各种积分的联系式及其在场论中的应用.ppt

1、一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,第八节 各种积分的联系及其在场论中的应用,三、Stokes公式与旋度,四、Gauss公式与散度,五、几种重要的特殊向量场,连通区域的分类,设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域;,否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,平面区域D边界曲线L的正向:,当观察者沿L的这个方向行走时,D内在他近处的那一部分总在他的左侧.,一、 格林公式,定理1,公式(1)叫做格林公式.,2. 若D是复连通区域,则公式(1)右端为D的全部边界的曲线积分,且边界的方向对D来说都是正向.,注意:,证明:,1) 若D 既是 X

2、 - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且,则,即,同理可证,、两式相加得:,2) 若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域 , 如图,证毕,例1.,设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明,证: 令,则,利用格林公式 , 得,格林公式的应用,1. 简化曲线积分,例3. 计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解: 令,设 L 所围区域为D,由格林公式知,(注意格林公式的条件),2. 简化二重积分,正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,例如, 椭圆,所围面积,3. 计算平面图形的面积,在格林公式中取,得,二、平面上第二型曲线积分与路径无关的条件,

3、如果,B,A,曲线积分与路径无关的等价命题,条件,等 价 命 题,定理2. 设G 是单连通域 ,(两条件缺一不可),注意：,因此，无旋场是保守场。,势函数的求法,1.用线积分求,例5. 验证,是有势场，并求其,势函数。,2.用偏积分求,3.用凑全微分法求,注意：,1. 利用曲线积分与路径的无关性，选择一个适当的路径进行积分可大大简化积分计算。,2.可利用全微分的一个原函数来计算与路径无关的曲线积分。,斯托克斯公式,三、Stokes公式与旋度,1、斯托克斯公式,为便于记忆，可把斯托克斯公式写成,Stokes公式的实质:,表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.,斯托克斯(1

4、819-1903),英国数学物理学家.,他是19世纪英国,数学物理学派的重要代表人物之一,其,主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题,的有效且一般的新方法,在1845年他导,出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之,为纳维 斯托克斯方程 ),1847年先于,柯西提出了一致收敛的概念.,他提出的斯托克斯公式,是向量分析的基本公式.,他一生的工作先后分 五卷,出版 .,则有向曲面的法向量的方向余弦,（如图）,证:,情形1 与平行 z 轴的直线只交于一点, 的正向,边界曲线在x o y面上的投影为平面有向曲线C，C所围,成的区域是D x y ，,所以,因此,则三式相加, 即得斯托克斯公式 .,情形2 曲面

5、 与平行坐标 轴的直线交点多于一个,则可,通过作辅助线面把 分成与坐标 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加,由于沿辅助,曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这,类曲面斯托克斯公式仍成立.,证毕,斯托克斯公式的又一种形式,其中,即,例1. 利用斯托克斯公式计算积分,其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个,解: 记三角形域为, 取上侧,则,边界, 方向如图所示.,解,则,*2、空间曲线积分与路径无关的条件,定理2.,设 G 是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:,(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有,(2)

6、 对G内任一分段光滑曲线 ,与路径无关,(3) 在G内存在某一函数 u, 使,(4) 在G内处处有,3、 环量与环流密度,4、 旋度的定义及其计算公式,利用旋度,斯托克斯公式可改写为,或,设曲面 的法向量为,曲线 的单位切向量为,由环量密度的定义和Stokes公式的向量形式,可得,利用积分中值定理，可知,利用连续性,有,或,这就是环量密度的计算公式,的外法向量,计算,解:,例3. 设,设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一,点,建立坐标系如图,则,点 M 的线速度为,即在刚体旋转的线速场中,任一点M处的旋度,除去一个常数因子外,恰好就是刚体旋转的角速度,此即“旋度”一词的来源),旋度的力学意

7、义:,向量微分算子,定义向量微分算子:,它又称为( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子.,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5、 旋度的运算法则,例8.8,求电场强度,的旋度 ,解,(除原点外),这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋度.,另解,高斯(1777 1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域 ,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,

8、代数、非欧几何、 微分几何、 超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,四. 高斯 ( Gauss ) 公式与散度,定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲, 上有连续的一阶偏导数 ,函数 P, Q, R 在,面 所围成, 的方向取外侧,则有,(Gauss 公式),1. 高斯 ( Gauss ) 公式,下面先证:,证明: 设,这样,则,所以,则类似可证,则上三式相加, 即得 Gauss 公式：,注:对于其它形状的区域,包括有“洞”的区域，可以利用曲面将其分割成若干子区域的并，使每一子区域都满足用平行于坐标轴的直线穿越该子区域都至多相交于两点。类似与Green公

9、式和Stokes公式的处理，可证明此情形下Gauss公式。,例1. 用Gauss 公式计算,其中 为柱面,闭域 的整个边界曲面的外侧.,解: 这里,利用Gauss 公式, 得,原式 =,(用柱坐标),及平面 z = 0 , z = 3 所围空间,思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?,若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?,例2. 利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解: 作辅助面,取上侧,介于 z = 0 及,z = h 之间部分的下侧.,所围区域为,则,在闭区域 上具有一阶和,二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式,例3. 设函数,其中 是整个 边界面的外侧.,分析

10、:,高斯公式,因为,所以,同理,以上三式相加。得证。,2.通量与通量密度,3.散度的定义及其计算,散度的计算公式,设向量场,应用积分中值定理,得,于是,由散度的定义,有,即,注:有的文献就用上式作为向量场A散度的定义.,利用散度的定义,Gauss公式可写为,因此,Gauss公式也称为散度定理.,例.,置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为,解:,4.散度的运算法则和公式,内容小结,1. 格林公式,2. 等价条件,在 D 内与路径无关(保守场),在 D 内有 (有势场),对 D 内任意闭曲线 L 有 (无旋场),在 D 内有,设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有,3. 斯托克

11、斯公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 高斯公式及其应用,公式:,应用:,(1) 计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5. 场论中的三个重要概念,设,梯度:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,散度:,旋度:,则,五.几种重要的特殊向量场,1. 单连通区域的类型,设有空间区域 G ,若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G,为空间二维单连通域 ;,若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面,则称 G 为空间一维单连通域 .,例如,球面所围区域,环面所围区域,立方体中挖去一个小球所成的区域,不是二维单连通区域 .,既是一维也是二维单连通区域 ;,是二维但不是一维单连通区域 ;,是一维但,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.空间曲线积分与路径无关的条件,定理8.6.,设 G 是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:,(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 ,