高二数学上学期 第一章《常用逻辑用语 推出与充分条件、必要条件》学案

1、山东省临朐县实验中学高二数学上学期 第一章常用逻辑用语 推出与充分条件、必要条件学案推出与充分条件、必要条件【学习目标】使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用在师生、学生间的交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础【学习重点】充分不必要条件、必要不充分条件的概念；【学习难点】判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件；【学习过程】一、创设情境当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的

2、她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题充分条件与必要条件.二、活动尝试问题1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？（1）若xy，则x2y2（2）若ab = 0，则a = 0（3）若x21，则x1（4）若x1或x2，则x23x20推断符号“”的含义“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作pq. 简单地说，“若p则q”为真，记作pq（或qp）；“若p则q”为假，记作pq（或

3、qp）. 三、数学理论1.什么是充分条件？什么是必要条件？一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件；如果已知pq，且qp，那么就说：p是q的充分且必要条件，简记充要条件；如果已知pq，那么就说：p不是q的充分条件；q不是p的必要条件；回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系.由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1)充分不必要条件，即pq，而q p.(2)必要不充分条件，即：p q，而qp.(3)既充分又必要条件，即pq，又有qp.(4)既不充分又不必要条件，即p q，又有q p.2.充分条件与必要条件的

4、判断（1）直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的）（2）利用等价命题关系判断：“pq”的等价命题是“qp”。即“若qp成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”。四、巩固运用例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：（1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0. （2） p：两条直线平行；q：内错角相等.（3） p：ab；q：a2b2（4）p：四边形的四条边相等；q：四边形是正四边形.例2如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什

5、么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件. 命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.思考与讨论：例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.给定两个条件p ,q，要判断p是q的什么条件，也可考虑集合：A=x |x满足条件q,B=x |x满足条件pAB,则p为q的充分条件，q为p的必要条件；BA, 则p为q的充要条件，q为p的充要条件；例3（充分必要条件的判断）指出下列各组命题中，p是q的什么条件？（1）在ABC中，p：AB q：BCAC；（2）对于实数x、y，p：x+y8 q：x2或y

6、6；（3）在ABC中，p：SinASinB q：tanAtanB；（4）已知x、yR p：(x-1)2+(y-2)2=0 q：(x-1)(y-2)=0 变式训练：设f(x)=-4x(xR)，则f(x)0的一个必要而不充分条件是（ ） A、x0 B、x4 C、x-11 D、x-23 记住：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围。例4填空题（1）、若pq，则p是q的 条件（2）ab0是的 的条件，ab0是的 的条件。(3)若A是B的充分条件，B是C的充要条件，D是C的必要条件，则A是D的 条件. 变式训练：若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件

7、，则命题丁是命题甲的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 例5（证明充要条件）设x、yR，求证：|x+y|=|x|+y成立的充要条件是xy0. 五、回顾反思本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.（1）若pq（或若qp），则p是q的充分条件；若qp（或若pq），则p是q的必要条件.（2）条件是相互的；（3）p是q的什么条件，有四种回答方式： p是q的充分而不必要条件； p是q的必要而不充分条件； p是q的充要条件； p是q的既不充分也不必要条件。六、课后练习A组：1用“充分”或“必要”填空，并

8、说明理由：“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 条件；“x5”是“x3”的 条件；“x3”是“|x|3”的 条件；“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的 条件；“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的 条件；对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b2-4ac0”是“这个方程有两个正根”的 条件；2设命题甲为：0x5，命题乙为|x2|3，那么甲是乙的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3已知真命题“abcd”和“abef”，则“cd”是“ef”的_条件4是的什么条件?并说明理由.B组：5已知px2-8x

9、-200，qx2-2x+1-a20。若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围.6，是的充分条件，还是必要条件？充要条件？推出与充分条件、必要条件参考答案：1充分 充分 充分 充分 必要 必要 2A 3充分4解： 但反之却不一定成立。例如取=1,=5,显然满足但不满足所以是的必要但不充分条件.5解：pA=xx-2，或x10，qB=xx1-a，或x1+a，a0如图，依题意，pq，但q不能推出p，说明AB，则有 解得0a3.6 充分不必要条件答案：命题(1)、 (4)为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“pq”，命题(2)、（3）为假，是由p经过推理得不出

10、q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“pq.”说明： “pq”表示“若p则q”为真，可以解释为：如果具备了条件p，就是以保证q成立，即表示“p蕴含q”。回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系.命题(1)中因xy x2y2，所以“xy”是“x2y2”的充分条件，“x2y2”是“xy”的必要条件；x2y2xy，所以“x2y2”不是“xy”的充分条件，“xy”不是“x2y2”的必要条件；命题(2)中因a = 0 ab = 0，所以“a = 0”是“ab = 0”的充分条件.“ab = 0”是“a = 0”的必要条件. ab = 0 a = 0，所以“ab = 0”不是“a = 0”的

11、充分条件，“a = 0”不是“ab = 02”的必要条件；命题(3)中，因“x1x21”，所以“x1”是x21的充分条件，“x21”是“x1”的必要条件. x21 x1，所以“x21”不是“x1”的充分条件，“x1”不是“x21”的必要条件.命题4)中，因x1或x2 x23x20，所以“x1或x2”是“x23x20”的充要分条件.分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.解：由pq，即x-1=0(x-1)(x+2)=0，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.由pq，即两条直线平行内错角相等，知p是q的充要条件，q是p的充要条件；由pq，即ab a2b2，知p不是q的充分条件，q不是

12、p的必要条件；qp，即a2b2ab，知q不是p的充分条件，p不是q的必要条件.综述：p是q的既不充分条件又不必要条件。由q p，即四边形是正四边形四边形的四条边相等，知q是p的充分条件，p是q的必要条件. 由pq，即四边形的四条边相等四边形是正四边形，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；综述：p是q的必要不充分条件。解法1(直接判断)：“A为绿色B为绿色”是真的，由定义知，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件. 如图2，“红点在B内红点在A内”是真的，由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.解法2(利用逆否命题判断)：它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色”. “B不为绿色 A不为绿色”为真，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2，“红点不在A内红点一定不在B内”为真，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件. 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明.先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件