 与 bf,则图1bfa bca abc afc,即 bfd cfd.故 bf:cf bd:dc.又 bef bac, bfe bca,从而 fbe abc acb bfe.故 ebef. 作 bef的平分线交bf于 g,则 bg gf.因 gef 1 bef cef, gfe cf

19、e,故 feg fec.从而 gf fc.2于是 ,bf 2cf.故 bd2cd.1.2利用四点共圆例 2 凸四边形 abcd中 , abc60 , bad bcd 90 ,ab 2,cd 1, 对角线 ac、 bd交于点 o,如图 2. 则 sin aob _.分析：由 bad bcd 90可知 a、 b、 c、d4cbodap图2最新资料推荐四点共圆 , 欲求 sin aob,联想到托勒密定理, 只须求出 bc、ad即可 .解： 因 bad bcd 90 , 故 a、b、c、 d四点共圆 . 延长 ba、 cd交于 p, 则 adp abc 60 .设 adx, 有 ap 3 x,dp2x

20、. 由割线定理得 (2 3 x) 3 x 2x(1 2x). 解得 adx23 2,bc 1 bp4 3 .2由托勒密定理有 bdca(4 3 )(23 2) 2110 3 12.又 sabcdsabd s bcd 3 3 . 故 sin aob 15 63 .226例 3已知：如图 3,abbccaad,ahcd于 h,cp bc,cp交 ah于 p. 求证： abc的面积 s3 ap bd.4a323 acbc,只须证 ac bc ap bd,b分析：因abcps4bc4qd转化为证 apc bcd.这由 a、 b、 c、q四点共圆易证 (q 为 bd与chah交点 ).图3证明： 记 b

21、d与 ah交于点 q,则由 acad,ah cd得 acq adq.又 ab ad,故 adq abq.从而 , abq acq.可知 a、 b、 c、 q四点共圆 . apc 90 pch bcd, cbq caq, apc bcd. ac bcap bd.于是 ,s 3 acbc 3 ap bd.2 、构造相关的辅助圆解题44有些问题貌似与圆无关 , 但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息, 此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆, 将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.2.1 联想圆的定义构造辅助圆例 4 如图 4, 四边形 abcd中 ,abcd,ad dc db p,

22、bc q. 求对角线 ac的长 .分析：由“ ad dcdb p”可知 a、 b、 c在半径为 p 的 d 上. 利用圆的性质即可找到 ac与 p、q 的关系 .ba解： 延长 cd交半径为 p 的 d于 e点 , 连结 ae.显然 a、 b、c 在 d上 .ab cd,bc ae.ce从而 ,bc ae q. 在 ace中 , cae 90 ,ce 2p,ae q, 故dac ce 2ae 2 4p 2q2 .图42.2联想直径的性质构造辅助圆例 5已知抛物线 y x2 2x 8 与 x 轴交于 b、c 两点，点 d平分 bc.若在 x 轴上侧的 a点为抛物线上的动点 , 且 bac为锐角

23、, 则 ad的取值范围是 _.分析：由“ bac为锐角”可知点a 在以定线段 bc为直径的圆外 , 又点 a 在 x 轴上侧 , 从而可确定动点 a 的范围 , 进而确定 ad的取值范围 .y解： 如图 5, 所给抛物线的顶点为a(1,9), 对称轴为 x 1, 与 x 轴交0于两点 b( 2,0) 、 c(4,0).a0 (1,9)分别以 bc、da为直径作 d、 e, 则两圆与抛物线均交于两点p(1 22 ,1) 、 q(1 22 ,1).e5pqbdcx最新资料推荐可知 , 点 a 在不含端点的抛物线pa0q内时 , bac 90 . 且有3dpdqadda0 9, 即 ad的取值范围是

24、3ad 9.2.3联想圆幂定理构造辅助圆2 2例 6 ad 是 rt abc斜边 bc上的高 , b 的平行线交 ad于 m,交 ac于 n. 求证： ab anbm bn.分析：因22ab an (ab an)(aban) bm bn,而由题设易知 am an,联想割线定理 , 构造辅助圆即可证得结论 .e证明： 如图 6, 2 3 4 5 90 ,a又 3 4, 1 5, 1 2. 从而 ,am an.n以 am长为半径作 a, 交 ab于 f, 交 ba的延长线于 e.12则 aeafan.f35m422c由割线定理有 bm bn bf be (ab ae)(ab af)(aban)(a

