人教A1.2任意的三角函数

1、进入,学点一,学点二,学点三,学点四,1.在直角坐标系中， 叫做单位圆. 2.设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点（x，y），那么： （） 叫做的正弦，记作 ，即 . （） 叫做的余弦，记作 ，即 . （） 叫做的正切，记作 ，即 . 当 时，的终边在y轴上，这时点的横坐标x等于 ，所以 无意义.除此之外，对于确定的角，上述三个值都是 .所以正弦、余弦、正切都是以 为自变量，以 为函数值的函数，我们将它们统称为 .由 于 与 之间可以建立一一对应关系， 所以三角函数可以看成是自变量为 的函数.,返回目录,3.根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切 函数在弧度制下的定义域填入下表，再将

2、这三种函数的 值在各象限的符号填入括号.,返回目录,4.由三角函数的定义，可以知道： 的角的同 一三角函数的值 .由此得到公式一： ， ， ，其中 . 5. 叫做有向线段. 6.如图所示，已知角的终边位置. 则由三角函数的定义可知点的坐标为（cos，sin）.点的坐标为（，tan）.其中cos ，sin ，tan .把轴上向量OM，（）叫做的 和 .,终边相同,相等,sin（k）sin,cos（k）cos,tan（k）tank,k,带有方向的线段,余弦线、正弦线,正切线,返回目录,1.已知角的终边经过点（a，a）（a）， 求sin,cos,tan的值. 【分析】由三角函数定义直接求.,学点一

3、求任意角的三角函数值,【解析】根据任意角的三角函数的定义，应首先求出点到原点的距离r，由于含有参数a，要注意分类讨论. r 若a，ra，角在第二象限，则 sin ，cos ， tan .若a，ra，角在第四象限，则sin ，cos ，tan .,返回目录,【评析】易错解为：xa，ya， r a， sin ，cos ，tan . 错因是忘记讨论a的符号.三角函数定义是求任意角三角函数值的有效方法，只要知道角的终边上任一点的坐标即可.,2.已知角的终边与直线y x重合，求的三个三角函数值.,【分析】给出角的终边而要求的六种三角函数值，只需在终边上任取一点，再利用定义直接求解，但必须注意这里的角终边

4、有两种情形，应分别求解.,返回目录,【解析】如图所示，直线y x过原点和一、三象限， 因此，当的终边在第一象限时，在终边上取点(2,3)， 则 当终边落在第三象限时，在其 终边上取点 （-2，-3），则,返回目录,【评析】由此例可以看出，当两个角的终边反向共线时，它们的六种三角函数值的绝对值应相等，仅仅在符号上有所不同.,返回目录,已知角的终边经过点(-2, 3)，试求的正弦、余弦、正切值.,返回目录,学点二 三角函数值的符号 【分析】判定三角函数符号应分两步：一是判定角的象限；二是判定这一象限内某三角函数的符号. 【答案】,返回目录,1.给出下列三角函数值：（）sin ；（）tan sin

5、；（） ； （）sincos.其中为正值的个数是（） A.B.C.D.,返回目录,【解析】1125108045，则1125是第一象限的角，所以sin1125；因为 ，所以 是第三象限角，所以tan ，sin ，故tan sin ；因为弧度 的角为第三象限角，所以sin，tan， 故 ；因为 弧度 ，所以sincos. 综合上述，（）（）为正. 故应选.,【评析】判断三角函数值和符号时，要灵活处理，若只有一个角，则需观察角的象限，然后逐一判断每项的符号；若是多项式，则可由三角函数变形，也可由三角函数线判断.,返回目录,2.若sin且tan，试确定角所在的象限. 【分析】根据判定三角函数符号的口诀

6、：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”判定. 【解析】sin， 是第三、第四象限角或终边在y轴的负半轴上. 又tan，是第一或第三象限角. 综上可知,是第三象限角. 【评析】三角函数在各象限的符号取决于终边所在的位置.若角的终边所在象限确定，则三角函数值的符号就确定.,返回目录,已知tan，且sincos，那么角是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角,（设（x，y）是角的终边上一点，它到原点的距离为r.由题意知tan ， sincos= ，而r，所以x，y，即点应在第一象限，于是角是第一象限角.故应选A.）,A,返回目录,1.x取什么值时，使 有意义？,学点三

7、三角函数定义域,【分析】考虑到分母不能为零，并且使得tanx有意义. 【解析】tanx，xk（k）. 又xk （k）, x （n）. 当xx|x ，n时, 有意义.,【评析】求三角函数定义域一要注意三角函数本身的限制条件，二要注意应用求函数定义域的要求.,返回目录,2.求函数ytan( )的定义域. 【分析】由y=tanx的定义域为 x|xk+ ,kZ 求. 【解析】ytanx的定义域为 x|xk ，k ， x k ，k， xk ，k， 原函数的定义域为 x|xk ，k.,【评析】（）求一个函数的定义域就是要找出使这个函数有意义的x的取值集合.（）将三角函数符号后的整体看作一个角，从而化为一个

