固体物理实验方法课]第1章-晶体学基础

1、2011 / 10 / 20,重 点 内 容,教学目标： 通过本章学习，了解晶体的特性，掌握表达晶体周期性结构与它的点阵的各种概念；掌握晶面指数与晶向指数的标定，晶面间距与晶面夹角的表达，理解倒易点阵，知道与晶带相关的一些概念,学习要点： （1）晶体结构周期性与点阵 （2）7个晶系和14种布拉菲格子 （3）晶胞，晶带，晶向，晶面 晶面间距，晶面夹角。 （4）倒易点阵 （5）晶带,1.1 晶体特性,（1）均匀性 （2）各向异性 （3）固定熔点 （4）规则形状 （5）对称性,均 匀 性： 晶体内部各个部分的宏观性质是相同的。 各向异性： 晶体种不同的方向上具有不同的物理性质。 固定熔点： 晶体具有

2、周期性结构，熔化时，各部分需 要同样的温度。 规则外形： 理想环境中生长的晶体应为凸多边形。 对 称 性： 晶体的理想外形和晶体内部结构都具有特 定的对称性。,1.1 晶体特性,1.1.1 晶体特性,1.2.1 结构基元与空间点阵,晶体结构的几何特征是其结构基元（原子、离子、分子或其它原子集团）一定周期性的排列。通常将结构基元看成一个相应的几何点，而不考虑实际物质内容。 这样就可以将晶体结构抽象成一组无限多个作周期性排列的几何点。这种从晶体结构抽象出来的，描述结构基元空间分布周期性的几何点，称为晶体的空间点阵。几何点为阵点。,1.2 晶体结构与空间点阵,点阵点是代表结构基元在空间重复排列方式的

3、抽象的点。如果在晶体点阵中各点阵点位置上，按同一种方式安置结构基元，就得整个晶体的结构。,晶体结构 = 点阵 + 结构基元,在晶体的点阵结构中每个阵点所代表的具体内容，包括原子或分子的种类和数量及其在空间按一定方式排列的结构，称为晶体的结构基元。结构基元是指重复周期中的具体内容。,所以可简单地将晶体结构示意表示为:,1.2 晶体结构与空间点阵,1.2.1 结构基元与空间点阵,一个结点在空间三个方向上，以a, b, c重复出现即可建立空间点阵。重复周期的矢量a, b, c称为点阵的基本矢量。 由基本矢量构成的平行六面体称为点阵的单位晶胞。,晶包大小与形状,1.2.1 基本矢量与晶包,1.2 晶体

4、结构与空间点阵,同一个点阵可以由不同的平行六面体晶胞叠成。即可以任意选择不同的坐标系与基本矢量来表示。 为了表达最简单，应该选择最理想、最适当的基本矢量作为坐标系统。即是以结点作为坐标原点，（1）选取基本矢量长度相等的数目最多、（2）其夹角为直角的数目最多，且（3）晶胞体积最小。这样的基本矢量构成的晶胞称为布拉菲（BRAVAIS）晶胞。,每一个点阵只有一个最理想的晶胞即布拉菲晶胞。,1.2.2 基本矢量与晶包,1.2 晶体结构与空间点阵,1.2 晶体结构与空间点阵,1.2.3 布拉菲点阵,布拉菲点阵也叫布拉菲格子，在晶体结构中共有14种布拉菲格子,晶体结构中的14种布拉菲点阵,按晶胞中阵点位置

5、的不同可将14种布拉菲点阵分为四类：简单(P) 体心(I) 面心(F) 底心(C),阵点坐标的表示方法： 以晶胞的任意顶点为坐标原点，以与原点相交的三个棱边为坐标轴，分别用点阵周期（a, b, c）为度量单位。,1.2 晶体结构与空间点阵,1.2.3 布拉菲点阵,简单点阵 （P）,只在晶胞的顶点上有阵点，每个晶胞只有一个阵点，阵点坐标为000,1.2 晶体结构与空间点阵,1.2.3 布拉菲点阵,体心点阵（I） 除8个顶点外，体心上还有一个阵点，因此，每个阵胞含有两个阵点，000，1/2 1/2 1/2,1.2 晶体结构与空间点阵,1.2.3 布拉菲点阵,面心点阵（F） 除8个顶点外，每个面心上

