一轮复习配套讲义：第2篇 第13讲 定积分与微积分基本定理

1、第13讲定积分与微积分基本定理最新考纲1了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2了解微积分基本定理的含义.知 识 梳 理1定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点i(i1,2，n)，作和式(i)xf(i)，当n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dxf(i)(2)定积分的几何意义当f(x)0时，定积分f(x)dx表示由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(图1)当f(x)在区间a

2、，b上有正有负时，如图2所示，则定积分f(x)dx表示介于x轴曲线yf(x)以及直线xa，xb(ab)之间各部分曲边梯形面积的代数和，即f(x)dxA1A3A2.2定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)3微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间a，b上的连续函数，且F(x)f(x)那么f(x)dxF(b)F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式辨 析 感 悟1关于定积分概念的理解(1)定积分概念中对区间a，b的分割具有任意性()(2)当n

3、时，和式(i)xf(i)无限趋近于某一确定的常数()(3)设函数yf(x)在区间a，b上连续，则f(x)dxf(t)dt.()2定积分的几何意义与物理意义(4)在区间a，b上的连续的曲线yf(x)和直线xa，xb(ab)，y0所围成的曲边梯形的面积S|f(x)|dx.()(5)若f(x)dx0)所围成的曲边图形的面积为，则k_.审题路线(1)先求二次函数f(x)的解析式，再利用定积分的几何意义求面积(2)先求交点坐标，确定积分区间，再利用定积分的几何意义求面积解析(1)设f(x)a(x1)(x1)(a0)所围成的曲边梯形的面积为(kxx2)dxk3，即k38，k2.答案(1)B(2)2规律方法

4、 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正【训练2】 (1)设a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.(2)曲线y，y2x，yx所围成图形的面积为_解析(1)Sdx a2，a.(2)由得交点A(1,1)；由得交点B(3，1)故所求面积Sdxdx .答案(1)(2)考点三定积分在物理中的应用

5、【例3】 (2013湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825ln C425ln 5 D450ln 2解析令v(t)0，得t4或t(舍去)，汽车行驶距离sdt7tt225ln(1t)282425ln 5425ln 5.答案C学生用书第47页规律方法 (1)利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式(2)定积分在物理方面的应用中要注意各种具体问题中

6、含有的物理意义防止实际问题的物理意义不明确，导致把物理问题转化为定积分时出现错误【训练3】 设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为_J(x的单位：m，力的单位：N)解析由题意知变力F(x)对质点M所做的功为342.答案342 1求定积分常用的方法(1)利用微积分基本定理(2)运用定积分的几何意义(曲边梯形面积易求时)转化为求曲边梯形的面积2定积分计算应注意的问题+(1)利用微积分基本定理，关键是准确求出被积函数的原函数，熟练掌握导数公式及求导法则，求导与积分互为逆运算(2)定积分式子中隐含的条件是

7、积分上限不小于积分下限(3)面积非负，而定积分的结果可以为负利用定积分求平面图形的面积时一定要准确转化，当图形的边界不同时，一定注意分情况讨论易错辨析4对定积分的几何意义理解不到位致误【典例】 (2011课标全国卷)由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A. B4 C. D6错解由得y与直线yx2的交点为(4,2)，于是，围成图形的面积是S(x2)dx(x2)dx2.答案A错因(1)不理解定积分的几何意义，导致不能将封闭图形的面积正确地用定积分表示(2)求错原函数，导致计算错误正解作出曲线y，直线yx2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积由得交点A(4,2)因此y与yx2及

8、y轴所围成的图形的面积为(x2)dx(x2)dx 81624.答案C防范措施(1)准确画出图形是正确用定积分表示面积的前提(2)利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数【自主体验】曲线y与直线yx，x2所围成的图形的面积为_解析作出曲线y，直线yx和x2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积由得交点(1,1)因此y与yx及x2所围成的图形的面积为Sxdxdxx2ln x(ln 2ln 1)ln 2.答案ln 2基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(ex2x)dx等于()A1 Be1

9、 Ce De1解析(ex2x)dx(exx2)(e112)(e002)e.答案C2(2014济南质检)由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A. B1 C. D.解析由题意知S.答案D3(2014广州模拟)设f(x)sin tdt，则f的值等于()A1 B1 Ccos 1 D1cos 1解析f1，ff(1)sin tdt(cos t)1cos 1.答案D4.如图所示，曲线yx2和直线x0，x1及y，所围成的图形(阴影部分)的面积为()A. B.C. D.解析由x2，得x或x(舍)，则阴影部分的面积为S.答案D5一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的

10、方向运动了4米，力F(x)做功为()A44 J B46 J C48 J D50 J解析力F(x)所做的功为10dx(3x4)dx202646(J)答案B二、填空题6已知2(kx1)dx4，则实数k的取值范围是_解析(kx1)dxk1，2k14，k2.答案7.如图所示，是一个质点做直线运动的vt图象，则质点在前6 s内的位移为_ m.解析由题图易知v(t)sv(t)dtt dtdtt2639.答案98(2013江西卷改编)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为_解析S1x2dxx3，S2dxln 2，S3exdxe2e，e2ee(e1)eln 2，S2S1S3.答

11、案S2S1S3三、解答题9已知f(x)在R上可导，f(x)x22f(2)x3，试求f(x)dx的值解f(x)x22f(2)x3，f(x)2x2f(2)，f(2)42f(2)，f(2)4，f(x)x28x3.f(x)dx18.10求曲线yx2，直线yx，y3x围成的图形的面积解作出曲线yx2，直线yx，y3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组得交点(1,1)，解方程组得交点(3,9)，因此，所求图形的面积为S(3xx)dx(3xx2)dx2xdx(3xx2)dxx21.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1若dx3ln 2(a1)，则a的值是 ()A2 B3 C4 D6解析dx

