高中数学2.3.12.3.2数学归纳法数学归纳法应用举例学案新人教B版选修

1、23.1数学归纳法23.2数学归纳法应用举例1了解数学归纳法的原理(重点、易混点)2掌握数学归纳法的步骤(难点)3能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(难点)基础初探教材整理数学归纳法阅读教材P69P72，完成下列问题数学归纳法的定义一个与_相关的命题，如果(1)_；(2)在假设当_时命题也成立的前提下，推出当nk1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立【答案】自然数(1)当n取第一个值n0时命题成立(2)nk(kN，且kn0)判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.

2、()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可()【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型用数学归纳法证明等式(1)用数学归纳法证明等式123(n3)(nN)时，第一步验证n1时，左边应取的项是()A1B12C123D1234(2)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)，“从k到k1”左端增乘的代数式为_. 【导学号：】【自主解答】(1)当n1时，左边应为1234，故选D.(2)令f(n)(n1)(n2)(nn)，则f(k)(k1)(k2)(kk)，f(k1)(k2)(k3

3、)(kk)(2k1)(2k2)，所以2(2k1)【答案】(1)D(2)2(2k1)数学归纳法证题的三个关键点1验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.2递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中，要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项3利用假设是核心在第二步证明nk1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk时命题成立”作为条件来导出“nk1”，在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明

4、就不是数学归纳法再练一题1下面四个判断中，正确的是()A式子1kk2kn(nN)中，当n1时，式子的值为1B式子1kk2kn1(nN)中，当n1时，式子的值为1kC式子1(nN)中，当n1时，式子的值为1D设f(n)(nN)，则f(k1)f(k)【解析】A中，n1时，式子1k；B中，n1时，式子1；C中，n1时，式子1；D中，f(k1)f(k).故正确的是C.【答案】C用数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明不等式(n2，nN)的过程中，由nk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是_(2)证明：不等式12(nN)【精彩点拨】(1)写出当nk时左边的式子，和当nk1时左边的式子，比较即可(2

5、)在由nk到nk1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度【自主解答】(1)当nk1时左边的代数式是，增加了两项与，但是少了一项，故不等式的左边增加的式子是.【答案】(2)当n1时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立假设当nk(k1且kN)时，不等式成立，即12.则当nk1时，12.假设当nk(k2且kN)时不等式成立，即，那么当nk1时，.这就是说，当nk1时，不等式也成立由可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立归纳猜想证明已知数列an的前n项和为Sn，其中an且a1.(1)求a2，a3；(2)猜想数列an的通项公式，并证明【精彩点拨】(1)令n2,3可分别求a2，a3.(2)根

6、据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想an，再用数学归纳法证明【自主解答】(1)a2，a1，则a2，类似地求得a3.(2)由a1，a2，a3，猜得：an.证明：当n1时，由(1)可知等式成立；假设当nk时猜想成立，即ak，那么，当nk1时，由题设an，得ak，ak1，所以Skk(2k1)akk(2k1)，Sk1(k1)(2k1)ak1，ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1.因此，k(2k3)ak1，所以ak1.这就证明了当nk1时命题成立由可知命题对任何nN都成立1“归纳猜想证明”的一般环节2“归纳猜想证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和(2)由一些恒等式、不等式改编

7、的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在(3)给出一些简单的命题(n1,2,3，)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题再练一题3已知函数yf(n)(nN)，设f(1)2，且任意的n1，n2N，有f(n1n2)f(n1)f(n2)(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明【解】(1)因为f(1)2，f(n1n2)f(n1)f(n2)，所以f(2)f(11)f(1)f(1)224，f(3)f(21)f(2)f(1)222238.f(4)f(31)f(3)f(1)2322416.(2)猜想：f(n)2n(nN)用数学归纳法证明如下：当

8、n1时，f(1)212，所以猜想正确假设当nk(k1，kN)时猜想正确，即f(k)2k，那么当nk1时，f(k1)f(k)f(1)2k22k1，所以，当nk1时，猜想正确由知，对任意的nN，都有f(n)2n.探究共研型用数学归纳法证明整除性问题探究1数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?【提示】不一定，如证明n边形的内角和为(n2)180时，第一个值为n03.探究2数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？【提示】第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0

9、以后的数列命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了用数学归纳法证明：n3(n1)3(n2)3能被9整除(nN)【精彩点拨】在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑【自主解答】(1)当n1时，13233336能被9整除，所以结论成立；(2)假设当nk(kN，k1)时结论成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除则当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k3(k1)3(k2)39k227k27k3(k1)3(k2)39(k23k3)因为k3(k