8、角的三角函数，这种整体的化归思想在今后的学习中经常用到，要注意理解与应用.,返回目录,1.求函数的定义域： （）y tanx；（）ylg（sinx）. 2.已知sin ，求的取值集合.,1. (1)（定义法）当sinx且tanx有意义时函数有意义，所以 kx（k）， xk ，k， 所以函数y + tanx的定义域为,返回目录,(2)（三角函数线法）如图所示，因为 sinx，所以sinx ，所以 sinx .所以函数的定义域为(k ，k )(k ，k )，k， 即(k ，k )，k.,返回目录,返回目录,1.已知 ，求证： （）sincos； （）sintan. 【分析】建立平面直角坐标系，作出

9、单位圆及正弦线、 余弦线、正切线，根据图形证明.,学点四 单位圆、三角函数线的应用,返回目录,【评析】利用三角函数线的意义，数形结合解决这类问题非常方便，本题的两个结论应该记住，对以后做题很有帮助.,【证明】如图所示，设的终边与单位圆交于，作x轴，垂足为，过点（1,0）作x轴，交的终边于，则sinMP，cosOM，tanAT. (1)在OMP中，OMMPOP，cossin. (2)连接PA，则OPA扇形OPAOTA， 即 2 ， OA=1，sintan.,返回目录,2.在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合. （）sin ；（）cos . 【分析】作出满足sin=a(或

10、cos=a)的三角函数线再利用特值找不等式表示的范围.也可以作出y=a,与单位圆交于A，B两点，OA，OB将圆分成两个区域，特值确定哪一个.,返回目录,【解析】(1)作直线y 交单位圆于，两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域（如图所示中阴影部分）即为角的终边的范围.所以满足条件的角的集合为|2k 2k ，k. (2)作直线x 交单位圆于，两点，连接与，则与围成的区域（如图1.2-1-5所示中阴影部分）即为角的终边的范围.所以满足条件的角的集合为|2k 2k ，k.,【评析】三角函数线可以用来求满足形如f（）m或f（）m的三角函数的角的范围.,返回目录,返回目录,在单位圆中画出满足下列条

11、件的角的终边. （）sin ；（）cos ；（）tan.,分别如下图所示.,返回目录,1.如何理解三角函数的定义？ 三角函数的定义可以结合以下几点来理解：一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角与k（k）的三角函数值相等；由于|x|r，|y|r，故由sin ，cos= ，得|sin|，|cos|，这是三角函数中最基本的一组不等关系式.即三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点（x，y）在终边上的位置无关，而仅由角的终边位置所决定.对于确定的角，其终边的位置也唯一确定了.因此，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数. 三角函数定义还可以推广为：设点（x，y）是角终边上的任意一点

12、，它到坐标原点的距离|r，于是sin,返回目录,2.如何掌握三角函数在各象限的符号？ 由三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数的符号.sin ，其中r，于是sin的符号与y的符号相同，即当是第一、二象限的角时，sin；当是第三、四象限的角时，sin.cos ，其中r，于是cos的符号与x的符号相同，即当是第一、四象限的角时，cos；当是第二、三象限的角时，cos.tan ，当x与y同号时，它们的比值为正；当x与y异号时，它们的比值为负，即当为第一、三象限的角时，tan；当为第二、四象限的角时，tan，以上结果如图所示.,返回目录,正弦函数的符号取决于纵坐标y的符号，余弦函

13、数的符号取决于横坐标x的符号，正切函数是x，y同号为正，异号为负.在记忆三角函数在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦.口决的含义是在第一象限各三角函数皆为正，在第二象限正弦为正，在第三象限正、余切为正，在第四象限余弦为正.,返回目录,3.如何理解三角函数线？ （1）有向线段的数量 当有向线段与数轴平行时，我们可根据线段的方向与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数叫做有向线段的数量. （2）正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的一种几何表示，它们都是与单位圆有关的平行于坐标轴的有向线段. （3）当角的终边与x轴重合时，正弦线、正切线变成一个点，此时角的余弦值为或，正弦值和正切值为；当角的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角的正弦值为或，余弦值为，正切值不存在. （4）在从“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考查任意角的三角函数.即用向量的长度表示三角函数的数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方.,返回目录,1.函数的定义域是函数概念的三要素之一，因此，对于三角函数的定义域要给予足够的重视.确定三角函数定义域时，主要应抓住分母等于零时比值无意义这一关键.结合三角函数的定义，可以得到三角函数的定义域. 2.三角函数值的符号与角所在的象限有关，它可根据三角函数的定