高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2含有绝对值的不等式1.2.2绝对值不等式的解法学案北师大版选修

1、1.22绝对值不等式的解法课标解读1.理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.1绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a0a0|x|ax|axa|x|ax|xa，或xaxR，且x0R2.|axb|c与|axb|c(c0)型不等式的解法：(1)|axb|ccaxbc；(2)|axb|caxbc或axbc.3|xa|xb|c与|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：(1)利用绝对值不等式的几何意义求解；(2)利用零点分段法求解；(3)构造函数，利用函数的图像求解1当c0时，|axb|c，|axb

2、|c的解集分别是什么？【提示】c0时，|axb|c的解集为.|axb|c的解集为R.2当|ab|c时，不等式|xa|xb|c的解集是什么？【提示】因为|xa|xb|(xa)(xb)|ab|.当|ab|c时，不等式|xa|xb|c的解集为R.事实上，对于一切xR，有|xa|xb|(xa)(xb)|ab|c.|axb|c与|axb|c型不等式的解法解下列不等式：|x2x2|x23x4.【思路探究】关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式【自主解答】x2x2(x)20，|x2x2|x2x2.原不等式等价于x2x2x23x4，解之得x3.原不等式的解集为x|x31(1)解绝对值不等式，等价转化

3、(去绝对值)是解题的关键(2)先挖掘性质，避免繁杂讨论，简化了运算2一般地，形如|f(x)|g(x)，我们可以借助|axb|c的解法转化为f(x)g(x)或f(x)g(x)，当然|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)而如果f(x)的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值再解；如果f(x)的正负不能确定，也可以用分段讨论的方法求解解不等式|x2|2x.【解】若2x0，即x0.|x2|0对任意的xR恒成立，|x2|2x(x0)恒成立，x0是原不等式的解若2x0，即x0.|x2|02|2x200.x0是原不等式的解若2x0，即x0.|x2|2xx22x或x22x.由x22x得x或x；由x22x，

4、得x.x或0x是原不等式的解综上，原不等式的解集是x|x1，或x1|xa|xb|c型不等式的解法解不等式|2x1|x|1.【思路探究】考虑|2x1|与|x|的零点，分区间讨论【自主解答】当x0时，原不等式可化为2x1x1解之得x0，与x0矛盾，此时无解；当0x时，原不等式可化为2x1x1，解之得x0，又0x，从而有0x；当x时，原不等式化为2x1x1，x2.因此x2.综合知，原不等式的解集是x|0x2分区间去绝对值时切忌忽视端点也称为零点的值；这种解法中三个不等式组的解都适合原来的不等式，因此最后原不等式的解集是这三个不等式组解集的并集，不要误求为交集(2013青岛检测)不等式|x5|x3|1

5、0的解集是()A5,7B4,6C(，57，)D(，46，)【解析】法一当x3时，原不等式可化为5xx310，即2x8，x4，此时不等式的解集为x|x4当35时，原不等式可化为x5x310，解得x6，此时不等式的解集为x|x6综上可知，原不等式的解集为x|x4或x6，故选D.法二由绝对值的几何意义可知，|x5|x3|表示数轴上的点x到点3和5两点的距离之和，又点4和6到点3和5的距离之和都为10，如图，故满足|x5|x3|10的解集为(，46，)【答案】D绝对值不等式的综合问题已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f

6、(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围【思路探究】解f(x)3，由集合相等，求a.求yf(x)f(x5)的最小值，确定m范围【自主解答】(1)由f(x)3，得|xa|3.解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5所以解得a2.(2)法一由(1)知a2，此时f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|，于是g(x)利用g(x)的单调性，易知g(x)的最小值为5.因此g(x)f(x)f(x5)m对xR恒成立，知实数m的取值范围是(，5法二当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|.由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x