6、有一个阵点，每个阵胞上有4个阵点，其坐标分别为000，1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2,1.2 晶体结构与空间点阵,1.2.3 布拉菲点阵,底心点阵（C） 除八个顶点上有阵点外，两个相对的面心上有阵点，面心上的阵点为两个相邻的平行六面体所共有。因此，每个阵胞占有两个阵点。阵点坐标为000，1/2 1/2 0,1.2 晶体结构与空间点阵,1.2.3 布拉菲点阵,平行六面体的三个棱长a、b、c和及其夹角、，可决定平行六面体尺寸和形状，这六个量亦称为晶包参数。,按点阵参数可将晶体点阵分为七个晶系。,1.2 晶体结构与空间点阵,1.2.4 晶包参数,晶包大小和形状,七大晶

7、系及有关特征,七大晶系及有关特征,任意两结点的结点列称为晶向。与此晶向相对应，一定有一组相互平行而且具有同一重复周期的结点列(晶列簇)。,晶向的表示方法： 取其中通过原点的一根结点列，求该列最近原点的结点的指数u, v, w, 并用方括号标记u v w。,1.2 晶体结构与空间点阵,1.2.5 晶向、晶面及晶向、晶面指数,晶向指数的确定,建立坐标系，结点为原点，三棱为方向，点阵常数为单位 ； 在晶向上任两点的坐标(x1 , y1 , z1) (x2 , y2 , z2)。(若平移晶向或坐标，让在第一点在原点则下一步更简单)； 计算x2 - x1 ： y2 - y1 ： z2 - z1 ； 化成

8、最小、整数比 u：v：w ； 放在方括号u v w中，不加逗号，负号记在上方 。,1.2 晶体结构与空间点阵,1.2.5 晶向、晶面及晶向、晶面指数,在点阵中由结点构成的平面称为晶面。 空间点阵划分为平面点阵的方式是多种多样的。 不同的划法划出的晶面（点阵面）的阵点密度是不相同的. 意味着不同面上的作用力不相同。 所以给不同面以相应的指标( H K L)。,1.2 晶体结构与空间点阵,1.2.6 晶向及晶面指数,标定方法：国际上通用的是密勒（Miller）指数 (1)在一组相互平行的晶面中任选一个晶面，量 出它在三个坐标轴上 的截距，并用点阵周期a， b，c来度量。假设截距为r，s，t。 (2

9、)取截距的倒数 1/r，1/s，1/t。 (3)将这些倒数乘以分母的最小公倍数，把他们化为三个简单整数H，K，L， ，并用圆括号括起来。使HKL= 1/r1/s1/t，(H K L)就是待标晶面的晶面指数。,1.2 晶体结构与空间点阵,1.2.6 晶向及晶面指数,我们说（5 5 3）晶面，实际是指一组平行的晶面。,举例,（1）截距r、s、t分别为3，3，5,（2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5,（3）最小公倍数15,（4）于是，1/r，1/s，1/t分别乘 15得到5，5，3,因此，晶面指标为（5 5 3）。,1.2 晶体结构与空间点阵,1.2.6 晶向及晶

10、面指数,1，所有相互平行的晶面，其晶面指数相同，或者三个符号均相反, 可见，晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而且代表着一组相 互平的晶面。 2，晶面指数中H、K、L是互质的整数。 3，最靠近原点的晶面与X、Y、Z坐标轴的截距为 a/H、b/K、c/L。,晶面指数特征：,即与原点位置无关；每一指数对应一组平行的晶面。,1.2 晶体结构与空间点阵,1.2.6 晶向及晶面指数,立方晶系几组晶面及其晶面指标 （100）晶面表示晶面与a 轴相截与b 轴,c 轴平行； （110）晶面表示与a 和b 轴相截，与c 轴平行； （111）晶面则与a、b、c 轴相截，截距之比为1:1:1,1.2 晶体结构与空间点

11、阵,1.2.6 晶向及晶面指数,在同一晶体点阵中，有若 干组晶面是可以通过一定的 对称变化重复出现的等同晶面，它们的面间距与晶面上结点分布完全相同。这些空间位向性质完全相同的晶面的集合，称为晶面簇,1.2 晶体结构与空间点阵,1.2.7 晶面簇,表示方法：用(H K L)表示。,例如：立方晶系中100晶面族包括六个晶面 （100）、（010）、（001）、（-100）、（0-10）、（00-1） 注意，在其他晶系中，通过数字位置互换而得到的晶面不一定属于同一晶面族，例如，正方晶系中a=bc，因此，（100）晶面族分为两组，一个包含（100）（010）（-100）（0-10）晶面；另一个包含（0

