高考数学理人教大一轮复习讲义课件第八章立体几何与空间向量8.5

1、8.5直线、平面垂直的判定与性质,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,(1)定义 如果直线l与平面内的 直线都垂直，则直线l与平面垂直.,1.直线与平面垂直,知识梳理,任意一条,(2)判定定理与性质定理,相交,a，b,abO,la,lb,平行,a,b,2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和 所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 的角. (2)范围：0， .,它在平面上的射影,0,直角,3.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 二面角：从一条直线出

2、发的 所组成的图形叫做二面角； 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.,两个半平面,垂直于棱,直二面角,(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理,交线,垂线,重要结论： (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个

3、，则这一条直线与另一个平面也垂直.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.() (2)垂直于同一个平面的两平面平行.() (3)直线a，b，则ab.() (4)若，aa.() (5)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直.(),1.(教材改编)下列命题中不正确的是 A.如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面 B.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 C.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D.如果平面平面，平面平面，l，那么l,考点自测,答案,解析,2.设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平

4、面内，且bm，则“”是“ab”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,答案,解析,若，因为m，b，bm， 所以根据两个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab； 反过来，当am时，因为bm，且a，m共面，一定有ba， 但不能保证b，所以不能推出.,3.(2017宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题： 若ABAC，BDCD，则BCAD； 若ABCD，ACBD，则BCAD； 若ABAC，BDCD，则BCAD； 若ABCD，ACBD，则BCAD. 其中为真命题的是 A. B. C. D.,答案,解析,如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由ABA

5、CAMBC，同理DMBCBC平面AMD，而AD平面AMD，故BCAD.设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由ABCDBOCD，由ACBDCOBDO为BCD的垂心DOBCADBC.,4.(2016济南模拟)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，G为MC的中点.则下列结论中不正确的是 A.MCAN B.GB平面AMN C.平面CMN平面AMN D.平面DCM平面ABN,答案,解析,显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)， 取AN的中点H，连接HB，MH，GB， 则MCHB，又HBAN，所

6、以MCAN，所以A正确； 由题意易得GBMH，又GB平面AMN，MH平面AMN， 所以GB平面AMN，所以B正确； 因为ABCD，DMBN，且ABBNB，CDDMD，所以平面DCM平面ABN，所以D正确.,5.(教材改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心.,答案,解析,外,如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在RtPOA、RtPOB和RtPOC中， PAPCPB， 所以OAOBOC，即O为ABC的外心.,(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心.,答案,解析,垂,如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，A

7、B于H，D，G. PCPA，PBPC，PAPBP， PC平面PAB，AB平面PAB，PCAB， 又ABPO，POPCP， AB平面PGC， 又CG平面PGC， ABCG，即CG为ABC边AB上的高. 同理可证BD，AH为ABC底边上的高， 即O为ABC的垂心.,题型分类深度剖析,题型一直线与平面垂直的判定与性质,例1(2016全国甲卷改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF ，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.OD . 证明：DH平面ABCD.,证明,几何画板展示,由已知得ACBD，ADCD.,因此EFHD，从而E

8、FDH.,所以OH1，DHDH3. 于是DH2OH2321210DO2，故DHOH. 又DHEF，而OHEFH，且OH，EF平面ABCD， 所以DH平面ABCD.,思维升华,证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.,跟踪训练1(2015江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E. 求

9、证：(1)DE平面AA1C1C；,证明,(2)BC1AB1.,证明,又因为BC1平面BCC1B1， 所以BC1AC. 因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形， 因此BC1B1C. 因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC， 所以BC1平面B1AC. 又因为AB1平面B1AC， 所以BC1AB1.,题型二平面与平面垂直的判定与性质,例2如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点. (1)求证：CE平面PAD；,证明,方法一 取PA的中点H，连接EH，DH. 又E为PB的中点， 所以EH綊 AB. 又CD綊

10、 AB， 所以EH綊CD. 所以四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH. 又DH平面PAD，CE平面PAD. 所以CE平面PAD.,方法二 连接CF. 因为F为AB的中点， 所以AF AB. 又CD AB，所以AFCD. 又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形. 因此CFAD，又CF平面PAD，AD平面PAD， 所以CF平面PAD.,因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA. 又EF平面PAD，PA平面PAD， 所以EF平面PAD. 因为CFEFF，故平面CEF平面PAD. 又CE平面CEF，所以CE平面PAD.,(2)求证：平面EFG平面EMN.,证明,引申探究,1.在本例条件下

