高等数学洛毕达法则与泰勒公式.ppt

1、三、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,及,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导,(3)在开区间 ( a , b ) 内,至少存在一点,使,满足 :,要证,证: 作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知, 至少存在一点,思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?,两个 不 一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,第二节,洛必达法则,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,( 或 型),本节研究:,洛必达法则,一、,存在 (或为 ),定理 1.,型未定式,(洛必达法则),( 在 x , a 之间),证:,无妨假设

2、,在指出的邻域内任取,则,在以 x, a 为端点的区间上满足柯,故,定理条件:,西定理条件,存在 (或为 ),3),例1. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,二、,型未定式,存在 (或为),定理 2.,(洛必达法则),例2. 求,解:,原式,例3. 求,解：,令,原式,说明:,1) 例3 , 例4 表明,时,后者比前者趋于,更快 .,例4.,例3.,2) 若,例如,极限不存在,设,是未定式极限 , 如果,不存在 , 是否,的极限也不存在 ?,极限,例如,而,用洛必达法则,3) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 .,为简化计算应注意：,1、注意化简、整

3、理，特别是常数分离,2、乘积因式注意无穷小代换,解:,例.,原式,第三节,泰勒 ( Taylor )公式,-用多项式近似表示函数,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式 :,需要解决的问题,如何提高精度 ?,如何估计误差 ?,x 的一次多项式,1. 求 n 次近似多项式,要求:,故,前提：f (x)具有n+1阶导,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,泰勒中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .,在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为,注意到,称为麦克劳林（

4、 Maclaurin ）公式 .,则有,在泰勒公式中若取,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,其中,泰勒多项式逼近,泰勒多项式逼近,各项中次数最高者就是各函数展开式的截止项次数,在加减中用等价无穷小要注意阶的合适,三. 利用泰勒公式求极限,例2. 求,解:,由于,第四节,函数的单调性与,曲线的凹凸性,一、 函数单调性的判定法,若,定理 1. 设函数,则 在a, b单调递增,(递减) .,证: 无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在 a, b上连续，（a, b) 内可导,证毕,判断单调性步骤：,1、将定义域划分为单调区间,1）单调区间的分界点除驻点外,也可是导

5、数不存在的点.,2）分界点两边导数可能同号, 则不改变函数的单调性 .,例如,2、利用判定定理确定其单调性,例1. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,例3. 证明,时, 成立不等式,证: 令,从而,且,证,利用单调性讨论方程根的位置及个数,若单调连续区间的两个端点函数值异号,则存在唯一实根,定义 . 设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称,图形是凹的;,(2) 若恒有,则称,连续曲线上的凹凸分界点称为拐点 .,图形是凸的 .,二、曲线的凹凸与拐点,在 I 内,则 在 I 内图形是凹的 ;,定理2.(凹凸判定法),则 在 I 内图形是凹的 ;,

6、(2) 在 I 内,则 在 I 内图形是凸的 .,设函数,在区间I 上有二阶导数,(1) 在 I 内,说明:,若曲线,或不存在,的一个可能拐点.,若其两侧二阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变 .,例5. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,第五节,函数的极值与,最大值最小值,定理 1 (极值第一判别法),且在空

7、心邻域,内有导数,例1. 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,得,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,定理2 (极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,例2. 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,极值的判别法( 定理1 定理2 ) 都是充分的.,说明:,当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .,例如:,为极大值 ,但不满足定理1, 定理2 的条件.,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点

8、或端点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点 .,(小),例3. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0 ;,因此也可通过,例3. 求函数,说明:,求最值点.,与,最值点相同 ,由于,令,在闭区间,上的最大值和最小值 .,用开始移动,例6. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 作,

9、解: 克服摩擦的水平分力,正压力,即,令,则问题转化为求,的最大值问题 ., 为多少时才可使力,设摩擦系数,的大小最小?,令,解得,而,因而 F 取最小值 .,解:,即,令,则问题转化为求,的最大值问题 .,第六节,一、 曲线的渐近线,二、 函数图形的描绘,函数图形的描绘,无渐近线 .,点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,一、 曲线的渐近线,定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点,时,则称直线 L 为,曲线C 的渐近线 .,例如, 双曲线,有渐近线,但抛物线,或为“纵坐标差”,1. 水平与铅直渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有垂直渐近线,例1. 求曲线,的渐近线

10、 .,解:,为水平渐近线;,为垂直渐近线.,2. 斜渐近线,斜渐近线,若,例2. 求曲线,的渐近线 .,解:,又因,为曲线的斜渐近线 .,二、函数图形的描绘,步骤 :,1. 确定函数,的定义域 ,期性 ;,2. 求,并求出,及,3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;,4. 求渐近线 ;,5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .,为 0 和不存在,的点 ;,并考察其对称性及周,例4. 描绘函数,的图形.,解: 1) 定义域为,图形对称于 y 轴.,2) 求关键点,3) 判别曲线形态,(极大),(拐点),(极大),(拐点),为水平渐近线,5) 作图,4) 求渐近线,第七节,平面曲线

11、的曲率,第三章,一、 弧微分,设,在(a , b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,二、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点 M 处的曲率,转角为,例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .,解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;,R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率K 的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !,例：计算xy=1在点（1，1）处的曲率。,说明:,若曲线由参数方程,给出, 则,例3. 求椭圆,在何处曲率最大?,解:,故曲率为,K 最大,最小,求驻点:,设,从而 K 取最大值 .,这说明椭圆在点,处曲率,计算驻点处的函数值:,最大.,三、 曲率圆与曲率半径,设 M 为曲线 C 上任一点 ,在点,在曲线,把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的,曲率圆,( 密切圆 ) ,R 叫做曲率半径,D 叫做,曲率中心.,在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1