高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 第2课时 基本初等函数的导数公式学案 新人教A版选修

1、1.2.2 第二课时 基本初等函数的导数公式一、课前准备1.课时目标1.熟练记忆基本初等函数的导数公式;2.能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数;3.能利用基本初等函数的导数公式解决简单的综合问题。2.基础预探1.基本初等函数的导数公式(1)若f(x)c，则f(x)_.(2)若f(x)xn，则f(x)_.(3)若f(x)sin x，则f(x)_.(4)若f(x)cos x，则f(x)_.(5)若f(x)ax，则f(x)_.(6)若f(x)ex，则f(x)_.(7)若f(x)则f(x)_.(8)若f(x)ln x，则f(x)_.二、学习引领1.对基本初等函数的导数公式的理解(1)基本初等函数

2、的求导公式只要求记住公式的形式，学会使用公式解题即可，对公式的推导不要求掌握(2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别。(3)基本初等函数的导数公式，虽然在高考中单独考查该知识点的题目不多，但却是解决其他导数问题的重要基础，必需熟练记忆并掌握。2.利用导数公式求曲线切线方程的步骤(1)先利用基本初等函数的导数公式求出函数的导数(2)判断切线所经过的定点(x0，y0)是否在已知曲线上，当点在曲线上时，kf(x0)当点不在曲线上时，应设切点为(x1，y1)，kf(x1)，求出切点(3)利用点斜式方程yy0f(x0)(xx0)或yy0f(x1)(xx0) 求得切线三、典例导析题型一 利用基本初等函

3、数的公式求导数例1 求下列函数的导数：(1)yx；(2)y；(3)y；(4)ylog2x2log2x；思路导析：运用对数性质及三角变换公式，先将问题中不能直接利用公式的问题转化为基本初等函数，再求导数解析：(1)y(x)().(2)y(x4)4x414x5.(3)y()()。(4)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x).归纳总结：熟记基本初等函数的求导公式，是计算导数的关键，特别注意各求导公式的结构特征，弄清(lnx)与()和(ax)与(ex)的差异，防止混淆，对于不具备基本初等函数特征的函数，应先变形，然后求导变式训练：求下列函数的导数：(1)y；(2)ylog3x；(3)y2

4、sin(12cos2 )题型二 曲线切线的问题例 2 已知曲线C：yx3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？思路导析：先求出yx3在x1处的导数，再用点斜式求切线方程，将切线方程与曲线联立寻找是否还有其他公共点。解析：(1)令x1，则y1，切点坐标为(1,1)y3x2，切线方程为y13(x1)，即3xy20.(2)由得3xx320，即(x3x)(2x2)0.可分解为(x1)(x2x2)0，解得x11，x22.切线3xy20与曲线C的公共点为(1,1)，(2，8)，这说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点归纳总结：以前，

5、我们遇到的切线问题，都是切线与曲线仅有一个交点，从本题可知曲线的切线与曲线的交点不一定惟一，因此交点的个数不能作为判断一条直线是否为曲线切线的依据变式训练：抛物线yx2在哪一点处的切线平行于直线y4x5?题型三 利用导数研究最值问题例3 点P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离思路导析：作图可知，与y=x平行且与曲线相切的切线的切点与y=x的距离即为yx与曲线yex距离的最小值。解：设平行于直线yx的直线与曲线yex相切于点(x0，y0)，则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y|1.y(ex)ex，1，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)利用点到直线的距离公式得距离

6、为.故yx与曲线yex距离的最小值为.规律总结：导数常用来解决与切线相关的图形问题，如果能作出图形利用数形结合是思想，会使得问题的解决更为简便。变式训练： 设曲线C：yln x(0x1)在点M(et，t)(t0)处的切线为l.(1)求直线l的方程；(2)若直线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，求S(t)的最大值四、随堂练习1.下列结论正确的个数为()yln2，则yy，则y2x，则y2xln2ylog2x，则yA0B1 C2 D32下列四组函数中导数相等的是()Af(x)2与g(x)2x Bf(x)sinx与g(x)cosxCf(x)2cosx与g(x)sinx Df(x)12x2与g

7、(x)2x243已知函数f(x)x3的切线的斜率等于1，则这样的切线有()A1条 B2条C3条 D不确定4.曲线yx3在点(a，a3)(a0)处的切线与x轴，直线xa所围成的三角形的面积为，则a_.5.曲线yxn在x2处的导数为12，则n的值为_6.已知曲线yx2-1与yx3在xx0处的切线互相垂直，求x0的值五、课后作业1下列结论中不正确的是()A若yx4，则 B若y，则C若y，则 D若yx5，则2f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f(x)g(x)，则f(x)与g(x)满足()Af(x)g(x) Bf(x)g(x)为常数函数Cf(x)g(x)0 Df(x)

8、g(x)为常数函数3设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2 014(x)_.4已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_.5.求曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积。6.若曲线f(x)ax5lnx存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围。参考答案：1.2.2 第一课时 基本初等函数的导数公式一、课前准备2.基础预探1.0 nxn1 cos x sin x axlna ex 三、典例导析例1 变式训练解析：(1)y，y().(2)y(log3x).(3)y2sin2sin2sincossinx，yc

9、osx.例2 变式训练解：设切点为(x0，x)，y2x，y|2x04，x02.切点为(2,4)例3 变式训练解：(1)y(ln x)(00；当t (1，)时，S(t)0， S(t)的最大值为S(1).四、随堂练习1.解析：yln2为常数，所以y0，错；均正确，直接利用公式即可验证答案：D2解析：逐一排除可得答案D，故选D.答案：D3.解析：本题切线的条数是由切点的个数来决定的，设切点为(x0，x)，y3x2，3x1，x0，即切点有两个，故斜率为1的切线有两条答案：B4.解析：由题意知切线的斜率为3a2，由点斜式得切线方程为ya33a2(xa)令y0，得xa，则|aa|a3|，解得a1.答案：1

10、5.解析：y|x2n2n-112，解得n3.答案：36.解：对于yx21，有yx，k1y|x0；对于yx3，有y3x2，k2y|3x.又k1k21，则x1，x01.五、课后作业1解析：在A中，；在B中，；在C中， ；在D中，y|x15x6|x15，故选B.答案：B2解析：设F(x)f(x)g(x)，则有F(x)f(x)g(x)0，故F(x)为常数函数，即f(x)g(x)为常数函数，故选B.答案：B3解析f1(x)(sin x)cos x，f2(x)(cos x)sin x，f3(x)(sin x)cos x，f4(x)(cos x)sin x，f5(x)(sin x)f1(x)，f6(x)f2(x)，.fn4(x)fn(x)，即周期T为4.f2 014(x)f2(x)sin x.答案：sin x4解析：设直线yx1与曲线yln(xa)的切点为(x0，y0)，则y01x0，y0ln(x0a)，又y，y1，即x0a1.又