10、1)3(k2)3能被9整除，9(k23k3)也能被9整除，所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除，即nk1时结论也成立由(1)(2)知命题对一切nN成立与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将nk1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来.再练一题4用数学归纳法证明“n35n能被6整除”的过程中，当nk1时，对式子(k1)35(k1)应变形为_【解析】由nk成立推证nk1成立时必须用上归纳假设，(k1)35(k1)(k35k)3k(k1)6.【答案】(k35k)3k(k1)6构建体系1用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于

11、(n2)”时，归纳奠基中n0的取值应为()A1B2C3D4【解析】边数最少的凸n边形为三角形，故n03.【答案】C2用数学归纳法证明1aa2an1(nN，a1)，在验证n1成立时，左边所得的项为()A1B1aa2C1aD1aa2a3【解析】当n1时，n12，故左边所得的项为1aa2.【答案】B3用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当nk时，表达式为1427k(3k1)k(k1)2，则当nk1时，表达式为_. 【导学号：】【解析】当nk1时，应将表达式1427k(3k1)k(k1)2中的k更换为k1.【答案】1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)24以下是用数学归纳法证明“nN时，

12、2nn2”的过程，证明：(1)当n1时，2112，不等式显然成立(2)假设当nk(kN)时不等式成立，即2kk2.那么，当nk1时，2k122k2k2kk2k2k22k1(k1)2.即当nk1时不等式也成立根据(1)和(2)，可知对任何nN不等式都成立其中错误的步骤为_(填序号)【解析】在2k122k2k2kk2k2k22k1中用了k22k1，这是一个不确定的结论如k2时，k22k1.【答案】(2)5用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n21)2(n222)n(n2n2).【证明】(1)当n1时，左边1210，右边0，所以等式成立(2)假设当nk(kN)时等式成立，即(k21)2(k222)

13、k(k2k2).那么当nk1时，有(k1)212(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)2(k21)2(k222)k(k2k2)(2k1)(12k)(2k1)k(k1)k(k1)2(2k1)k(k1)(k23k2).所以当nk1时等式成立由(1)(2)知，对任意nN等式成立我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1(2016广州高二检测)用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)，第一步验证()An1Bn2Cn3Dn4【解析】由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n3是否成立【答案】C2已知f(n)，则()Af(

14、n)共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)共有n2n1项，当n2时，f(2)【解析】结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n1，n2的连续自然数共有n2n1个，且f(2).【答案】D3用数学归纳法证明123n2，则当nk1(nN)时，等式左边应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2【解析】当nk时，等式左边12k2，当nk1时，等式左边12k2(k21)(k1)2，故选D.【答案】D4设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k

15、2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k).假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_【解析】当nk1时，目标不等式为：.【答案】8用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时，由nk的假设到证明nk1时，等式左边应添加的式子是_【解析】当nk时，左边1222(k1)2k2(k1)22212.当nk1时，左边1222k2(k1)2k2(k1)22212，所以左边添加的式子为(k1)

16、2k2.【答案】(k1)2k2三、解答题9用数学归纳法证明：13(2n1)n2(nN)【证明】(1)当n1时，左边1，右边1，等式成立(2)假设当nk(k1)时，等式成立，即13(2k1)k2，那么，当nk1时，13(2k1)2(k1)1k22(k1)1k22k1(k1)2.这就是说，当nk1时等式成立根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立10用数学归纳法证明：11)【证明】(1)当n2时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当nk时，不等式成立，即1k，则当nk1时，有1kkk1，所以当nk1时不等式成立由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立能力提升1用

17、数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，第二步归纳假设应写成()A假设n2k1(kN)时正确，再推n2k3时正确B假设n2k1(kN)时正确，再推n2k1时正确C假设nk(kN)时正确，再推nk1时正确D假设nk(kN)时正确，再推nk2时正确【解析】n为正奇数，在证明时，归纳假设应写成：假设n2k1(kN)时正确，再推出n2k1时正确故选B.【答案】B2对于不等式n1(nN)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立；(2)假设当nk(kN)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，所以当nk1时，不等式成立上述证法()A过程全都正确Bn1验证不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确【解析】n1的验证及归纳假设都正确，但从nk到nk1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证题要求故选D.【答案】D3用数学归纳法证明34n252n1能被14整除的过程中，当nk1时，34(k1)252(k1)1应变形为_. 【导学号：】【解析】当nk1时，34(k1)252(k1)18134k22552k125(34k252k1)5634k2.【答案】25(34k252k1)5634k24设函数yf(x)对任意实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)2xy.(1)求f(0)