半导体中载流子的统计分布

1、热平衡状态 热平衡时非简并半导体载流子浓度的计算 本征半导体载流子浓度的计算 杂质半导体载流子浓度的计算 简并半导体载流子浓度的计算,第三章 半导体中载流子 的统计分布,Ec,Ev,产生,复合,ED,在一定温度 T 下，载流子的产生过程与复合过程之间处于动态 的平衡，这种状态就叫热平衡状态。,处于热平衡状态的载流子n0和p0称为热平衡载流子。数值保持一定，其浓度决定于：,费米分布函数,空穴的费米分布函数,能带中的能级可容纳自旋相反的两个电子,杂质能级最多只容纳一个某个自旋方向的电子。,T=0K,1/2,T2T1,E,T1,T2,例：量子态的能量 E 比 EF 高或低 5kT,当 EEF 5 k

2、T 时： f (E) 0.007 当 EEF 5 kT 时： f (E) 0.993,温度不很高时: 能量大于 EF 的量子态基本没有被电子占据 能量小于 EF 的量子态基本为电子所占据 电子占据 EF 的概率在各种温度下总是 1/2,EF,EA,（a）,（b）,（c）,（d）,（e）,EF,EF,EF,EF,强p型,p型,本征,n型,强n型,Ei,EF 的意义:,EF 的位置比较直观地反映了电子占据电子态的情况。即标志了电子填充能级的水平。 EF 越高，说明有较多的能量较高的电子态上有电子占据。,所以，导带底电子满足玻尔兹曼统计规律。,服从Boltzmann分布的电子系统 非简并系统 相应的

3、半导体 非简并半导体,服从Fermi分布的电子系统 简并系统 相应的半导体 简并半导体,3.3 状态密度,状态密度 能带中能量 E E+dE 之间有 dZ 个量子态，则状态密度为：,即状态密度是能带中能量 E 附近单位能量间隔内的量子态数目,状态密度的计算 K 空间的状态密度k 空间单位体积内的量子态数, 能量间隔 dE 对应的 k 空间体积 能量间隔 dE 对应的量子态数 dZ 计算状态密度 g (E),如何计算：,x,x+L,一、理想晶体的 k 空间的状态密度,1.一维晶体,设它由 N+1 个原子组成，晶格常数为 a，晶体的长为 L，起点在 x 处,a,L=aN,在 x 和 x+L 处，电

4、子的波函数分别为(x) 和(x+L),(x)=(x+L),2. 三维晶体,设晶体的边长为L，L=Na，体积为V=L3,电子的一个允许能量状态的代表点,K空间中的状态分布,kx,小立方的体积为：,一个允许电子存在的状态在 k 空间所占的体积,电子的一 个允许能 量状态的 代表点,单位 k 空间允许的状态数为：,单位k空间体积内所含的允许状态数等于晶体体积 V/(2)3,k 空间的量子态（状态）密度,考虑自旋，k空间的电子态密度为：2V/(2)3,任意k空间体积 中所包含的电子态数为：,波矢k 电子状态的关系,能量E 电子状态的关系,能量E波矢k,二、半导体导带底附近和价带顶附近的状态密度,1.

5、极值点 k0=0，E(k)为球形等能面,(1) 导带底,球所占的 k 空间的体积为：,球形等能面的半径 k,设这个球内所包含的电子态数为Z(E)：,Z(E)= 2V/(2)3,能量由 E 增加到 E+dE，k 空间体积增加：,电子态数变化dZ(E)：,导带底附近单位能量间隔的电子态数量子态（状态）密度为：,状态密度与能量的关系,(2)价带顶,对Si、Ge、GaAs材料：,称mdp为价带空穴的状态密度有效质量,2. 极值点ko0,导带底附近的状态密度为：,式中S为导带极小值的个数 Si：S=6，Ge：S=4,导带底附近：,令：,称mdn导带电子的状态密度有效质量,由此可知：,状态密度gC（E）和