12、(x2ln x)a2ln a1，a2ln a13ln 2，则a2.答案A2(2014郑州调研)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线yx2和曲线y围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是()A. B. C. D.解析依题意知，题中的正方形区域的面积为121，阴影区域的面积等于(x2)dx，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于.答案D二、填空题3(2014广州调研)若f(x)则f(2 014)_.解析当x0时，f(x)f(x4)，则f(x4)f(x)，f(2 014)f(2)f(2)，又，f

13、(2 014)f(2)22.答案三、解答题4.如图所示，过点A(6,4)作曲线f(x)的切线l.(1)求切线l的方程；(2)求切线l，x轴及曲线f(x)所围成的封闭图形的面积S.解(1)由f(x)，f(x).又点A(6,4)为切点，f(6)，因此切线方程为y4(x6)，即x2y20.(2)令f(x)0，则x2，即点C(2,0)在x2y20中，令y0，则x2，点B(2,0)故S2dxdx能力提升练导数及其应用 (建议用时：90分钟)一、选择题1(2014襄阳调研)曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A30 B45 C60 D120解析由y3x22得y|x11，即曲线在点(1,3)

14、处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45.答案B2函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)解析设g(x)f(x)2x4，由已知g(x)f(x)20，则g(x)在(，)上递增，又g(1)f(1)20，由g(x)f(x)2x40，知x1.答案B3定积分(ex2x)dx的值为()A1 Be1 Ce De1解析(ex2x)dx(exx2)e.答案C4已知函数f(x)2ln xxf(1)，则曲线yf(x)在x1处的切线方程是 ()Axy20 Bxy20Cxy20 Dxy20解析易知f(x)f(1)，令x1，得f

15、(1)2f(1)，f(1)1，因此f(x)2ln xx，f(1)1，所求的切线方程为y11(x1)，即xy20.答案D5(2014济南质检)若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9解析f(x)12x22ax2b，4a296b0，又x1是极值点，f(1)122a2b0，即ab6，且a0，b0，ab9，当且仅当ab时“”成立，所以ab的最大值为9.答案D6(2014青岛模拟)幂指函数yf(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln yg(x)ln f(x)，两边求导数得g(x)ln f(x)g(x)，于是

16、yf(x)g(x).运用此法可以探求得知的一个单调递增区间为 ()A(0，e) B(2,3) C(e,4) D(3,8)解析将函数两边求对数得ln yln x，两边求导数得ln x(1ln x)，所以yy(1ln x)令y0，即1ln x0，0xe.答案A7设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象是()解析设h(x)f(x)ex，则h(x)(2axb)ex(ax2bxc)ex(ax22axbxbc)ex.由x1为函数f(x)ex的一个极值点ca0，ca.f(x)ax2bxa.若方程ax2bxa0有两根x1，x2，则x1x

17、21，D中图象一定不满足条件答案D8物体A以v3t21(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A3 B4 C5 D6解析因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t21)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10t dt，所以(3t2110t)dt(t3t5t2)t3t5t2，t3t5t25，(t5)(t21)0，即t5.答案C9(2014广州模拟)已知e是自然对数的底数，函数f(x)exx2的零点为a，函数g(x)ln xx2的零点为b，则下列不等式中成立的是()Af(a)f

18、(1)f(b) Bf(a)f(b)f(1)Cf(1)f(a)f(b) Df(b)f(1)0，知f(x)在R上是增函数，f(0)120.函数f(x)的零点a(0,1)由g(x)10(x0)，得g(x)在(0，)上单调递增又g(1)ln 1120，函数g(x)的零点b(1,2)，从而0a1b2，故f(a)f(1)0时，f(x)()A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值解析由条件，得f(x).令g(x)ex2x2f(x)，则g(x)ex2x2f(x)4xf(x)ex2(x2f(x)2xf(x)exex，令g(x)0，得x2.当x2时，g(x)0；当0

19、x2时，g(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，无极大(小)值答案D二、填空题11若曲线f(x)ax2ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析依题意得，f(x)2ax0(x0)有实根，所以a0.答案(，0)12若曲线y2xx3在横坐标为1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为_解析由题意得切点坐标为(1，1)，切线斜率为ky|x123x2|x123(1)21.故切线l的方程为y(1)x(1)，整理得xy20.点P(3,2)到直线l的距离为.答案13不等式x22x0表示的平面区域与抛物线y24x围成的封闭区域的面积为_解析由x22x0，得0x2，又y24x，得y2，

20、所求面积S22dx.答案 14设函数f(x)，g(x)，对任意x1，x2(0，)，不等式恒成立，则正数k的取值范围是_解析因为对任意x1，x2(0，)，不等式恒成立，所以.因为g(x)xe2x，所以g(x)(xe2x)e2xxe2x(1)e2x(1x)当0x0；当x1时，g(x)0)当且仅当e2x，即x时取等号，故f(x)min2e.所以，应有，又k0，所以k1.答案1，)三、解答题15(2013新课标全国卷)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值解(1)f(x)ex(

21、axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4.故b4，ab8.从而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2).令f(x)0，得xln 2或2.从而当x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0)(1)求f(x)在0，)内的最小值；(2)设曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为yx，求a，b的值解(1)f(x)aex，令f(x)0，得xln a，令f(x)0，得xln a.所以f(x)在(ln a，)上递增，f(x)在(，ln a)上递减当0a0，f(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，)上递增，从而f(x)在0，)上的最小值为f(ln a)2b.当a1时，ln a0，f(x)在0，)上递增，从而f(x)在0，)上的最小值为f(0)ab.(2)依题意f(2)3，f(2)ae2，解得ae22或(舍去)，因此a.代入f(2)3，得2b3，即b.故a，且b.