25、ban) ab an,22bd图6即 ab an bm bn.例 7 如图 7,abcd是 o的内接四边形 , 延长 ab和 dc相交于 e, 延长 ab和 dc相交于 e, 延长 ad和 bc相交于 f,ep 和 fq分别切 o于 p、 q.求证： ep2 fq2ef2.分析：因 ep和 fq是 o的切线 , 由结论联想到切割线定理, 构造辅助圆使 ep、 fq向 ef 转化 .证明： 如图 7, 作 bce的外接圆交 ef 于 g,连结 cg.a因 fdc abc cge,故 f、 d、c、 g四点共圆 .p由切割线定理 , 有 ef2 (eg gf)ef eg efgfefq22ec e

26、d fcfb ec edfc fb ep fq,o222即 ep fq ef.2.4联想托勒密定理构造辅助圆bdc例 8 如图 8, abc与 a b c的三边分别为 a、b、 c 与b, a a 180 . 试证： aa bb cc .分析：因 b b, a a 180 , 由结论联想到托勒密定理 , 构造圆内接四边形加以证明 .a、 b、 ce, 且 gbfaacbcb证明： 作 abc的外接圆 , 过 c 作 cdab交圆于 d, 连bacbac结 ad和 bd,如图 9 所示 .(1)a a a 180 a d, bcd bc(2)图8b b ,cba a d, b bcd.b ab

27、c dcb. 有 a b bc ac ,ddccbdb图9c a b. 故 dc ac ,db ab .即dca dbaa又 abdc,可知 bd ac b,bc ad a. 从而 , 由托勒密定理 , 得ad bc ab dc ac bd,即 a 2c ac b ab .故 aa bb cc .aa练 习 题1. 作一个辅助圆证明： abc中 , 若 ad平分 a, 则 ab bd .acdc6最新资料推荐( 提示：不妨设ab ac,作 adc的外接圆交 ab 于 e, 证 abc dbe,从而 ab bd bddcacde.)2. 已知凸五边形 abcde中, bae3a,bccdde,b

28、cd cde 180 2a. 求证： bac cad dae.( 提示：由已知证明bce bde180 3a, 从而 a、 b、c、d、e 共圆 , 得 bac cad dae.)3.在 abc中 ab bc, abc20, 在 ab边上取一点m,使 bm ac.求 amc的度数 .( 提示：以 bc为边在 abc外作正 kbc,连结 km,证 b、 m、c 共圆 , 从而 bcm 1 bkm210 , 得 amc 30.)4如图 10,ac 是abcd较长的对角线 , 过 c作 cf af,ceae.求2证： ab ae ad af ac.( 提示：分别以 bc和 cd为直径作圆交 ac于点

29、 g、 h.则 cg ah,由割线定理可证得结论 .)5. 如图 11. 已知 o1 和 o2 相交于 a、b, 直线cd过 a 交 o1 和 o2 于 c、d, 且 ac ad,ec、 ed分别切两圆于c、 d. 求2证： ac ab ae.( 提示：作 bcd的外接圆 o3, 延长 ba交 o3 于 f, 证 e 在 o3 上 , 得ace adf,从而 ae af,由相交弦定理即得结论.)6已知 e 是 abc的外接圆之劣弧bc的中点 . 求证： abacae2 be2.( 提示：以 be为半径作辅助圆e, 交 ae及其延长线于n、m,由 anc abm证 ab ac an am.)7.

30、若正五边形abcde的边长为 a, 对角线长为b, 试证： b a 1.ab( 提示：证 b2 a2 ab, 联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)fdcabe图10edaco 1o2b图11第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。1、点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n(n 4) 点共线可转化为三点共线。例 1、如图，设线段ab的中点为 c，以 ac和 cb为对角线作平行四边形aecd， bfcg。又作平行四边形cfhd，cgke。求证： h，

31、c， k 三点共线。证：连ak，dg， hb。由题意， ad ec kg，知四边形 akgd是平行四边形，于是 ak dg。同样可证 ak hb。四边形 ahbk是平行四边形，其对角线 ab， kh互相平分。而 c 是 ab 中点，线段kh过 c点，故 k， c，h 三点共gd线。例 2如图所示，菱形abcd中， a=120，o为abc外接圆， m为其上一点，连接mc交 ab于 e， am交cb延长线于 f。求证： d，e，f 三点共线。证：如图，连ac， df， de。因为 m在o上，7akbcahemffebodc最新资料推荐则 amc=60 =abc= acb，有 amc acf，得 m

32、ccfcf 。macacd又因为 amc=bac，所以 amc eac，得 mcacad 。maaeae所以 cfad ，又 bad=bcd=120，知 cfd ade。所以 ade= dfb。因为 adcdae bc，所以 adf=dfb= ade，于是 f， e，d 三点共线。例 3 四边形 abcd内接于圆，其边 ab与 dc的延长线交于点 p， ad与 bc的延长线交于点q。由 q作该圆的两条切线 qe和 qf，切点分别为 e，f；求证： p，e， f 三点共线。证 ：如图：连接 pq，并在 pq上取一点 m，使得 b， c， m，p 四点共圆，连 cm， pf。设 pf 与圆的另一交

