高考数学人教A一轮复习课件选修452证明不等式的基本方法

1、第二节 证明不等式的基本方法,【知识梳理】 1.比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法和作商比较法两种.,a-b0,a-b0,a-b=0,具有多项式,2.综合法 一般地,从_出发,利用_、公理、_、 性质等,经过一系列的_、_而得出命题成立, 这种证明方法叫做综合法.综合法又叫_或由 因导果法.,已知条件,定义,定理,推理,论证,顺推证法,3.分析法 证明命题时,从_出发,逐步寻求使它成立的 _,直至所需条件为_或_ _(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而 得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一 种执果索因的思考和证明方法.,要证的结论,充分条件,已知条件,

2、一个明显成立,的事实,【特别提醒】 1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系. 2.用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论,再说明所要证明的数学问题成立.,考点一比较法证明不等式 【典例1】(1)已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证: 1. (2)当a,b(0,+)时,求证:aabb(ab) .,【解题导引】 (1)利用作差比较法证明,注意条件a+b=2的应用. (2)利用作商比较法证明.,【规范解答】(1) 因为a+b=2，所以 因为a，b都是正实数，所以 ab 所

3、以 0,即 1.,(2) 当a=b时， 当ab0时， 当ba0时， 所以,【规律方法】 比较法证明不等式的方法与步骤 1.作差比较法 (1)作差比较法证明不等式的一般步骤: 作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体作差;,变形:将差式进行变形,化简为一个常数,或通分,因式分解变形为若干个因式的积,或配方变形为一个或几个平方和等; 判号:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号; 结论:肯定不等式成立的结论.,(2)作差比较法的应用范围: 当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般使用作差比较法.,2.作商比较法 (1)作商比较法证明不等式的一般步骤: 作商:将不等式左右两边的

4、式子作商; 变形:将商式的分子放(缩),分母不变,或分子不变,分母放(缩),或分子放(缩),分母缩(放),从而化简商式为容易和1比较大小的形式;,判断:判断商与1的大小关系,就是判断商大于1或小于1或等于1; 结论. (2)作商比较法的应用范围: 当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一般使用作商比较法.,易错提醒:作商比较时易忽视分母的符号而得出错误的结论.,【变式训练】已知a0,b0,求证:,【证明】 又 0, 所以 故,【加固训练】 1.求证:a2+b2ab+a+b-1. 【证明】因为(a2+b2)-(ab+a+b-1) =a2+b2-ab-a-b+1,=(2a2+2b2-2ab

5、-2a-2b+2) =(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1) =(a-b)2+(a-1)2+(b-1)20. 所以a2+b2ab+a+b-1.,2.已知a,b均为正数,且a+b=1,证明:(ax+by)2ax2+by2. 【证明】(ax+by)2-(ax2+by2)=a(a-1)x2+b(b-1)y2+2abxy, 因为a+b=1,所以,a-1=-b,b-1=-a, 故(ax+by)2-(ax2+by2),=a(a-1)x2+b(b-1)y2+2abxy =-ab(x2+y2-2xy)=-ab(x-y)20, 当且仅当a=b时等号成立. 所以(ax+by)2ax2+by

6、2.,考点二综合法证明不等式 【典例2】(2015全国卷)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明: (1)若abcd,则 (2) 是|a-b|c-d|的充要条件.,【解题导引】(1)由a+b=c+d及abcd,可证明 ,开方即得 (2)本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.,【规范解答】(1)因为 由题设a+b=c+d,abcd得 因此,(2)(i)若|a-b|cd. 由(1)得,(ii)若 ,则 即a+b+2 c+d+2 . 因为a+b=c+d,所以abcd. 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd =(c-d)2.,因此|a-b|c-d|