7、2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.因此，若g(x)f(x)f(x5)m恒成立，应有实数m的取值范围是(，51第(2)问求解的关键是转化为求f(x)f(x5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)2将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用设函数f(x)|xa|3x，其中a0.(1)当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值【解】(1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.故不

8、等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式化为不等式组或即或因为a0，所以不等式组的解集为x|x由题设可得1，故a2.1不等式|x|(12x)0的解集是()A(，)B(，0)(0，)C(，) D(0，)【解析】原不等式等价于解得x且x0，即x(，0)(0，)【答案】B2不等式|x2|x2的解集是()A(，2) B(，)C(2，) D(，2)(2，)【解析】原不等式同解于x20，即x2.【答案】A3已知集合AxR|x1|2，Z为整数集，则集合AZ中所有元素的和等于_【解析】AxR|x1|2xR|1x3集合A中包含的整数有0,1,2，故AZ0,1,2【答案

9、】34(2013江西高考)在实数范围内，不等式|x2|1|1的解集为_【解析】由于|x2|1|1，即1|x2|11，即|x2|2，所以2x22，所以0x4.【答案】0,4一、选择题1不等式1|x1|3的解集为()A(0,2)B(2,0)(2,4)C(4,0) D(4，2)(0,2)【解析】由1|x1|3，得1x13或3x11，0x2或4x2.不等式的解集为(4，2)(0,2)【答案】D2设变量x，y满足|x|y|1，则x2y的最大值和最小值分别为()A1，1 B2，2C1，2 D2，1【解析】|x|y|1表示的平面区域如图中阴影部分所示设zx2y，作l0：x2y0，把l0向右上和左下平移，易知

10、：当l过点(0,1)时，z有最大值zmax0212；当l过点(0，1)时，z有最小值zmin02(1)2.【答案】B3若关于x的不等式|x2|xa|a在R上恒成立，则a的最大值是()A0 B1C1 D2【解析】由于|x2|xa|a2|，等价于|a2|a，即a1.故实数a的最大值为1.【答案】B4设集合Ax|xa|1，xR，Bx|xb|2，xR若AB，则实数a，b必满足()A|ab|3 B|ab|3C|ab|3 D|ab|3【解析】由|xa|1得a1xa1.由|xb|2得xb2或xb2.AB，a1b2或a1b2，即ab3或ab3，|ab|3.【答案】D二、填空题5不等式|x1|x3|0的解集是_

11、【解析】法一不等式等价转化为|x1|x3|，两边平方得(x1)2(x3)2，解得x1，故不等式的解集为1，)法二不等式等价转化为|x1|x3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x到点1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x1，故不等式的解集为1，)【答案】1，)6(2013重庆高考)若关于实数x的不等式|x5|x3|a无解，则实数a的取值范围是_【解析】|x5|x3|5x|x3|5xx3|8，(|x5|x3|)min8，要使|x5|x3|a无解，只需a8.【答案】(，87已知aR，若关于x的方程x2x|a|a|0有实根，则实数a的取值范围是_【解析】方程x2x|a|a|0有实根，124

12、(|a|a|)0，即|a|a|.根据绝对值的几何意义，知0a.【答案】0，三、解答题8(2012课标全国卷)已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围【解】(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集为x|x1x|x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,09如

13、图所示，O为数轴的原点，A、B、M为数轴上三点，C为线段OM上的动点设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和(1)将y表示为x的函数；(2)要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？【解】(1)依题意y4|x10|6|x20|,0x30.(2)由题意，x满足(*)当0x10时，不等式组(*)化为4(10x)6(20x)70，解之得9x10；当10x20时，不等式组(*)化为4(x10)6(20x)70，解之得101.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为，求a的值【解】(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；当2x4时，f(x)4|x4|无解；当x4时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5.所以f(x)4|x4|的解集为.(2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集为，所以于是a3.1对于xR，不等式|x10|x2|8的解集为_【解析】当x2时，不等式化为x10x28，即128，成立当x10时，不等式化为x10x28，即128，不成立当10x2时，