6、gV（E） 与能量E 有抛物线关系， 还与有效质量有关， 有效质量大的能带中的状态密度大。,3.4 热平衡时非简并半导体的载流子浓度no和po,一、导带电子浓度no和价带空穴浓度po,1. 电子浓度 no,在能量 EE+dE 间隔内的电子数 dN 为：,dN=fB(E)gc(E)dE,整个导带的电子数N为：,引入：,利用积分公式：, 电子浓度no：,电子占据导带底Ec 的几率,令：, 导带的有效状态密度,导带中的电子浓度是 Nc 中有电子占据的 量子态数。,2. 空穴浓度po,价带中的空穴浓度为：,其中, 价带的有效状态密度,价带中的空穴浓度等于 Nv 中有空穴占据的 量子态数。,在室温时：,

7、二、影响no 和po 的因素,1. mdn 和 mdp 的影响 材料的影响,2. 温度的影响, NC、NV T, f(EC) 、 f(EV) T,Nc、Nv T,T，NC、NV,no、po,占据EC、EV的几率与T有关,T，几率,3. EF 位置的影响,EFEC，EC-EF，no EF越高，电子的填充水平越高，对应ND较高；, EFEV，EF-EV，po EF越低，电子的填充水平越低，对应NA较高。,no和po与掺杂有关，决定于掺杂的类型和数量。,浓度积 nopo 及影响因素,三、载流子浓度积,在一定的温度下，载流子浓度积与杂质无关,本征半导体：,no1，po1 no1=po1=ni （ni本

8、征载流子浓度）,N型： no2，po2 no2po2,P型： no3，po3 po3no3,3.5 本征半导体的费米能级和 载流子浓度,一、本征半导体的费米能级,电中性条件,Ei 为禁带的中心能级，将NC、NV代入：,（设 EV = 0）,Ge：mdp=0.37mo，mdn=0.56mo,室温时，kT = 0.026eV,EFEi = 0.008 eV,(Eg)Ge = 0.67 eV EF Ei,对 Si、GaAs 一样，EF Ei,对 InSb，Eg = 0.17 eV，EF Ei,一般温度下，Si、Ge、GaAs等本征半导体的EF近似在禁带中央Ei，只有温度较高时，EF才会偏离Ei。,二

9、、本征载流子浓度及影响因素,本征载流 子浓度 ni,2. 影响 ni 的因素,(1) mdn、mdp、Eg 材料,(2) T 的影响,T，lnT，1/T，ni,高温时，在 ln ni 1/T 坐标下，近似为一直线。,1/T,lnniT-3/2,-Eg/(2k),实验测定高温下的霍耳系数和电导率,3. 杂质半导体载流子浓度积与 ni 关系,在常温下，已知施主浓度 ND，并且全部电离，求导带电子浓度 no 和价带空穴浓度 po, 施主全部电离, no= ND,n 型半导体,应用,在常温下，已知受主浓度 NA，并且全部电离，求导带电子浓度 no 和价带空穴浓度 po, 受主全部电离,po = NA,

10、P型半导体,三、本征半导体在应用上的限制,纯度达不到,本征激发是载流子的主要来源,（杂质原子/总原子 本征载流子/总原子）,Si：原子密度 1023/cm3，室温时，ni =1010/cm3,本征载流子/总原子=1010/1023=10-13杂质原子/总原子,要求Si的纯度必须高于99.9999999999999%！,本征载流子浓度随温度变化很大,在室温附近：,Si: T ， 8K ni 一倍,Ge: T ， 12K ni 一倍,本征半导体的电导率不能控制,电子占据 ED 的几率:,空穴占据 EA 的几率:,3.6 非简并杂质半导体的载流子浓度,一、杂质能级上的电子和空穴浓度,若施主浓度和受主

