2011-2018高考数学导数分类汇编(理)

1、2011-2018新课标(理科)导数压轴题分类汇编【2011新课标】21. 已知函数，曲线在点处的切线方程为。（1）求、的值；（2）如果当，且时，求的取值范围。【解析】（1）由于直线的斜率为，且过点，故 即解得，。（2）由（1）知，所以。考虑函数，则。(i)设，由知，当时，。而，故当时，可得；当x（1，+）时，h（x）0从而当x0,且x1时，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii）设0k0,故h （x）0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得 h（x）0,g(x)0;当b2时，若x满足，2 2b-2即 0xln(b

2、-1+)时g(x)0,而g（0）=0,因此当0Xln(b-1+)时，g(x)0,ln20.6928当b=+1时，ln(b-1+)=ln g(ln)=-2+(3+2)ln20 In20.693【2015新课标1】21. 已知函数f（x）= (1)当a为何值时，x轴为曲线 的切线；(2)用表示m,n中最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数【解析】（）设曲线与轴相切于点，则，即，解得. 因此，当时，轴是曲线的切线. （）当时，从而，在（1，+）无零点.当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.当时，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.()若或，则在（0,1）无零点，故在（0,

3、1）单调，而，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.()若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=. 若0，即0，在（0,1）无零点. 若=0，即，则在（0,1）有唯一零点； 若0，即，由于，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. 【2015新课标2】21. 设函数。（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m的取值范围。【解析】【2016新课标1】21. 已知函数有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设是的两个零点，证明

4、：.【解析】（I）当时，此时函数只有一个零点，不符合题意舍去；当时，由，由，所以在上递减，在上递增，又，所以函数在上只有一个零点，当时，此时，所以函数在上只有一个零点此时函数fx=x-2ex+a(x-1)2有两个零点.当时，由，由所以在和上递增，在上递减，此时函数至多一个零点，不符合题意，舍去；当时，恒成立，此时函数至多一个零点，不符合题意，舍去当时，由，由所以在和上递增，在上递减，因为在上递减，所以此时函数至多一个零点，不符合题意，舍去.综上可知.(II)由(I)若是f(x)的两个零点，则，不妨令，则要证x1，只要证，当时，在上递减，且，所以，只要证，又令 ，在上递减，当时，即成立， 成立.

5、【2016新课标2】(1)讨论函数的单调性，并证明当时， (2)证明：当 时，函数 有最小值.设的最小值为，求函数的值域.【解析】 当时， 在上单调递增时， 由(1)知，当时，的值域为，只有一解使得，当时，单调减；当时，单调增记，在时，单调递增【2016新课标3】21. 设函数f (x)acos2x(a1)(cosx1)，其中a0，记|f (x)|的最大值为A，(1)求f (x)；(2)求A；(3)证明|f (x)|2A【解析】(1) f (x)2sin2x(1)sinx (2) 当1时， |f (x)|sin2x(1)(cosx1)| 2(1)32f (0)因此A32当0，1时，将f (x)

6、变形为f (x)2cos2x(1)cosx1令g(t)2 t2(1)t1则A是|g(t)|在1，1上的最大值，g(1)， g(1)3 2且当t时，g(t)取得极小值，极小值为g()1令11，解得(舍去），(i)当0时，g(t)在(1，1)内无极值点，|g(1)|，|g(1)23， |g(1)|g(1)|A23(ii)当1时，由g(1)g(1)2(1)0知，g(1)g(1)g()，又|g(1)|0A综上，A9分(3)由(1)得|f (x)|2sin2x(1)sinx|2|1|当0时|f (x)|1242(23)2A当1时，A1，|f (x)|12A当1时|f (x)|3 16 42A，|f (x

7、)|2A【2017新课标1】21. 已知函数。（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围。【解析】（1）的定义域为，（）若，则，所以在单调递减.（）若，则由得.当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增.（2）（）若，由（1）知，至多有一个零点.（）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.当时，由于，故只有一个零点；当时，由于，即，故没有零点；当时，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为。【2017新课标2】21. 已知函数且。（1）求a；（2）证明：存在唯一的极大值点，且。【解析】（1）因为f（x）=ax2axxlnx=x（axal

8、nx）（x0），则f（x）0等价于h（x）=axalnx0，因为h（x）=a，且当0x时h（x）0、当x时h（x）0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=aaln1=0，所以=1，解得a=1；（2）证明：由（1）可知f（x）=x2xxlnx，f（x）=2x2lnx，令f（x）=0，可得2x2lnx=0，记t（x）=2x2lnx，则t（x）=2，令t（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln210，从而t（x）=0有解，即f(x)=0存在两根x0，x2，且不妨设f(x)在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、

9、在（x2，+）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x02lnx0=0，所以f（x0）=x0x0lnx0=x0+2x02=x0，由x0可知f（x0）（x0）max=+=；由f（）0可知x0，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2f（x0）22【2017新课标3】21. 已知函数（1）若，求的值；（2）设为整数，且对于任意正整数，求的最小值。【解析】（1） ，则，且当时，在上单调增，所以时，不满足题意；当时，当时，则在上单调递减；当时，则在上单调递增。若，在上单调递增当时矛盾若，在上单调递减

10、当时矛盾若，在上单调递减，在上单调递增满足题意综上所述。（2） 当时即，则有当且仅当时等号成立，一方面：，即。另一方面：当时，的最小值为。【2018新课标1】21. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：【解析】（1）的定义域为，（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减（ii）若，令得，或当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则由于，所以等价于设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，所以，即【2018新课标2】21. 已知函数。（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求。【解析】（1）当时，等价于设函数，则当时，所以在单调递减而，故当时，即（2）设函数在只有一个零点当且仅当在只有一个零点（i）当时，没有零点；（ii）当时，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增故是在的最小值若，即，在没有零点；若，即，在只有一个零点；若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，所以故在有一个零点，因此在有两个零点综上，在只有一个零点时，【2018新课标3】21. 已知函数（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求【解析】（1）当时，设函数，则当时，；当时，故当时