7、. 综上, 是|a-b|c-d|的充要条件.,【母题变式】 1.题中条件改为:a+b=c+d=1,证明:ab+cd.,【证明】因为a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d=1,所以0ab ,0cd 所以ab+cd.,2.题中条件改为:a+b+c+d=1,证明:,【证明】 4+2+2+2+2+2+2=16,等号当且仅当a=b=c=d=时成立.,【规律方法】 1.综合法证明不等式的方法 (1)综合法证明不等式,要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.,(2)在用综合法证明不等式时,不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性

8、质时,要注意性质成立的前提条件.,2.综合法证明时常用的不等式 (1)a20. (2)|a|0. (3)a2+b22ab,它的变形形式有 a2+b22|ab|;a2+b2-2ab;(a+b)24ab; a2+b2(a+b)2;,(4) ,它的变形形式有 a+2(a0); 2(ab0); -2(ab0). (5)(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2.,【变式训练】设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1,记f(x)1的解集为M,g(x)4的解集为N. (1)求M. (2)当xMN时,证明:x2f(x)+xf(x)2.,【解析】(1)f(x)=2|x-1|+x-1

9、 = 当x1时,由f(x)1得x, 故1x; 当x1时,由f(x)1得x0,故0 x1; 综上可知,f(x)1的解集为M= (2)由g(x)=16x2-8x+14得 解得 因此N= 故MN=,当xMN时,f(x)=1-x. 于是x2f(x)+xf(x)2=xf(x)(x+f(x) =xf(x)=x(1-x)=,【加固训练】 1.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ca. (2) 1.,【解题提示】(1)将a+b+c=1两边平方,化简整理,借助不等式的性质,即得结论. (2)证 1,即证 a+b+c. 可分别证 然后相加即得.,【证明】(1)由a2+b22ab,b2

10、+c22bc,c2+a22ca得a2+b2+c2ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1, 所以3(ab+bc+ca)1, 即ab+bc+ca. 当且仅当“a=b=c”时等号成立.,(2)因为 当且仅当“a2=b2=c2”时等号成立, 故 +(a+b+c)2(a+b+c), 即 a+b+c. 所以 1.,2.设a,b,c均为正数,abc=1.求证: 【证明】由a,b,c为正数,根据基本不等式,得 将此三式相加,得,即 由abc=1，则有 =1. 所以,考点三分析法证明不等式 【典例3】(2017郑州模拟)已知f(x)=|x+1|+|x-

11、1|,不等式f(x)4的解集为M. (1)求M. (2)当a,bM时,证明:2|a+b|4+ab|.,【解题导引】(1)用分类讨论的方法解不等式求M,或用绝对值的几何意义求M. (2)用分析法证明不等式.,【规范解答】(1)方法一:f(x)=|x+1|+|x-1|= 当x1时,2x4,解得1x2; 当x-1时,-2x4,解得-2x-1; 当-1x1时,24恒成立; 综上可知,M=x|-2x2.,方法二:数轴上到点-1,1的距离之和为4的点分别为 -2,2如图, 由图可知不等式|x+1|+|x-1|4的解集为(-2,2),即M=(-2,2).,(2)要证明2|a+b|0, 即a2b2-4a2-4

12、b2+160. 因此不等式2|a+b|4+ab|成立.,【规律方法】 1.用分析法证“若A则B”这个命题的模式 为了证明命题B为真, 只需证明命题B1为真,从而有 只需证明命题B2为真,从而有 只需证明命题A为真,而已知A为真,故B必为真.,2.分析法的应用 当所证明的不等式不能使用比较法,且和已知条件、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.,3.综合法与分析法的逻辑关系 用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索因”,它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单

13、,条理清楚,所以在实际应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转化,互相渗透,互为前提.,【变式训练】设x1,y1,证明: 【证明】由于x1,y1, 要证 只需证xy(x+y)+1y+x+(xy)2. 因为y+x+(xy)2-xy(x+y)+1,=(xy)2-1-xy(x+y)-(x+y) =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1), 由条件x1,y1可知x-10,y-10,xy-10,所以(xy-1)(x-1)(y-1)0, 从而所要证明的不等式成立.,【加固训练】 已知ABC的三边长分别是a,b,c且m为正数,