11、浓度分别为 ND、NA， 则施主能级上的电子浓度 nD 为：, 未电离的施主浓度,电离的施主浓度 nD+ 为：,受主能级上的空穴浓度 pA 为：,电离的受主浓度 pA为：, 没有电离的受主浓度, EFEAkT, EAEFkT,pA0，pA NA，受主几乎全电离, EF=EA,pANA，pA 0，受主几乎都未电离,EF 高时，受主全电离；EF 低时，受主未电离；,施主相反，EF 高时，施主未电离；EF 低时，施主全电离。,EF 杂质的电离,导带电子或价带空穴,内在联系,二、杂质半导体载流子浓度和费米能级,带电粒子有：,电子、空穴、电离的施主和电离的受主,电中性条件：,no + pA = po +

12、 nD+,1. 低温弱电离区,温度很低，kTEDEg， 本征激发很小,对 n 型半导体,含有 ND、NA 两种杂质，但 NDNA,因 ND NA，价带空穴主要来源于本征激发， 而本征激发很小，所以po 0 可忽略。 电中性条件可简化为：,no + pA = nD+,施主部分电离，EF 在ED 附近， EFEA，受主全电离，,pA = NA, nD+=NDnD,no= nD+ pA NDnDNA,将 nD 代入，并移项后，得：,令,两边同乘：,noNC，kT ln（no/NC）0, EFEC,费米能级,NA=0,no，EF,温度很低，,很小, n0 T 的关系,对 no 的表达式取对数：,lnn

13、o 常数 ED/(2kT)+3/4lnT,1/T,lnn0T-3/4,-ED/(2k), EF T 的关系,T0K时，NC0，,但：,费米能级位于导带底 和施主能级的中线处,说明 EF 上升很快,T，NC，dEF/dT，说明 EF 随 T 的升高而增大的速度变小了。,但：,当T，达到 Tmax时：,EF 达到最大值：,当T Tmax 后，,当T=T1 时：,当ND时，EF T的变化规律不变， 但Tmax，EFmax ,中间电离区,T,E,EC,ED,EF,NC = 0.11 ND,低温弱电离区 EF 与 T 的关系,2. 饱和电离区,杂质全部电离，本征激发仍很小,同时含有ND和NA，且NDNA

14、,电中性条件为：, (EF)本征Ei,又,ni NDNA,EFEi,T，ni，EF,NDni,ND，EF,NA=0,EFEi,T，ni，EF,饱和区：载流子浓度 n0 保持 等于杂质浓度的这一温度范 围叫。,3. 过渡区 （半导体处于饱和区和完全本征激发之间）,同时含有ND、NA，且NDNA,电中性条件：,NA=0,当NDni时:,靠近饱和区一边,当NDni时:,靠近本征区一边,4. 本征激发区 （高温）,n0 ND, p0 NA,n型Si中电子浓度n与温度T的关系：,杂质离化区,过渡区,本征激发区,ni,ND,0,ni,T,n,n 型硅中电子浓度与温度关系,n,200,400,600,P型半

15、导体的载流子浓度和费米能级,1. 低温弱电离区,4. 本征激发区,T，EF,3. 过渡区,po=NA，no=ni2/NA,2. 饱和电离区,计算掺杂半导体的载流子浓度时，需首先考虑属于何种温区。,一般：T：300K左右，且掺杂浓度ni,属于饱和电离区,注意：,N型：no=NDNA,或 no=ND,P型：po=NAND,或 po=NA,三、工作温区（强电离区）的确定,1.已知工作温度(TminTmax)确定掺杂范围(ND)min(ND)max,由Tmax确定(ND)min, 根据Tmax，由lnni 1/T曲线查出 Tmax对应的ni；, 根据ni的公式计算出Tmax所对应的ni；,要达到全电离

