高中数学第二章 基本初等函数（I）2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质课件.pptx

1、2.2.2对数函数及其性质 第1课时对数函数的图象及性质,【知识提炼】 1.对数函数的概念 函数y=_(a0,且a1)叫做对数函数,其中_是自变量,函数的 定义域是_.,logax,x,(0,+),2.对数函数的图象及性质,(0,+),(1,0),1,0,减函数,增函数,3.反函数 指数函数_和对数函数y=logax(a0且a1)互为反函数.,y=ax,【即时小测】 1.判断. (1)y=log2x2与y=logx3都不是对数函数.() (2)对数函数的图象一定在y轴右侧.() (3)当01,则y=logax的函数值都大于零.() (4)函数y=log2x与y=x2互为反函数.(),【解析】(

2、1)正确.根据对数函数的定义,只有符合y=logax(a0且a1)的形式的函数才是对数函数. (2)正确.通过a1和01时,y=logax的函数值小于零. (4)错误.函数y=log2x的反函数为y=2x. 答案:(1)(2)(3)(4),2.下列函数是对数函数的是() A.y=logx2 B.y=log3x C.y=2log3x D.y=log3x+1 【解析】选B.由对数函数的定义知y=log3x是对数函数,而A项中未知数在底数上,C项中系数不为1,D项中多了加1这一项,故只有B符合.,3.若函数y=(a2-3a+3)logax是对数函数,则a的值为() A.1或2 B.2 C.-1或-2

3、 D.1 【解析】选B.因为y=(a2-3a+3)logax是对数函数, 所以a2-3a+3=1,a0且a1.解得a=2.,4.对数函数f(x)=logax的图象过点(3,1),则f(9)的值为() A.-2 B. C.2 D.- 【解析】选C.因为函数f(x)=logax的图象过点(3,1), 则loga3=1,解得a=3. 故f(9)=log39=log332=2.,5.若对数函数f(x)=log(2a-1)x是(0,+)上的减函数,则a的取值范围是() A.- a1 B.-1a C.1a2 D. a1 【解析】选D.因为对数函数f(x)=log(2a-1)x是(0,+)上的减函数, 所以

4、02a-11,解得 a1.,【知识探究】 知识点1对数函数的概念 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:对数函数与指数函数的解析式在形式上有怎样的联系? 问题2:对数函数的定义中为什么要求a0,且a1?,【总结提升】 1.对对数函数概念的两点说明 (1)对数函数的概念与指数函数类似,都是形式化定义,如y=2log2x,y=log2 都不是对数函数,可称其为对数型函数. (2)由指数式与对数式的关系知:对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y,所以对数函数的定义域为(0,+).,2.对数函数的定义中要求a0,且a1的原因 根据对数式与指数式的关系知,y=logax可化为ay=x,联想指数函

5、数中底数的范围可知a0且a1. 3.对数函数的解析式具有的三个特征 (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x.,知识点2对数函数的图象及性质 观察图形,回答下列问题: 问题1:对数函数的图象恒过哪一个定点? 问题2:底数的大小对对数函数的图象有怎样的影响?,【总结提升】 1.对数函数图象和性质的关系,2.底数对对数函数图象的影响以及图象的特点 (1)对图象的影响:比较图象与y=1的交点,此时y=1与对数函数图象交点的坐标为(a,1).交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大,即沿着直线y=1由左向右看,底数a增大(如图):,(2)图象的特点:函数y

6、=logax(a0且a1)的图象无限靠近y轴,但 永远不会与y轴相交;在同一坐标系内,y=logax(a0且a1)的图象 与y=log x(a0且a1)的图象关于x轴(即直线y=0)对称.,【拓展延伸】对数函数单调性的记忆口诀 对数增减有思路,函数图象看底数; 底数要求大于0,但等于1却不行; 底数若是大于1,图象从左往右增; 底数0到1之间,图象从左往右减; 无论函数增和减,图象都过(1,0)点.,【题型探究】 类型一对数函数概念的应用 【典例】1.下列给出的函数:y=log5x+1; y=logax2(a0,且a1);y= y= log3x;y=logx (x0,且x1). y=log x

7、.其中是对数函数的为() A. B. C. D.,2.(2015晋城高一检测)对数函数的图象过点(16,2),则对数函数的解析式为. 3.若函数y=log(2a-1)x+(a2-5a+4)是对数函数,则a=.,【解题探究】1.典例1中应从哪几个方面看一个函数是否是对数函数? 提示:应从三个方面,一看系数;二看底数;三看真数. 2.典例2中对数函数应设为怎样的形式? 提示:应设为y=logax(a0,且a1)的形式. 3.典例3中的a2-5a+4应满足怎样的条件? 提示:a2-5a+4=0.,【解析】1.选D.中对数式后面加1,所以不是对数函数;中真数不是自变量x,所以不是对数函数;和符合对数函

8、数概念的三个特征,是对数函数;中log3x前的系数不是1,所以不是对数函数;中底数是自变量x,而非常数a,所以不是对数函数.故正确. 2.设对数函数的解析式为y=logax(a0,且a1), 由已知可得loga16=2,即a2=16, 解得a=4,故函数解析式为y=log4x. 答案:y=log4x,3.由题意可得, 解得a=4. 答案:4,【方法技巧】判断一个函数是对数函数的方法,【变式训练】已知下列函数. (1)y=log (-x)(x 1). (3)y=lnx(x0). (4)y= (x0,a为常数). 其中是对数函数的是(只填序号).,【解析】对于(1),真数是-x,故(1)不是对数函

