高等数学(下)课件d11重修课

1、一、 曲线积分的计算法,二、曲面积分的计算法,第十一章 线面积分的计算,一、曲线积分的计算法,1. 基本方法,曲线积分,第一类 ( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),(1) 统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则,B(1 1)之间的一段弧,曲线L的参数方程为xx yx2 (0 x1) 因此,解,例2 计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1),取坐标系如图所示 则曲线L的参数方程为,解,设曲线 L的参数方程为x(t) y

2、(t) (t) 则,xRcos yRsin (),于是所求转动惯量I为,提示 转动惯量的元素为dIy2ds y2ds,例2 计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1),取坐标系如图所示 则曲线L的参数方程为,解,设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则,于是所求转动惯量I为,xRcos yRsin (),xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧,解,x2y2z2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2,在曲线上有,并且,xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧,解,在曲线上有,并且,x2y2z

3、2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2,下页,设L由x(t) y(t)给出 L以t为起点以t 为终点 则,上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧,解,L分为AO和OB两部分,第一种方法 以x为积分变量,设L由x(t) y(t)给出 L以t为起点以t 为终点 则,上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧,解,第二种方法 以y为积分变量,在L上 xy2 y从1变到1 因此,解,(1)L的参数方程为xacos yasin 从0变到 因此,(1)按逆时针方向绕行的上半圆周x2y2a2 (2)从点A(a 0)沿x轴到点B(a 0)的直线段,(2)L的方程为y0 x从a变到a 因此

4、,(1)抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (2)抛物线xy2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (3)从O(0 0)到A(1 0) 再到B(1 1)的有向折线OAB,(1)L yx2 x从0变到1 所以,解,(2)L xy2 y从0变到1 所以,(3)OA y0 x从0变到1 AB x1 y从0变到1,(1)抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (2)抛物线xy2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (3)从O(0 0)到A(1 0) 再到B(1 1)的有向折线OAB,解,011,下页,解,到点B(0 0 0)的直线段,直线段AB的方程是,化为参数方程得

5、x3t y2t zt t从1变到0 所以,提示,按逆时针方向移动到点B(0 b) F的大小与质点到原点的距离成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W,解,椭圆的参数方程为xacost ybsint t从0变到 ,质点在点M(x y)处所受到的力为,按逆时针方向移动到点B(0 b) F的大小与质点到原点的距离成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W,解,质点在点M(x y)处所受到的力为,定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有,其中L是D的取正向的边界曲线 ,格林公式,定理证明,应注意的问题: 对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区

6、域D的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向,下页,提示:,因此, 由格林公式有,下页,格林公式:,用格林公式计算二重积分,为顶点的三角形闭区域,解,因此, 由格林公式有,下页,格林公式:,用格林公式计算二重积分,为顶点的三角形闭区域,解,用格林公式求闭曲线积分,令P2xy Qx2 则,证,因此 由格林公式有,下页,格林公式:,例3 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明,提示,解,下页,不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向,当(0 0)D时,由格林公式得,记L所围成的闭区域为D,当x2y20时 有,在D内取一圆周l x2y2r2(r0),不经过原点的连续闭曲线 L的方向为

7、逆时针方向,当(0 0)D时,解,记L所围成的闭区域为D,记L及l所围成的复连通区域为D1 应用格林公式得,其中l的方向取顺时针方向,于是,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,曲线积分与路径无关,下页,设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶 连续偏导数,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,曲线积分与路径无关,这是因为 设L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线 则L1(L2-)是G内一条任意的闭曲线 而且有,下页,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,曲线积分与路径无关,定理2 (曲线积分与路径无关的判断方法),下页,定理证明,解,这里P2xy Qx2,选择从O(0 0

