高中数学 4.1.2圆的标准一般方程教案 新人教A版必修

1、4.1.2 圆的标准一般方程一、教学目标1、目标：（1）在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x2y2DxEyF=0表示圆的条件,通过对方程x2y2DxEyF=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析、解决问题的能力.（2）能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的方程.2、解析：圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长.我们知道,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图.而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中,哪些是圆的方程,哪些不是圆的

2、方程,它们各有自己的优点,在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化,尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径.要画出圆,就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形状.这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性.二、预习导引1，圆的一般方程的定义 当D2+E2-4F0.时，二元二次方程 称为圆的一般方程，此时圆心坐标 ，半径 。三，问题引领、探究新知 问题1：前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法?问题2：这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢?问题3：给出式子x2+y2+Dx+Ey+

3、F=0,请你利用配方法化成不含x和y的一次项的式子.问题4：把式子(xa)2(yb)2=r2与x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比较,得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.问题5：对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点? 师生活动：学生思考，回答。教师总结后得出讨论结果：1、以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、)展开整理而得到的.2、我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程

4、,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般.3、把式子x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得 (x+)2+(y+)2=.4、(xa)2(yb)2=r2中,r0时表示圆,r=0时表示点(a,b),r0时不表示任何图形.因此式子 (x+)2+(y+)2=.()当D2+E2-4F0时,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆；()当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个点(-,-);()当D2+E2-4F0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形. 综上所述,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但

5、方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D2+E2-4F0时,它表示的曲线才是圆.因此x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F0. 我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程. 5、圆的一般方程形式上的特点: x2和y2的系数相同,不等于0.没有xy这样的二次项. 圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了. 与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.练习内化例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果

6、是,请求出圆的圆心及半径.(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.解:(1)由4x2+4y2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=,而D2+E2-4F=1+9-9=10,所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心坐标为(,-),半径为；(2)由4x2+4y2-4x+12y+11=0,得D=-1,E=3,F=,D2+E2-4F=1+9-11=-10,所以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圆的方程.点评:对于形如Ax2+By2+Dx+Ey+F=0的方程判断其方程是否表示圆,要化为x2+y2+Dx+Ey+

7、F=0的形式,再利用条件D2+E2-4F与0的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断.变式训练：求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0.(2)x2+y2+2by=0配方,得x2(y+b)2=b2,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|例2 ：求过三点O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.解:方法一：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圆上,则有解得D=-8,E=6,F=0,故所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x4)2(y+3)2=52.所以圆心坐标

8、为(4,-3),半径为5.方法二：先求出OM1的中点E(,),M1M2的中点F(,),再写出OM1的垂直平分线PE的直线方程 y-=-(x-), AB的垂直平分线PF的直线方程 y-=-3(x-), 联立得得则点P的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径.点评：请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.小结圆的标准方程.点与圆的位置关系的判断方法.根据已知条件求圆的标准方程的方法.利用圆的平面几何的知识构建方

9、程.直径端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.设计意图：回顾和总结本节课的主要内容。四、目标检测1、求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长： （1）； （2）； （3）2、如图，等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4，高为3，求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径长。设计意图：通过课本中的原型习题考察学生运用新知识来解决实际问题的掌握程度。 五，分层配餐 A组1、方程（1）当D2+E2-4F0时,表示以 为圆心, 为半径的圆；（2）当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点 ；（3）当D2+E2-4F0时,方程

10、不表示任何图形.；2、圆的一般方程（其中D、E、F为常数）具有以下特点： （1）项的系数 ； （2） xy项; （3） 3、下列各方程表示什么图形？ （1）； （2）； （3）4、ABC的三个顶点坐标分别为A（-1，5），B（-2，-2），C（5，5），求其外接圆的方程。设计意图：对课本中的习题作同等程度或降低程度的变式，考察学生对基础知识的掌握。预计完成时间20分钟。B组1、若表示一个圆的方程，则m的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 2、方程表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则的值依次为 （ ） A.2，4，4 B. -2，4，4 C.2，-4，4 D. 2，-4，-43、求经过点A（4，2），B（-1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程。4、求圆心为（1，2），且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程。设计意图：适当提高难度，考察学生的基本思维和数学思想方法。预计