9、数;对于(2), 2log4(x-1)的系数为2,而不是1,且真数是x-1,不是x,故(2)不是对 数函数;对于(3),lnx系数为1,真数是x,故(3)是对数函数;对于(4), 底数a2+a= 当a=- 时,底数小于0,故(4)不是对数函数. 答案:(3),类型二求对数型函数的定义域、函数值问题 【典例】1.已知函数f(x)=log5(x+1),若f(a)=1,则a=() A.3 B.4 C.5 D.6 2.(2015邢台高一检测)函数f(x)=log(x-1) 的定义域为.,【解题探究】1.典例1中把a代入函数式中会得到什么结果? 提示:会得到f(a)=log5(a+1)=1,解此等式可求

10、得a的值. 2.典例2中不仅要考虑2x+10,要使函数有意义,对于底数应有什么限定条件? 提示:对于底数x-10且x-11.,【解析】1.选B.由f(a)=log5(a+1)=1可得a+1=5,所以a=4. 2.要使函数有意义,必须 解得x1且x2. 所以函数的定义域为(1,2)(2,+). 答案:(1,2)(2,+),【延伸探究】 1.(变换条件,改变问法)本例2函数式不变,若f(a)=1,则a=. 【解析】若f(a)=1,即f(a)=log(a-1) =1, 答案:4,2.(变换条件)若将本例2的函数“f(x)=log(x-1) ”变为 “f(x)=log (x+1)”，其定义域又如何求解

11、呢？ 【解析】要使函数有意义，必须 解得x 且x1. 所以函数的定义域为( ,1)(1,+).,【方法技巧】求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时,被开方数非负. (3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.,【补偿训练】函数f(x)=log(x+2)(4-x)的定义域为. 【解析】要使函数有意义,必须 解得-2x4且x-1. 故函数的定义域为(-2,-1)(-1,4). 答案:(-2,-1)(-1,4),【延伸探究】 1.本题函数式不变,若f(a)=2,则a=. 【解析】若f(a)=2,即f(a)=log(a+2)(4-a)=2, 答案:0,2

12、.若将本题的函数“f(x)=log(x+2)(4-x)”改为“f(x)= log(4-x)(x+2)”,其定义域又如何求解? 【解析】要使函数有意义, 解得-2x4且x3, 故函数的定义域为(-2,3)(3,4).,类型三对数函数的图象问题 【典例】1.已知lga+lgb=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是(),2.(2015大连高一检测)函数y=loga(x+1)-2(a0,且a1)的图象恒过点. 3.(2015无锡高一检测)如图所示的曲线是对数函数y=logax, y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系为.,【解题

13、探究】1.典例1中由lga+lgb=0会得到a与b怎样的关系式,需要对a的范围进行分情况讨论吗? 提示:由lga+lgb=0可得lg(ab)=0,则ab=1,即a= ,需要对a的范围进行讨论. 2.典例2中函数恒过定点,此时应使真数x+1等于何值? 提示:依据loga1=0,此时应使x+1=1.,3.典例3中由对数函数的图象,怎样判断相应底数的大小? 提示:作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个函数的底数,在第一象限内,自左向右,底数逐渐变大.,【解析】1.选B.由lga+lgb=0,得lg(ab)=0, 所以ab=1,故a= ,所以当01; 当b1时,01的情况.,2.因为函数y=

14、logax(a0,且a1)的图象恒过点(1,0), 则令x+1=1得x=0,此时y=loga(x+1)-2=-2, 所以函数y=loga(x+1)-2(a0,且a1)的图象恒过点(0,-2). 答案:(0,-2),3.由图象可知函数y=logax,y=logbx的底数a1,b1,函数y=logcx, y=logdx的底数0a1dc. 答案:ba1dc,【方法技巧】 1.对数函数图象过定点问题 求函数y=m+logaf(x)(a0,且a1)的图象过定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m). 2.根据对数函数图象判断底数大小的方法: 作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底

15、数,依据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.,【变式训练】对a(a0,a1)取不同的值,函数y=loga 的图象恒过定点P,则P的坐标为() A.(1,0)B.(-2,0)C.(2,0)D.(-1,0) 【解题指南】函数y=loga 的图象恒过定点,则此时应使 =1,解相应的x的值即可.,【解析】选A.因为y=logax恒过定点(1,0), 由y=loga 可知,令 =1,则y=0, 解得x=1,故此函数过定点P(1,0).,【补偿训练】已知函数f(x)=ax(a0,a1)的反函数为g(x),且满足g(2)0,则函数g(x+1)的图象是下图中的(),【解析】选A.由f(x)=ax的反函数是g(x)=logax,又g(2)0, 所以0a1. 故g(x+1)=loga(x+1)是单调递减的, 并且是由函数g(x)=logax向左平移1个单位得到的.,易错案例 求与对数函数有关的函数的定义域 【典例】(2015通化高一检测)函数y= 的定义域为_.,【失误案例】,【错解分析】观察以上解答,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因是使函数有意义,不仅需log (x-1)+10,而且还需要真数x-10,忽视此条件导致