11、，证明：平面EMN平面PAC.,证明,2.在本例条件下，证明：平面EFG平面PAC.,证明,思维升华,(1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理(a，a). (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,跟踪训练2(2016江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1. 求证：(1)直线DE平面A1C1F；,证明,(2)平面B1DE平面A1C1F.,证明,题型三垂直关系中的探索性问题,例3如图，在三棱台ABCDEF中

12、，CF平面DEF，ABBC. (1)设平面ACE平面DEFa，求证：DFa；,证明,(2)若EFCF2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由.,解答,线段BE上存在点G，且BG BE，使得平面DFG平面CDE. 证明如下： 取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G， 连接GD，GF， CFEF，GFCE. 在三棱台ABCDEF中，ABBCDEEF. 由CF平面DEFCFDE. 又CFEFF，DE平面CBEF，DEGF.,又GF平面DFG，平面DFG平面CDE. 此时，如平面图所示，延长CB，FG交于点H， O为CE的中点，

13、EFCF2BC， 由平面几何知识易证HOCFOE，,思维升华,同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.,跟踪训练3(2016北京东城区模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，M为棱AC的中点.ABBC，AC2，AA1 . (1)求证：B1C平面A1BM；,证明,(2)求证：AC1平面A1BM；,证明,侧棱AA1底面ABC，BM平面ABC， AA1BM， 又M为棱AC中点，ABBC，BMAC. AA1ACA，BM平面ACC1A1， BMAC1. AC2，AM1.,AC1CA1MA， 即AC1C

14、C1ACA1MAC1AC90， A1MAC1. BMA1MM，AC1平面A1BM.,解答,平面AC1N平面AA1C1C. 证明如下： 设AC1中点为D，连接DM，DN. D，M分别为AC1，AC中点，,又N为BB1中点，DMBN，且DMBN，,四边形BNDM为平行四边形， BMDN， BM平面ACC1A1， DN平面ACC1A1. 又DN平面AC1N， 平面AC1N平面AA1C1C.,典例(12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点. 求证：(1)AN平面A1MK； (2)平面A1B1C平面A1MK.,立体几何证明问题中的转化思想,思想与方法

15、系列17,规范解答,思想方法指导,(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理； (2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； (3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.,返回,证明(1)如图所示，连接NK. 在正方体ABCDA1B1C1D1中， 四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形， AA1DD1，AA1DD1， C1D1CD，C1D1CD. 2分 N，K分别为CD，C1D1的

16、中点， DND1K，DND1K， 四边形DD1KN为平行四边形，3分,KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN， 四边形AA1KN为平行四边形，ANA1K. 4分 A1K平面A1MK，AN平面A1MK， AN平面A1MK.6分 (2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中， ABC1D1，ABC1D1. M，K分别为AB，C1D1的中点， BMC1K，BMC1K， 四边形BC1KM为平行四边形，,MKBC1.8分 在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C， BC1平面BB1C1C，A1B1BC1. MKBC1，A1B1MK. 四边形BB1C1C为正方

17、形，BC1B1C.10分 MKB1C. A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1B1CB1， MK平面A1B1C. 又MK平面A1MK， 平面A1B1C平面A1MK.12分,返回,课时作业,1.若平面平面，平面平面直线l，则 A.垂直于平面的平面一定平行于平面 B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面 C.垂直于平面的平面一定平行于直线l D.垂直于直线l的平面一定与平面，都垂直,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A.若，m，n，则

18、mn B.若，m，n，则mn C.若mn，m，n，则 D.若m，mn，n，则,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.(2016包头模拟)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是 A.CC1与B1E是异面直线 B.AC平面ABB1A1 C.AE与B1C1是异面直线，且AEB1C1 D.A1C1平面AB1E,答案,解析,A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线； B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC平面ABB1A1； C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线； D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1平面AB1E不正确，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： BDAC； BAC是等边三角形； 三棱锥DABC是正三棱锥； 平面ADC平面ABC