高考资料【新步步高】高考数学（理 全国甲卷）大二轮总复习与增分策略配套文档 专题二 函数与导数第3讲[原创精品]

1、第3讲导数及其应用1(2016四川)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a等于()A4 B2 C4 D2答案D解析f(x)x312x，f(x)3x212，令f(x)0，则x12，x22.当x(，2)，(2，)时，f(x)0，则f(x)单调递增；当x(2,2)时，f(x)0，则f(x)单调递减，f(x)的极小值点为a2.2(2016课标全国乙)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，则a的取值范围是()A1,1 B.C. D.答案C解析方法一(特殊值法)：不妨取a1，则f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具备在(，)

2、单调递增，排除A，B，D.故选C.方法二(综合法)：函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，f(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x0，即acos xcos2x在(，)恒成立当cos x0时，恒有0，得aR；当0cos x1时，得acos x，令tcos x，f(t)t在(0,1上为增函数，得af(1)；当1cos x0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.2f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性例2设

3、函数f(x)xekx (k0)(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围解(1)由题意可得f(x)(1kx)ekx，f(0)1，f(0)0，故曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yx.(2)由f(x)(1kx)ekx0，得x(k0)，若k0，则当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增；若k0，函数f(x)单调递增，当x时，f(x)0，则当且仅当1，即k1时，函数f(x)在区间(1,1)内单调递增；若k0或f(x)0，解得x0，即函数f(x)的单调递增区间为(，)(0，)，故选C.

4、(2)f(x)的定义域为(0，)f(x)4x.由f(x)0，得x.据题意，得解得1k0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值2设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得例3已知函数f(x)ax3ln x，其中a为常数(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围解(1)f(x)a(x0)，由题意可知，f1，解得a1.故f(x)x3ln x，f(

5、x)，根据题意由f(x)0，得x2.于是可得下表：x2(2,3)3f(x)0f(x)13ln 2f(x)minf(2)13ln 2.(2)f(x)a(x0), 由题意可得方程ax23x20有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)ax23x2，则解得0a.故a的取值范围为.思维升华(1)求函数f(x)的极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(3)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行

6、比较得到函数的最值跟踪演练3已知函数f(x)ln xaxa2x2(a0)(1)若x1是函数yf(x)的极值点，求a的值；(2)若f(x)0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围解(1)函数的定义域为(0，)，f(x).因为x1是函数yf(x)的极值点，所以f(1)1a2a20，解得a(舍去)或a1.经检验，当a1时，x1是函数yf(x)的极值点，所以a1.(2)当a0时，f(x)ln x，显然在定义域内不满足f(x)0时，令f(x)0，得x1(舍去)，x2，所以x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)极大值所以f(x)maxf()ln 1.综上可得，a的取值范围

7、是(1，).1设函数yf(x)的导函数为f(x)，若yf(x)的图象在点P(1，f(1)处的切线方程为xy20，则f(1)f(1)等于()A4 B3 C2 D1押题依据曲线的切线问题是导数几何意义的应用，是高考考查的热点，对于“过某一点的切线”问题，也是易错易混点答案A解析依题意有f(1)1,1f(1)20，即f(1)3，所以f(1)f(1)4.2已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为()A B2C2或 D2或押题依据函数的极值是单调性与最值的“桥梁”，理解极值概念是学好导数的关键极值点、极值的求法是高考的热点答案A解析由题意知f(x)3x22axb，f(1)0

8、，f(1)10，即解得或经检验满足题意，故.3已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于_押题依据函数单调性问题是导数最重要的应用，体现了“以直代曲”思想，要在审题中搞清“在(0,1)上为减函数”与“函数的减区间为(0,1)”的区别答案2解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，1，得a2.又g(x)2x，依题意g(x)0在x(1,2)上恒成立，得2x2a在x(1,2)上恒成立，有a2，a2.4已知函数f(x)x，g(x)x22ax4，若任意x10,1，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_押

9、题依据不等式恒成立或有解问题可以转化为函数的值域解决考查了转化与化归思想，是高考的一个热点答案解析由于f(x)10，因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，则要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在x1,2上单调递减，所以h(x)minh(2)，故只需a.A组专题通关1函数f(x)x2sin，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图象是()答案C解析依题意f(x)x2cos x，对f(x)求导，得f(x)xsin x，可知f(x

