《型曲面积分》PPT课件.ppt

1、六、 全微分方程,解法2（偏积分法）,解法3（凑微分法）,积分因子,例2 求方程ydx-xdy=0的积分因子并求其通解,因为,解,若存在一函数(x y) (x y)0) 使方程 (x y)P(x y)dx(x y)Q(x y)dy0 是全微分方程 则函数(x y)叫做方程P(x y)dxQ(x y)dy0的积分因子,因为,故所给方程的通解为,例3 求方程 (1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0 的积分因子并求其通解,解,积分得通解,将方程的各项重新合并 得,(ydxxdy)xy(ydxxdy)0,再把它改写成,用积分因子乘以方程 方变为,一阶线性方程的积分因子,可以验证,是一阶线性方程yP

2、(x)yQ(x)的一个积分因子,在一阶线性方程的两边乘以(x)得,两边积分 便得通解,解,方程的积分因子为,因此方程的通解为,第三节 第二类曲面积分 -向量值函数在定向曲面上的积分,一、基本概念,二、概念的引入,三、定义及性质,四、两类曲面积分之间的联系,五、计算法,一、基本概念,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,1.曲面的分类:,(1)双侧曲面;,(2)单侧曲面.,典型双侧曲面,动点在双侧曲面上连续移动(不跨越曲面的边界)并返回到起始点时,其法向量的指向不变.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,规定：定向曲面上任一点处的法向量

3、 总是指向曲面取定的一侧.,注：在定向曲面的范围里，,其方向用法向量指向表示 :,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧, 设 为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,其面元,在 xOy 面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,流向曲面一侧的流量.,流量,实例,(斜柱体体积),(1),流速场为常向量,有向平面区域 ,求单位时间流过的流体的质量,(假定密度为1).,二、 概念引入,分析: 若 是面积为S 的平面,则流量,单位法向量:,流速为常向量:,(2) 设稳定流动的不可压缩流体,给出,函数,(假定密度为1),

4、的速度场由,当,不是常量,曲面,求在单位,时间内流向,指定侧的,流体的质量,是速度场中的一片有向曲面,分割,则该点流速为 ，,法向量为,求和,取近似,该点处曲面的单位法向量,通过流向指定侧的流量,对一般的有向曲面 ,用“分割、求和、取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得, 则,三、第二类曲面积分的定义及性质,被积函数,积分曲面,类似可定义,存在条件:,组合形式:,物理意义:表示流向 指定的流量,若记 正侧的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,三、第二型曲面积分的性质,四、计算法（第二类曲面积分-化为二重积分）,定理: 设光滑曲面,取上侧,是 上的连续函

5、数, 则,证:, 取上侧, 若,则有, 若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面 取下侧, 则,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,解：,一投,二代,三定号,一投,二代,三定号,四、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,令,向量形式,称为有向曲面元,例1. 计算曲面积分,其中,解: 利用两类曲面积分的联系, 有, 原式 =,旋转抛物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之间部分的下侧.,由对称性,例,其中,解,法一,直接用对坐标的曲面积分计算法.,且其投影区域分别为,由于取上侧,在第一卦限部分的,上侧.,面的投影,都是,正的,取上侧,法二,利用两

6、类曲面积分的联系计算.,取上侧,锐角.,定义:,1. 两类曲面积分及其联系,小结,性质:,联系:,2. 常用计算公式及方法,面积分,第一类 (对面积),第二类 (对坐标),二重积分,(1) 统一积分变量,代入曲面方程 (方程不同时分片积分),(2) 积分元素投影,第一类： 面积投影,第二类： 有向投影,(3) 确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,当,时，,（上侧取“+”, 下侧取“”),类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .,思考题,此时 的左侧为负侧，,而 的左侧为正侧.,答：,其中是,所围成的正方体的表面的,先计算,由于平面,都是母线平行于x轴的柱面,则在其上对坐标y,z的积分为0.,解,三个坐标面与平面,外侧.,练习1：,x=a面在yOz面上的投影为正,而,x=0面在yOz面上的投影为负.,投影域均为:,0ya, 0za, 故,由 x,y,z 的对等性知,所求曲面积分为 3a4.,后两个积分值也等于a4.,若分片光滑的闭曲面,0,其中,注,x的偶函数,x的奇函数,曲面不封闭也可以.,取外侧(内侧仍成立),那末,关于yOz平面对称,练习3：,其中:,解,关于yOz面对称,