高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第一课时 等比数列的前n项和学案（含解析）新人教A版必修

1、第一课时等比数列的前n项和等比数列的前n项和公式提出问题已知等比数列an，公比为q，Sn是其前n项的和，则Sna1a2ana1a1qa1q2a1qn1.问题1：若q1，则Sn与a1有何关系？提示：Snna1.问题2：若q1，你能用a1，q直接表示Sn吗？如何表示？提示：能Sna1a1qa1q2a1qn1，两边同乘以q，可得qSna1qa1q2a1qn1a1qn，得(1q)Sna1a1qn，当q1时，Sn.导入新知等比数列的前n项和公式已知量首项a1与公比q首项a1，末项an与公比q公式SnSn化解疑难1在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q1或q1)2当q1时，若已知a1

2、及q，则用公式Sn较好；若已知an，则用公式Sn较好等比数列的前n项和公式的基本运算例1在等比数列an中：(1)若a11，a516，且q0，求S7；(2)若a3，S3，求a1和公比q.解(1)an为等比数列且a11，a516，a5a1q4.16q4.q2(负舍)S7127.(2)当q1时，S3，又a3a1q2，a1(1qq2)，即(1qq2)，解得q(q1舍去)，a16.当q1时，S33a1，a1.综上得或类题通法在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除

3、达到整体消元的目的这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用活学活用在等比数列an中：(1)若q2，S41，求S8；(2)若a1a310，a4a6，求a4和S5.解：(1)设首项为a1，q2，S41，1，即a1，S817.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得即a10,1q20，得q3，即q，a18.a4a1q3831，S5.等比数列前n项和的性质例2设等比数列an的前n项和为Sn，已知S42，S86，求a17a18a19a20的值解由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8S4，S12S8，S4nS4n4，成等比数列由题意可知上面数列的首项为S42，公比为2，故S4nS4n42n(n2)，所以

4、a17a18a19a20S20S162532.类题通法等比数列前n项和的重要性质(1)等比数列an的前n项和Sn，满足Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，成等比数列(其中Sn，S2nSn，S3nS2n，均不为0)，这一性质可直接应用(2)等比数列的项数是偶数时，q；等比数列的项数是奇数时，q.活学活用1设等比数列an的前n项和为Sn.若S23，S415，则S6等于()A31B32C63 D64解析：选C法一：设等比数列an的首项为a1，公比为q.若q1，则有Snna1，显然不符合题意，故q1.由已知可得两式相除得1q25，解得q24，故q2或q2.若q2，代入解得a11，此时S663

5、.若q2，代入解得a13，此时S663.故选C.法二：在等比数列an中，S2，S4S2，S6S4也成等比数列，故(S4S2)2S2(S6S4)，则(153)23(S615)，解得S663.法三：设等比数列的公比为q.则S2a1a23，S4a1a2a3a4(1q2)(a1a2)(1q2)315，解得q24.故S6a1a2a3a4a5a6(1q2q4)(a1a2)(1442)363.故选C.2等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.解析：由题意知公比q2.答案：2等比数列的综合应用例3等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列(1)求an

6、的公比q；(2)若a1a33，求Sn.解(1)S1，S3，S2成等差数列，2S3S1S2，显然an的公比q1，于是a1，即2(1qq2)2q，整理得2q2q0，q(q0舍去)(2)q，又a1a33，a1a123，解得a14.于是Sn.类题通法解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式是解决问题的关键活学活用已知数列an的前n项和Sn2nn2，anlog5bn，其中bn0，求数列bn的前n项和Tn.解：当n2时，anSnSn1(2nn2)2(n1)(n1)22n3，当n1时，a1S121121也适合上式，an的通项公式an2n3(nN*