33、点为 e，并作 qg丄 pf，垂足为 g。易如2qe=qm qp=qcqb pmc=abc= pdq。从而 c， d，q， m四点共圆，于是 pmpq=pc pd 由，得 pmpq+qm pq=pc pd+qc qb，2即 pq=qc qb+pc pd。易知 pdpc=pe pf，222又 qf=qc qb，有 pe pf+qf=pd pc+qc ab=pq，22222即 pe pf=pq-qf 。又 pq2qf=pggf=(pg+gf) (pg gf)=pf (pg gf)，从而 pe=pg gf=pgge，即 gf=ge，故afgdbcq(e ) eme与 e重合。所以 p， e，f 三点

34、共线。例 4 以圆 o外一点 p，引圆的两条切线 pa， pb， a，b 为切点。割p线 pcd交圆 o于c，d。又由 b 作 cd的平行线交圆 o于 e。若 f 为 cd中点，求证： a， f， e 三点共线。证：如图，连 af， ef， oa， ob， op， bf， of，延长 fc 交 be 于 g。易如 oa丄 ap， ob丄 bp， of丄 cp，所以 p， a，f， o， ba五点共圆，有 afp= aop= pob= pfb。又因 cd be，所以有 pfb=fbe， efd=feb，dfcp而 fog为 be的垂直平分线，故 ef=fb， feb= ebf，o所以 afp=

35、efd， a， f，e 三点共线。2、线共点的证明egb证明线共点可用有关定理 ( 如三角形的 3 条高线交于一点) ，或证明第 3 条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。m例 5 以 abc的两边 ab，ac向外作正方形 abde，acfg。 abc的高为 ah。求证： ah， bf， cd交于一点。e证：如图。延长 ha到 m，使 am=bc。连 cm，bm。g设 cm与 bf交于点 k。在 acm和 bcf中， ac=cf， am=bc，da mac+ hac=180， hac+hca=90，并且kfbcf=90 +hca，b因此 bcf+ hac=180 mac

36、= bcf。从而 machcbcf， acm= cfb。所以 mkf= kcf+kfc= kcf+mcf=90，即 bf 丄 mc。同理 cd丄 mb。 ah， bf， cd为 mbc的 3 条高线，故ah，bf， cd三线交于一点。8最新资料推荐例 6 设 p 为 abc内一点， apb acb= apc abc。又设apc的内心。证明： ap， bd， ce交于一点。证：如图，过 p 向三边作垂线，垂足分别为 r， s， t。连 rs，st， rt，设 bd交 ap 于 m，ce交 ap于 n。易知 p， r，a， s； p， t， b，r； p， s，c， t 分别四点共 圆，则 apb

37、 acb= pac+pbc= prs+ prt= srt。同理， apc abc= rst，由条件知 srt=rst，所以rt=st。又 rt=pbsinb， st=pcsinc，所以 pbsinb=pcsinc，那么d， e 分别是 apb及arm nsdepbtcpbpc 。abac由角平分线定理知anacabamnppcpbmp。故 m， n重合，即 ap，bd，ce交于一点。例 7o1 与o2 外切于 p 点， qr为两圆的公切线 , 其中 q， r分别为o1，o2 上的切点，过 q且垂直于 qo的直线与过 r且垂直于 ro的直线交于点 i ，in 垂直于 oo, 垂足为2112n,i

38、n 与 qr交于点 m.证明： pm， ro1， qo2三条直线交于一点。证：如图，设ro与 qo交于点 o，连 mo， po。i12因为 oqm= onm=90，所以 q，o， n， m四点共圆，有 qmi=111 qoo。 而 iqo =90=rqo，所以 iqm= oqo，122121rqo1o1o2ro2o1o2m故 qim qoo，得q同理可证。因此o21qmmirmmio1n2qmqo1o1o qo1po因为 qo1ro2，所以有mrro2orro2由，得 moqo。 又由于 op=oq，po=ro，所以o1o o1q o1 p，11122orro2po2即 opro2。从而 mo qo1 ro2 op，故 m， o， p 三点共线，所以 pm， ro1，qo2三条直线相交于同一点。3、 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用定理 1 ( 塞瓦 (ceva) 定理 ):设 p， q， r分别是 abc的 bc， ca， ab边上的点。若 ap，bq，cr相交于一点 m，则bpcqar1pcqarb。证：如图，由三角形面积的性质，有ars amcbps ambcqsrb,pcs amc,ss bmcqaamqbmcbpc. 以上三式相乘，得ambbpcqarpcqarb1.定理 2 ( 定理 1 的逆定理 ):9最新资料推荐bpcqar1，则