12、01）（00-1）两个晶面。,1.2 晶体结构与空间点阵,1.2.7 晶面簇,倒易点阵是在晶体点阵的基础上按一定对应关系建立起来的空间几何图形，是晶体点阵的另一种表达形式。为了区别有时把晶体点阵空间称为正空间。倒易空间中的结点称为倒易点。,1.3 倒易点阵,1.3.1 倒易点阵的概念、表达形式,其中，a 、b、 c；、 为正点阵参数,1.3 倒易点阵,1.3.2 倒易矢量的定义式,因此，倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵中异名矢量构成的平面。a*垂直于b与c两个矢量构成的平面。同样b*（或c*）垂直于a与c（a与b）两个矢量构成的平面。,如果*=*=*=90o，,或者，a*垂直（100）晶面； b

13、*垂直（010）晶面； c*垂直（001）晶面。,（1）,（2）,1.3 倒易点阵,1.3.3 倒易点阵参数的大小和方向,倒易点阵是晶体结构周期性在傅立叶空间中的数学抽象。如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换，反之晶体点阵就是倒易点阵的傅立叶逆变换。 所以，倒易点阵只是晶体点阵在不同空间(波矢空间)的反映。,倒易点阵的本质,1.3 倒易点阵,1.3.3 倒易点阵参数的大小和方向,1、定义： 从倒易点阵原点向任一倒易阵点所连接的矢量叫倒易矢量，表示为： r* = Ha* + Kb* + Lc*,倒易阵点用它所代表的晶面指数标定。,1.3 倒易点阵,1.3.4 倒易

14、矢量,立方正空间点阵的倒易变换,倒易矢量的两个基本性质,（1）倒易矢量的方向垂直于正点阵中的（H K L）晶面。,（2）倒易矢量的长度等于（H K L）晶面的晶面间距dHKL的倒数。,如果正点阵与倒易点阵具有同一坐标原点，则正点阵中的一个晶面在倒易点阵中就变成了一个阵点（倒易点）。正点阵中晶面取向和面间距只须倒易矢量一个参量就能表示。,从倒易矢量的定义,OM垂直于晶面，交点为M，于是有：,证明2：倒易矢量的长度等于（H K L）晶面的晶面间距dHKL的倒数。,因为性质一成立，则有倒易矢量垂直于ABC面，即倒易矢量在OM方向上， 这样可以通过有倒易矢量给出单位矢量。,（1）晶面间距计算公式 （2

15、）晶面夹角计算公式,1.3 倒易点阵,1.3.5 晶面间距和晶面夹角的计算,晶面间距计算公式：,已知r* = Ha* + Kb* + Lc*，则 :,立方晶系,晶面夹角计算公式,已知 r1* = H1a* + K1b* + L1 c* r2* = H2a* + K2b* + L2 c* 则,晶面夹角可以用晶面法线间的夹角来表示。 因此，两个晶面（h1klll）（h2k2l2）间的夹角可以用它们所对应的倒易矢量r1* 与r2*间的夹角来表示。,对于立方体系：,同样需要三个基本矢量之间的夹角,晶面指标越高, 面间距越小, 晶面上粒子的密度（或阵点的密度）也越小。只有（H*K*L*）小, dH*K*

16、L*大, 即阵点密度大的晶面（粒子间距离近, 作用能大, 稳定）才能被保留下来.,1.3 倒易点阵,1.3.5 晶面间距和晶面夹角的计算,什么是晶带 晶带定律 晶带定律的应用,1.4 晶带,在晶体结构和空间点阵中，与某一取向平行的所有晶面均属于同一个晶带。 同一晶带中所有晶面的交线互相平行，其中通过坐标原点的那条直线称为晶带轴 晶带轴的晶向指数即为该晶带的指数,1.4 晶带,1.4.1 晶带的定义,1，在晶体结构或空间点阵中， 与某一 取向平行的所有晶面均属于同一个晶带。 2，同一晶带中所有晶面的交线互相平行，其中通过坐标原点的那条直线称为晶带轴。 3，晶带轴的晶向指数即为该晶带的指数。,1.

