高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2排列2课堂导学案新人教A版选修

1、1.2.2组合 2课堂导学三点剖析一、解排列问题的直接求法和间接求法【例1】 6个人排值日，每日一人，甲不排星期一，乙不排星期二，丙不排星期三，共有多少种不同的排法.解析：正面思考，情形太繁多，不易解决，考虑问题的反面，即甲排在星期一，乙排在星期二，丙排在星期三，其中至少有一种情况发生.甲排在星期一，乙排在星期二，丙排在星期三可能排法的集合依次用A、B、C表示.那么，不符合题意的排法共有Card(ABC)种.因为Card(ABC)=Card(A)+Card(B)+Card(C)-Card(AB)-Card(BC)-Card(CA)+Card(ABC)=，所以符合题意的排法共有=426(种).温

2、馨提示 排列问题大多使用直接法求解.但有些计数问题正面情况太繁杂或直接法难以入手，这时往往从问题的反面考虑更容易解决.因此，在解排列问题时直接求法和间接求法互相补充.二、允许重复的排列问题的求法【例2】 四本读物中有三本是相同的，把这四本读物平均分给四个人，有多少种不同的分法？解析：设所求的分法有N种，在每一种分法里，有三人分得的是相同的读物，一人分得的是不同的读物，假定其中第二人分得读物是b，第一、第三、第四人分得的读物都是a，因为把三本不同的书籍分给三人有种方法，所以如果把三本相同的书籍换成三本不同的书籍a1,a2,a3，那么这时分法的种数是原来的倍，也就是说，把a1,a2,a3,b四本不

3、同的书籍分给四人的方法种数（有种）是把a,a,a,b四本书分给四人的方法种数的倍，即=，所以N=4(种)三、树形图在解排列问题中的应用【例3】某工程由A，B，C，D，E，F，G，H，I 9个工序组成，由众多的施工队施工，当工序甲只有在工序乙完成后才能开工时，我们称工序乙是工序甲的紧前工序，现在这9个工序的关系及所需要工时（天）如下表：工序ABCDEFGHI紧前工序-AA-C，IB，C，IE，FDD所需工时622443125试问该工程至少需要多少天才能完成，并给出工序的安排.解析：给出工序的安排，也就是要正确画出体现工序之间衔接关系的工程网络树形图，求出其关键路线，就可知道整个工程的总工期.依题

4、意画出工程网络树形图（如图），由图易知：所需时间最长，它表明整个工程的总工程至少为4+5+4+1=14（天）.很明显，在这条路线上的工序，若有一个延迟一天，整个工程就要推迟一天，而不在这条路线上的工序对总工期就没有这种直接的影响.（树形图）温馨提示 近年来，在北京、上海中学生数学知识应用竞赛及各地的高考模拟训练中，出现了以工程的工序、工期为题材的所谓“工序网络”问题，利用数形图能清楚地反映工作的先后顺序和相互关系，使管理者对全局有一个完整清晰的了解.因此，学会正确有序地使用树形图，是解决问题的有力工具.各个击破【类题演练1】用0，1，2，3，4，5能组成多少个没有重复数字且大于201 345的

5、自然数？解析：用0，1，2，3，4，5组成的六位数共有()个，其中小于或等于自然数的数可分成两类，一类是首位数字是“1”的共有个，一类是首位数字是“2”的，只有本身一个.这时不符合条件的数就有(+1)个，因此符合条件的数共有()-(+1)=479(个)【变式提升1】有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是( )A.234 B.346 C.350 D.363解析：直接法，分三类：1)两人坐前排，按要求有44+6=44种坐法；2)两人坐后排，按要求有=110种坐法；3)两人分别坐在前、后排，有2812=19

6、2种坐法.共有44+110+192=346种排法，选B.【类题演练2】七名同学争夺五项冠军的可能性的种数为( )A.75 B.57 C. D.解析：因一个同学可同时夺得几项冠军，故学生可重复排列.将7名同学看做7家“店”，五项冠军看做5名“客”，都可住进7家“店”中任意一家，即每个“客”有7种住宿选择.由乘法原理得到共75种.故选A.【变式提升2】一市区有5条南北向大道，4条东西向大道，一人想从市区的西北角走到东南角，问有多少种最短的路径可走？解析：下图中，1，2，3，4为东西向的大道被5条南北向的大道所截断的相应部分；a,b,c为南北向的大道被4条东西向的大道所截断的相应部分.1 2 3 4

7、a 1a 2a 3a 4 ab 1b 2b 3b 4 bc 1c 2c 3c 4 c由西北角到东南角需依次经过东西向的1，2，3，4与依次经过南北向的a,b,c，从而使路径最短.由此可知，所求路径等于两组元素1，2，3，4及a,b,c的全排列，其中数字大小的次序、文字字母的次序一定，即相当于这7个元素里有4个元素是相同的，另外有3个元素是相同的，因此，所求最短路径数为N=35.【类题演练3】 如图（甲），有一个正方体的铁丝架，把它的侧棱中点I，J，K，L也用铁丝依次连上，现有一只蚂蚁想沿着铁丝从A点爬到G点，问最近的路线一共有几条？并用字母把这些路线表示出来.（甲）解析：设正方体的边长为2，则其一半为1，这样从A点到各点的最短路线长如图（乙）所示（图中括号标记），再逆向追踪用树形图表示路线如图丙.从而找出从A到G的12条最短路径：AIEFG，ABJFG，AIJFG，AIEHG，ADLHG，AILHG，ABCKG，ADCKG，ADLKG，AILKG，ABJKG，AIJKG. （乙） （丙）【变式提升3】某药品研究所研制了5种消炎药a1,a2,a3,a4,a5,4种退热药b1,b2,b3,b