8、)到A(1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线,物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧,首页,一、对面积的曲面积分的概念与性质,设为一物质曲面 其面密度为r(x y z) 求其质量,物质曲面的质量问题,求质量的近似值,取极限求质量的精确值,S1 S2 Sn,(Si也代表曲面的面积),把曲面分成n个小块,下页,把任意分成n小块 S1 S2 Sn (Si也代表曲面的面积) 在Si上任意一点(i i i ),对面积的曲面积分的定义,下页,则称此极限为函数 f(x y z) 在曲面上对面积的曲面,设曲面是光滑的 函数f(x y z)在上有界,在积分中 f(x y z)叫做被积函数 叫做积

9、分曲面,如果f(x y z)在光滑曲面上连续时对面积的曲面积分是存在的 今后总假定f(x y z)在上连续,如果是分片光滑的 例如可分成两片光滑曲面1及2(记作12) 就规定,说明:,对面积的曲面积分有对弧长的曲线积类似的性质,首页,对面积的曲面积分的定义,二、对面积的曲面积分的计算法,下页,面密度为f(x y z)的物质曲面的质量为,另一方面 如果由方程zz(x y)给出 在xOy面上的投影区域为D 那么曲面的质量元素为,根据元素法 曲面的质量为,下页,化曲面积分为二重积分 设曲面的方程为zz(x y) 在xOy面上的投影区域为Dxy 函数zz(x y)在Dxy上具有连续偏导数 被积函数f(

10、x y z)在上连续 则,讨论 如果积分曲面由方程yy(z x)给出或由xx(y z)给出 那么 f(x y z)在上对面积的曲线面积分如何计算?,提示 对于 yy(z x) 有,解,下页,被平面zh(0ha)截出的顶部,Dxy x2y2a2h2,解,下页,被平面zh(0ha)截出的顶部,Dxy x2y2a2h2,因为,所以,z0及xyz1所围成的四面体的整个边界曲面,解,整个边界曲面在平面x0、y0、z0及xyz1上的部分依次记为1、2、3及4 于是,结束,二、对坐标的曲面积分的计算法,讨论 如何把其它两个对坐标的曲面积分化为二重积分？,下页,设积分曲面由方程zz(x y)给出的 在xOy面

11、上的投影区域为Dxy 函数zz(x y)在Dxy上具有一阶连续偏导数 被积函数R(x y z)在上连续 则有,其中当取上侧时 积分前取“” 当取下侧时 积分前取“”,应注意的问题:,(3)曲面S取哪一侧.,(2)向哪个坐标面投影;,(1)曲面S用什么方程表示;,(4)积分前取什么符号.,下页,方体的整个表面的外侧 (x y z)|0 xa 0yb 0zc,把的上下面分别记为1和2 前后面分别记为3和4 左右面分别记为5和6,解,除3、4外 其余四片曲面在yOz 面上的投影为零 因此,下页,方体的整个表面的外侧 (x y z)|0 xa 0yb 0zc,把的上下面分别记为1和2 前后面分别记为3

12、和4 左右面分别记为5和6,解,除3、4外 其余四片曲面在yOz 面上的投影为零 因此,a2bc,类似地可得,于是所求曲面积分为(abc)abc,外侧在x0 y0的部分,把有向曲面分成上下两部分,解,1和2在xOy面上的投影区域都是 Dxy x2y21(x0 y0),首页,一、高斯公式,定理证明,下页,定理1,设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成 函数 P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上具有一阶连续偏导数 则有,这里是的整个边界的外侧 cos、cos、cos是在点 (x y z)处的法向量的方向余弦,下页,其中为柱面x2y21及平面z0 z3所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧,这里P(yz)x Q0 Rxy,解,由高斯公式 有,Gauss公式,下页,为锥面x2y2z2介于平面z0及zh(h0)之间的部分的下侧 cos、cos、cos是上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦,设1为zh(x2y2h2)的上侧 为与1所围成的空间闭区域 则,解,Gauss公式,一、斯托克斯公式,定理,下页,设为分段光滑的空间有向闭曲线 是以为边界的分片光滑的有向曲面 的正向与的侧符合右手规则 函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在曲面(连同边界)上具有一阶连续偏导数 则有,记忆方法,下页,