17、4 晶带,1.4.1 晶带的定义,根据晶带的定义，同一晶面中所有晶向的法线都与晶带轴垂直。我们可以将晶带轴用正点阵矢量来表示。晶面的法向用倒易矢量表示。即：,可得：Hu + Kv + Lw = 0 也就是说，凡是属于 u v w 晶带的晶面，它们的晶面指数（H K L）都必须符合上述的条件。这就是晶带定律,1.4 晶带,1.4.2 晶带定律,在实际晶体中，立方晶系最为普遍，因此晶带定理有非常广的应用。 （1）可以判断空间两个晶向或两个晶面是否相互垂直； （2）可以判断某一晶向是否在某一晶面上（或平行于该晶面）； （3）若已知晶带轴，可以判断哪些晶面属于该晶带； （4）若已知两个晶带面为（H1

18、K1 L1)和(H2 K2 L2),则可用晶带定律求出晶带轴；,1.4 晶带,1.4.3 晶带定律的应用,（5）已知两个不平行的晶向，可以求出过这两个晶向的晶面； （6）已知一个晶面及其面上的任一晶向，可求出在该面上与该晶向垂直的另一晶向； （7）已知一晶面及其在面上的任一晶向，可求出过该晶向且垂直于该晶面的另一晶面。,1.4 晶带,1.4.3 晶带定律的应用,晶体点阵中二维阵点晶面在倒易点阵中对应一个点-倒易点。 晶面间距和取向两个参量在倒易点阵中只用一个倒易矢量就能表达。 我们所观察到的衍射花样（或者衍射图谱）实际上是满足衍射条件的倒易阵点的投影。,后 绪,The End！,Thank Y

19、ou！,课 后 作 业,1、晶体结构中共有_个晶系, _种布拉菲点阵。 2、按晶胞中阵点位置的不同可将14种布拉菲点阵分为四类：_、_、_、_。 3、倒易矢量的定义表达式 _。 4、晶体具有哪些特性，具体内容是什么？ 5、简述倒易矢量的两个基本性质。 6、倒易空间和正空间有什么样的对应关系？倒矢量的本质是什么？ 7、试推导立方晶系的晶面间距和晶面夹角普适公式。 8、晶带的定义，并简述晶带定律。 （以上答案见课件原文）,答案附后,均 匀 性： 晶体内部各个部分的宏观性质是相同的。 各向异性： 晶体种不同的方向上具有不同的物理性质。 固定熔点： 晶体具有周期性结构，熔化时，各部分需 要同样的温度。

20、 规则外形： 理想环境中生长的晶体应为凸多边形。 对 称 性： 晶体的理想外形和晶体内部结构都具有特 定的对称性。,2.1 晶体特性,2.1.1 晶体特性,2.2 晶体结构与空间点阵,2.2.3 布拉菲点阵,布拉菲点阵也叫布拉菲格子，在晶体结构中共有14种布拉菲格子,晶体结构中的14种布拉菲点阵,按晶胞中阵点位置的不同可将14种布拉菲点阵分为四类：简单(P) 体心(I) 面心(F) 底心(C),阵点坐标的表示方法： 以晶胞的任意顶点为坐标原点，以与原点相交的三个棱边为坐标轴，分别用点阵周期（a, b, c）为度量单位。,2.2 晶体结构与空间点阵,2.2.3 布拉菲点阵,其中，a 、b、 c；

21、、 为正点阵参数,2.3 倒易点阵,2.3.2 倒易矢量的定义式,倒易点阵是晶体结构周期性在傅立叶空间中的数学抽象。如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换，反之晶体点阵就是倒易点阵的傅立叶逆变换。 所以，倒易点阵只是晶体点阵在不同空间(波矢空间)的反映。,倒易点阵的本质,2.3 倒易点阵,2.3.3 倒易点阵参数的大小和方向,1、定义： 从倒易点阵原点向任一倒易阵点所连接的矢量叫倒易矢量，表示为： r* = Ha* + Kb* + Lc*,倒易阵点用它所代表的晶面指数标定。,2.3 倒易点阵,2.3.4 倒易矢量,倒易矢量的两个基本性质,（1）倒易矢量的方向垂直于正点阵中的（H K L）晶面。,（2）倒易矢量