16、，要求EDEF,由Tmin确定(ND)max,在强电离区：,一般：D= 0.1，达到全电离。,室温时：NC=2.81019/cm3，ED=0.044ev,(ND)max=31017/cm3,(ND)min=10ni(500K),查表得：T=500K时，ni=51014/cm3,(ND)min=51015/cm3,例：计算工作温度在室温到 500K 的掺 P 的 Si 半导体的施主浓度范围。,工作温区=强电离区,Tmin=300K，Tmax=500K,2. 已知杂质范围确定工作温区,(ND)minTmax,(ND)maxTmin,3.7 简并半导体,一、简并半导体的载流子浓度,1. EF 位于导

17、带中,其中：,费米积分,（J为整数和半整数）, -4 -3 -2 -1 -1/2 0 1/2 F1/2() 0.016 0.043 0.115 0.29 0.45 0.689 0.99 1 2 3 4 1.396 2.502 3.977 5.771,2. EF 位于价带中,二、简并化条件,非简并：,简并：,01,-4,-2,0,2,4,6,8,0.2,05,2,5,10,20,费米,经典,no,1,EC EF 2kT，非简并,0 EC EF 2kT，弱简并,EFEC 0 或 EC EF 0，简并,n 型半导体的简并条件：EFEC0 P型半导体的简并条件：EVEF0,no=nD+, 简并时，EF

18、=EC，EDEF，,三、n 型半导体简并时的施主浓度,当：EF=EC，=0，F1/2 (0)0.689,ND NC 至少处于同一数量级；,P 型简并半导体，NA NV,ND2.34NC,简并半导体为重掺杂半导体,重掺杂： 当半导体中的杂质浓度超过一定数量时， 载流子开始简并化的现象叫。,四、简并半导体中的杂质能级,杂质能带： 在简并半导体中，杂质浓度高，导致杂质 原子之间电子波函数发生交叠，使孤立的杂质 能级扩展为杂质能带。,杂质带导电： 杂质能带中的电子通过在杂质原子之间的 共有化运动参加导电的现象。,禁带变窄效应： 重掺杂时，杂质能带进入导带或价带，形 成新的简并能带，简并能带的尾部深入到

19、禁带 中，称为带尾，从而导致禁带宽度变窄。,导带,Eg,施主能级,价带,施主能带,本征导带,简并导带,能带边沿尾部,Eg,Eg,价带,简并：,ED0，EgEg,禁带变窄,施主能级分裂成能带； 导带 = 本征导带 + 杂质能带 在 EC 附近，gC(E) 明显增加,杂质上的电子直接参与导电, 电子占据量子态的几率：,费米分布函数 简并半导体,玻尔兹曼函数 非简并半导体, 能量状态密度：,导带：gC(E) E 1/2,价带：gV(E)-E 1/2,第三章 小结, 载流子浓度：,导带电子浓度：,价带空穴浓度：,浓度积：, 本征半导体：,非简并半导体：,N型：,低温弱电离区,（P 型？）,只含ND：,

20、饱和电离区,只含ND,过渡区,本征区, 饱和电离区的确定, 简并半导体,载流子浓度,简并条件：,或,简并时的杂质浓度和杂质能级,重掺杂,杂质能带,第三章 习题,10. 已知：T=300K， ni=2.41013/cm3， ED=0.0127ev，Nc=1.051019/cm3， D=10%,解：,13. 已知： ND=1015/cm3，ED=0.044ev,解：77K时，材料处于低温弱电离区,其中：NA=0,no=7.51014/cm3,或：,=1.571015/cm3,T=300K时，ni=1.51010/cm3ND,材料处于饱和电离区,500k时，,材料处于过渡区,=1.131015/cm

21、3,800k时，ni=91016(1017)/cm3ND 材料处于本征 区,no=po=ni,14.已知：,解：,NAND，材料为P型,材料处于饱和电离区,或：,15.已知：NA=1022/m3=1016/cm3 T=300K和600K,解：,T=300K时，ni=1.51010/cm3NA,材料处于饱和电离区,po=NA=1016/cm3,或：,600K时，ni=81015/cm3,材料处于过渡区,21. 试计算掺磷的硅，锗在室温下开始发 生弱简并时的杂质浓度为多少？,解：,由no=nD+,型半导体,又 弱简并时，EF=EC,第三章 补充习题,1、对于某n型半导体，试证明其费米能级在其本征半

