§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)

1、3.2.2-1函数模型的应用实例(一),2020/8/29,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,2,一、新课引入,到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？,一次函数,二次函数,指数函数,对数函数,幂函数,（a0）,2020/8/29,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,3,大家首先来看一个例子,邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元，超过5千克的超出部分按每千克3元收费，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为_,从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联系，有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实例来感受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实际问题中建立函数模型呢？,2020/8/29,重庆市万州高级中学 曾国荣

2、 ,4,例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时 间的关系如图3.2-7所示。,(1) 求图3.2-7中阴影部分的 面积，并说明所求面积的 实际含义；,解：(1)阴影部分的面积为,501+801+901+751+651=360,阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路 程为360km,图3.2-7,2020/8/29,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,5,(2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。,这个函数的图象如图3.2-8所示,图3.2-7,2020/8/29,重庆市万州高级中学

3、 曾国荣 ,6,从这个练习我们看到，在解决实际问题的过程 中，图象函数是能够发挥很大的作用，因此，我们 应当注意提高读图的能力。另外，在本题中我们用 到了分段函数，由此我们也知道，分段函数也是刻 画现实问题的重要模型。大家在运用分段函数的时 候要注意它的定义域。那么应该如何解函数的应 用问题呢？,2020/8/29,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,7,例2.人口问题是当年世界各国普通关注的问题。认识人 口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依 据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型：,表3-8是19501959年我国的人口数据资料：,其中t表示经过的时间

4、，y0表示t=0时的人口数，r表示 人口的年平均增长率。,2020/8/29,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,8,思考1:我国1951年的人口增长率约为多少？,解：(1)设19511959年的人口增长率分别为 r1，,由55196 (1+r1) =56300,可得1951年的人口增长率 r10.0200。,2020/8/29,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,9,思考2:如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)那么19511959年期间我国人口的年平均增长率是多少？,解：(2)设19511959年的人口增长率分别为 r1， r2，r9.,由55196 (1+r1

5、) =56300,可得r10.0200。,同理可得，,r20.0210,r30.0229,r40.0250,r50.0197,r60.0223,r70.0276,r80.0222,r90.0184,于是，19511959年期间，我国人口的年均增长率为,r=（r1+r2+r9）90.0221,2020/8/29,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,10,思考3:用马尔萨斯人口增长模型，我国在19501959年期间的人口增长模型是什么？,解：(3)令y0=55196，则我国在19501959年期间 的人口增长模型为：,2020/8/29,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,11,思考4:怎样检验该模型与我国实

6、际人口数据是否相符？,解：(4)根据表3-8中的数据作出散点图， 并作出函数的图象（图3.2-9）。,由图3.2-9可以看出，所得模型与19511959年的实际人口数据基本吻合。,2020/8/29,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,12,思考5:据此人口增长模型，大约在哪一年我国的人口达到13亿？,解：(5)将 y=130000代入,由计算器可得,t38.76,所以,如果按上表的增长趋势，大约1950年后第39年（即1989年）我国人口就已达到13亿。,2020/8/29,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,13,我国人口问题知多少?1、我国人口是什么时候达到13亿.,、我国的实际人口与人口模型得出的

7、结果不一致的原因是什么？,年月日零点分，中国第亿个公 民在北京妇产医院出生，这一天也成为“中国亿人口 日”。这个小公民为男性，体重，克，身长 公分.,我国人口的计划生育政策.控制了人口的增长。,2020/8/29,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,14,从以上的例子可以看到，用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，因此通过模型得出的结果往往会与实际问题存在一定的误差。因此，往往需要对模型进行修正。,2020/8/29,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,15,练习:某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加，若在某个时刻这种细菌的个数为200个，按照每小时成倍增长，

8、如下表：,问：实验开始后5小时细菌的个数是多少？,2020/8/29,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,16,解：设实验时间为x小时，细菌数为y个，依题意有,20020020，,40020021，,80020022，,160020023,此实验开始后5小时，即x5时，细菌数为 200256400（个）,从而，我们可以将细菌的繁殖问题抽象归纳为一个指数函数关系式，即y2002x（xN）,2020/8/29,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,17,应用函数知识解应用题的方法步骤： (1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键.转化来源于对已知条件的综合分析，归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类。 (2)用相关的函数知识进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解。 (3)把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结做答。,2020/8/29,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,18,实际问题,数学模型,实际问题 的解,抽象概括,数学模型 的解,还原说明,推理 演算,总结解应用题的策略：,2020/8/29,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,19,还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为 实际问题的意义,解决