相似模型助突破 同而不同在类比

1、相似模型助突破 同而不同在类比2015年浙江宁波卷第26题的解法探究与解后反思蔡卫兵（浙江省宁波市鄞州实验中学）摘要：2015年浙江宁波中考第26题由多个层次清晰、梯度分明的小题构成，侧重考查学生异中求同、由形悟质的能力，充分体现了“知识与能力并重，思想与方法交融”的命题特点。因此，在数学教学中，应开展一题多解、多解归一的训练，让学生在寻求不同途径和思维方式的过程中积淀出质的方法和思想，真正获得有价值的“经历”。关键：中考试题；相似模型；同而不同；积淀思想让学生在实践中反思、在反思中体验、在体验中感悟、在感悟中提升，这应是数学教学的本真所在。细品2015年浙江宁波中考第26题，笔者深有感触。一

2、、试题呈现图1题目（2015年宁波卷第26题）如图1，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，过的直线分别交轴，轴的正半轴于，两点，且是的中点以为直径的分别交轴，轴于，两点，交直线于点（位于点右下方），连结交于点（1）若点的坐标为（3，4）， 求，两点的坐标；求的长（2）若，求的度数（3）设= ()，直接写出关于的函数解析式二、解法探究1基本套路是保证从思维的角度分析，解题过程实际上是对思维活动的动员和组织，其最重要的是由题目的核心条件推断出哪些相关知识与结论，联想到哪些基本图形与途径，清楚地联系要求的最终结论。因此，解决数学问题，除必须掌握有关数学内容的基本知识外，还应多联系“有用的解题思路

3、”和“常用的解题套路”。此题第（1）小题主要是对学生对已知条件整合能力和观察识图能力的考查。第问由“见直径找直角”的基本套路连结，, 由三角形中位线定理求得A，B两点的坐标。第问要求ME的长，由知只要求出和的长即可，的长可由长的一半求得，而长可由勾股定理求得,求的长是解决此问的关键。然而，从图形的直观角度，依靠“寻找识别相似三角形基本图形”的基本套路便可获得思维突破。 分解图形显相似解小问：图2 解法一：借助基本图形 如图2，因为，又因为， 所以，所以.图3 将，代入得，所以. 解法二：借助基本图形 如图3，连结，,因为为的直径，所以， 所以，又因为， 所以，（计算部分略）解法三：借助基本图形

4、图4如图4，连结, 同上可证，又因为， 所以，（计算部分略）2倍分关系寻相似分析第（2）小题的条件，这是线段之间的倍分关系问题，而且这两条线段在同一直线上，在平面几何里常见的方法是添平行寻相似，但如何应用已有条件作辅助线构造出相似三角形以及实现线段图5倍分关系的转化是解题的关键，也是此题的难点，更是许多学生解决问题的瓶颈。由于M是AB的中点，D是OB的中点，P是OM的中点，根据解题经验想到中位线的牵线搭桥，使得其对思维起到润滑的效果。借力平行巧转化解（2）小题：解法一：如图5，连结，由 为的中位线可知.因为，所以,所以, ，.因此可证，所以.因为为直径，所以, 所以.即，F图6所以.解法二：如

5、图6，连结、，延长DE交x轴于点F。由为的中位线可知，。因为， 所以, 所以.因此可证，所以。因为为直径，所以,F图7所以垂直平分，所以。因为为斜边上的中线，所以. 所以为等边三角形，所以，所以。解法三:如图7，过点作交的延长线于点F，连结。由得，由得, 所以，所以，所以.所以在中，.所以，因为，所以。3同而不同在类比对比第（3)小题与第（2）小题 ，形式上互逆的关系和特殊到一般的关系，承接第（2）小题的思维过程的逆向方式，类比运用添平行寻相似实现线段倍分关系的转化的思想方法。第（3）小题开放的是的大小和点的位置，用字母表示图中有关线段的长度或关系，体现出符号意识，通过代数式的运算进行数式的变

6、形是进行数学思考和表达的重要形式，类比迁移第（2）小题的解法可求出关于的函数解析式。图8异中求同明思路解（3）小题： 解法一：如图8，连结、， 因为tan，设，则， 设，所以.所以在中，所以，所以，.因为，所以，所以.所以. 解法二：同上图，因为tan，设，则 由得，所以， 所以， 所以。F图9 解法三：同上图， 解法四：如图9，连结、，延长DE交x轴于点F。因为tan，设，则F图10由得，所以，由得，所以所以。 解法五:如图10，过点作交的延长线于点F，连结。 二、解后反思本题难度较大，巧妙地把圆放置于平面直角坐标系中，着重考查圆的基本性质、圆周角定理、平行的性质、点的坐标、勾股定理、相似三

7、角形的判定和性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数定义、特殊角的三角函数值、等腰三角形的性质、以及由实际问题列函数关系式和方程思想的应用，将重要的数学知识点和数学思维体现得淋漓尽致。第（1）小题的第问门槛低，有利于学生上手，第问有效的设置台阶，为后续的探究做好铺垫。第（2）小题需要学生对所学知识融会贯通、灵活运用；第（3）小题类比运用前面所获得的思想方法，同时渗透了用代数的方法解决几何问题的思维方式，更重视代数分析能力和计算能力，有一点初高中衔接的味道。3个小题层次感强，既有直接要求计算、求解的问题，又有以尝试、猜测、探究形成设问的问题，体现了压轴题的选拔功能，这也将成为

8、教师日常教学的导航，也是中考复习的一个风向标。 1.直击关键，建构方法体系在解中考数学压轴题时，即要对已知的条件进行全面分析，还要善于将题目中的隐性条件挖掘出来，将数学中各知识之间的联系巧妙地运用起来，用全面、全新的视角来解决问题。熟悉和掌握一系列基本图形及其相关结论,将一些重要的“基本套路”了然于胸，自然会在具体问题中通过对题目核心条件与结论的分析和捕捉题目的特点，并能将其特点转化为有效的解题方法，这是探索方向的保证。上述各个小题的多种解法殊途同归，精彩纷呈，其关键是善于发现并提取基本模型，陌生问题熟悉化；善于联想并运用基本方法，复杂问题简洁化；善于比较并联系前后异同，异中求同类比化。在解决

9、问题时，要注意从数量和图形两方面寻求突破，多归纳总结解题方法，多积累诸如此题中“倍分关系寻相似，添线平行成习惯，构造A型图或X型图实现线段代换少麻烦”的解题经验，建构解决问题的方法体系。 2.关注本质，积淀思想方法 试题先由点（3，4）为定点起步，感知并辨认出基本图形，寻找与本题的关联点实现转化，然后变为线段上的定比分点k，需要添加辅助线构造出相似三角形以及实现线段倍分关系的转化，最后开放的是的大小随着动直线AB的变化而变化，在此过程中探究点的位置的变化规律而寻找线段比值之间的函数关系，有数与式的转化，较好地体现了符号意识。问题逐步深入，遵循了由特殊到一般的思想，追求逻辑连贯，其解法始终有一条主线（相似基本模型助突破）贯穿其中，这就是问题积淀的质，在解法中融入典型的数学思想，即运用模型和转化思想、数形结合思想、类比思想。解题探究重在培养思维能力，读懂条件的每一个点滴信息，联想基本图形，寻找到解题的多种策略以及方法的核心本