22、导体的费米能级之上。即EFnEFi。 2、试分别定性定量说明： （1）在一定的温度下，对本征材料而言，材料的禁带宽度越窄，载流子浓度越高； （2）对一定的材料，当掺杂浓度一定时，温度越高，载流子浓度越高。 3、设E-EF为1.5k0T，分别用费米分布函数和玻尔兹曼分布函数计算电子占据该能级的概率。 4、在室温时对Ge均匀掺杂百万分之一的硼原子后，计算掺杂锗室温时的多子浓度和少子浓度以及EF的位置 5、若两块Si样品中的电子浓度分别为2.251010cm-3和6.81016cm-3，试分别求出其中的空穴的浓度和费米能级的相对位置，并判断样品的导电类型。假如再在其中都掺入浓度为2.251016cm

23、-3的受主杂质，这两块样品的导电类型又将怎样？,6、含受主浓度为8.0106cm-3和施主浓度为7.251017cm-3的Si材料，试求温度分别为300K和400K时此材料的载流子浓度和费米能级的相对位置。 7、试分别计算本征Si在77K、300K和500K下的载流子浓度。 8、Si样品中的施主浓度为4.51016cm-3，试计算300K时的电子浓度和空穴浓度各为多少？ 9、某掺施主杂质的非简并Si样品，试求EF=（EC+ED）/2时施主的浓度。 10、单晶硅中均匀地掺入两种杂质掺硼1.51016cm-3,掺磷5.01015cm-3。试计算： （1）室温下载流子浓度； （2）室温下费米能级位置

24、； （3）600K下载流子浓度。 已知：q1.610-19，室温下ni=1.51010cm-3， NC=2.81019cm-3，NV=1.01019cm-3, k0T=0.026eV；600K时ni=61015cm-3。,1、证明：设nn为n型半导体的电子浓度，ni为本征半导体的电子浓度。显然,nn ni,即,得证。,2、解： （1）在一定的温度下，对本征材料而言，材料的禁带宽度越窄，则跃迁所需的能量越小，所以受激发的载流子浓度随着禁带宽度的变窄而增加。 由公式,也可知道，温度不变而减少本征材料的禁带宽度，上式中的指数项将因此而增加，从而使得载流子浓度因此而增加。,（2）对一定的材料，当掺杂浓

25、度一定时，温度越高，受激发的载流子将因此而增加。由公式,可知，这时两式中的指数项将因此而增加，从而导致载流子浓度增加。,3、解：费米分布函数为,当E-EF等于1.5k0T时，f=0.182,玻尔兹曼分布函数为,当E-EF等于1.5k0T时，f=0.223 上述结果显示在费米能级附近费米分布和玻尔兹曼分布有一定的差距。,4、解：锗掺硼的浓度：NA4.421016cm-3 室温时掺杂浓度远大于本征载流子浓度，锗半导体处于饱和电离区。 多子浓度p0=NA=4.421016cm-3 少子浓度n0=ni2/p0=1010cm-3 费米能级：EF=Ev-k0Tln(NA/Nv)= Ev+0.126eV,5、解：由,得,可见，,又因为,则,假如再在其中都掺入浓度为2.251016cm-3的受主杂质，那么将出现杂质补偿，第一种半导体补偿后将变为p型半导体，第二种半导体补偿后将近似为本征半导体。 答：第一种半导体中的空穴的浓度为1.1x1010cm-3,费米能级在价带上方0.234eV处；第一种半导体中的空穴的浓度为3.3x103cm-3,费米能级在价带上方0.331eV处。掺入浓度为2.251016cm-3的受