10、)为奇函数，由此可排除B，D；当x0时，f(x)xsin x0，由此可排除A.2曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是()Ax1 ByCxy1 Dxy1答案B解析f(x)的导数f(x)，曲线在点(1，f(1)处的切线斜率k0，切点为，曲线在点(1，f(1)处的切线方程为y.3已知a0，函数f(x)(x22ax)ex.若f(x)在1,1上是单调递减函数，则a的取值范围是()A0a B.aCa D0a答案C解析方法一当a1时，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)exex(x22)，当1x1时，x220，f(x)0，f(x)在1,1上是单调减函数，排除A，B，D，故选

11、C.方法二f(x)exx22(1a)x2a，f(x)在1,1上单调递减，f(x)0在1,1上恒成立令g(x)x22(1a)x2a，则解得a.4若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1，其导函数f(x)满足f(x)k1，则下列结论中一定错误的是()Af BfCf Df答案C解析导函数f(x)满足f(x)k1，f(x)k0，k10，0，可构造函数g(x)f(x)kx，可得g(x)0，故g(x)在R上为增函数，f(0)1，g(0)1，gg(0)，即f1，f，选项C错误，故选C.5若函数f(x)(x1)ex，则下列命题正确的是()A对任意m，都存在xR，使得f(x)，都存在xR，使得f(x)mC对任意

12、m，方程f(x)m总有两个实根答案B解析因为f(x)(x1)ex(x1)exex(x2)ex，故函数在区间(，2)，(2，)上分别为减函数与增函数，故f(x)minf(2)，故当m时，总存在x使得f(x)m.6已知P(1,1)，Q(2,4)是曲线yx2上的两点，则与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程是_答案4x4y10解析由题意知yx2的导函数为y2x，设切点M(x0，y0)，则y|2x0.直线PQ的斜率k1，又切线平行于PQ，2x01，x0，切点M.切线方程为yx，即4x4y10.7已知函数f(x)x3x，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0，f(x)为增函数又f(x)为奇函数，由f(m

13、x2)f(x)0知，f(mx2)f(x)mx2x，即mxx20.令g(m)mxx2，由m2,2知g(m)0恒成立，即解得2x0；x时，y0，故函数在上递增，在上递减，所以当x时，函数取最大值.9(2016北京)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间解(1)f(x)的定义域为R.f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.依题设，即解得a2，be.(2)由(1)知f(x)xe2xex，由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.当x(，

14、1)时，g(x)0，g(x)在区间(，1)上单调递减；当x(1，)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)，综上可知，f(x)0，x(，)故f(x)的单调递增区间为(，)10已知函数f(x)ln x，x1,3(1)求f(x)的最大值与最小值；(2)若f(x)4at对任意的x1,3，t0,2恒成立，求实数a的取值范围解(1)函数f(x)ln x，f(x)，令f(x)0，得x2或x2(舍去)x1,3，当1x2时，f(x)0；当2x0.f(x)在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，f(x)在x2处取得极小

15、值f(2)ln 2.又f(1)，f(3)ln 3，ln 31，(ln 3)ln 310，f(1)f(3)，当x1时，f(x)取得最大值为；当x2时，f(x)取得最小值为ln 2.(2)由(1)知，当x1,3时，f(x)，故对任意x1,3，f(x)对任意t0,2恒成立，即at恒成立，记g(t)at，t0,2解得a0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)答案A解析设g(x)，则g(x)的导数g(x).当x0时，总有xf(x)0时，g(x)0时，函数g(x)为减函数，又g(x)g(x)，函数g(x)为定义域

16、上的偶函数，又g(1)0，函数g(x)的大致图象如图：数形结合可得，不等式f(x)0xg(x)0或0x1或x1.故选A.12.若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为()答案C解析根据f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A、D；从适合f(x)0的点可以排除B.13已知函数f(x)(ax21)ex，aR.(1)若函数f(x)在x1时取得极值，求a的值；(2)当a0时，求函数f(x)的单调区间解(1)f(x)(ax22ax1)ex，xR，依题意得f(1)(3a1)e0，解得a.经检验符合题意(2)f(x)(ax22ax1)ex，设g(x)ax22ax1，当a0时，f(x)ex，f(x)在(，)上为单调减函数当a0时，方程g(x)ax22ax10的判别式为4a24a，令0，解得a0(舍去)或a1.()当a1时，g(x)x22x1(x1)20，即f(x)(ax22ax1)ex0，且f(x)在x1两侧同号，仅在x1时等于0，则f