7、)又anlog5bn，log5bn2n3，于是bn52n3，bn152n1，52.因此bn是公比为的等比数列，且b15235，于是bn的前n项和Tn.典例设数列an是等比数列，其前n项和为Sn，且S33a3，求此数列的公比q.解当q1时，S33a13a3，符合题目条件；当q1时，3a1q2，因为a10，所以1qq23q2，2q2q10，解得q.综上所述，公比q的值是1或.易错防范1易忽视q1这一情况，从而得出错解2在用等比数列求和公式求和前，先看公比q，若其中含有字母，就应按q0，q1，q0且q1讨论成功破障已知等比数列an中，a12，S36，求a3和q.解：若q1，则S33a16，符合题意此

8、时，q1，a3a12.若q1，则由等比数列的前n项和公式，得S36，解得q1(舍去)或q2.此时，a3a1q22(2)28.综上所述，q1，a32或q2，a38.随堂即时演练1数列2n1的前99项和为()A21001B12100C2991 D1299解析：选C数列2n1为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S992991.2等比数列an中，a33S22，a43S32，则公比q等于()A2 B.C4 D.解析：选Ca33S22，a43S32，等式两边分别相减得a4a33a3，即a44a3，q4.3已知等比数列an中，q2，n5，Sn62，则a1_.解析：q2，n5，Sn62，62，即6

9、2，a12.答案：24等比数列an的前5项和S510，前10项和S1050，则它的前15项和S15_.解析：由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，故(S10S5)2S5(S15S10)，即(5010)210(S1550)，解得S15210.答案：2105在等比数列an中：(1)S230，S3155，求Sn；(2)若Sn189，a13，an96，求q和n.解：(1)由题意知解得或从而Sn5n1，或Sn.(2)等比数列an中，a13，an96，Sn189，189.q2.ana1qn1.9632n1.n516.课时达标检测一、选择题1等比数列1，a，a2，a3，(a0)

10、的前n项和Sn等于()A.B.C. D.解析：选C注意对公比a是否为1进行分类讨论，易知选C.2在等比数列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8等于()A135 B100C95 D80解析：选A由等比数列的性质知，a1a2，a3a4，a5a6，a7a8成等比数列，其首项为40，公比为.a7a8403135.3已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为()A.或5 B.或5C. D.解析：选C易知公比q1.由9S3S6，得9，解得q2.是首项为1，公比为的等比数列其前5项和为.4已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn等于

11、()A2n1 B.n1C.n1 D.解析：选B由Sn2an12(Sn1Sn)得Sn1Sn，所以Sn是以S1a11为首项，为公比的等比数列，所以Snn1.5等比数列an的公比q0，已知a21，an2an12an，则an的前2 016项和等于()A2 016 B1C1 D0解析：选D由an2an12an得qn1qn2qn1，即q2q20，又q0，解得q1，又a21，a11，S2 0160.二、填空题6设等比数列an的公比q，前n项和为Sn，则_.解析：S4，a4a1q3，15.答案：157等比数列an共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q_.解析：设an的公比为q，则奇数项也构成

12、等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n，S奇.由题意得，1q3，q2.答案：28已知等比数列的前10项中，所有奇数项之和为85，所有偶数项之和为170，则Sa3a6a9a12的值为_解析：设公比为q，由得Sa3a6a9a12a3(1q3q6q9)a1q2585.答案：585三、解答题9设等比数列an的前n项和为Sn.已知a26,6a1a330，求an和Sn.解：设an的公比为q，由题设得解得或当a13，q2时，an32n1，Sn3(2n1)；当a12，q3时，an23n1，Sn3n1.10已知等差数列an满足：a46，a610.(1)求数列an的通项公式；(2)设等比数列bn的各项均为正数

13、，Tn为其前n项和，若b11，b3a3，求Tn.解：(1)等差数列an，设公差为d，a6a42d2d4d2，ana4(n4)d2n2(nN*)(2)由(1)可知b3a32324，又正项等比数列bn，q24q2，Tn2n1.11已知等比数列an中，a1，公比q.(1)Sn为数列an的前n项和，证明：Sn；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列bn的通项公式解：(1)证明：因为ann1，Sn，所以Sn. (2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).所以bn的通项公式为bn.12设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9求数列的公比q.解：法一：若q1，则有S33a1，S66a1，S99a1，但a10，即S3S62S9，与题设矛盾，故q1.同理可得q1，