2009考研数学三真题及答案

1、 2009考研数学三真题及答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数的可去间断点的个数为：（ ）.1. 2 .3.无穷多个（2）当时，与是等价无穷小，则（ ）.， . ， .， .，（3）使不等式成立的的范围是（ ）. .（4）设函数在区间上的图形为：1-2023-1O则函数的图形为（ ）.0231-2-11. 0231-2-11.0231-11.0231-2-11（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ）. . .（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则 为

2、（ ）. . . .（7）设事件与事件B互不相容，则（ ）. . .（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（ ）.0. 1 .2. 3二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） .（10）设，则 （11）幂级数的收敛半径为 （12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元（13）设,，若矩阵相似于，则 (14)设，,是来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则 三、解答题：1523小题，共94分.

3、请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数的极值。（16）（本题满分10 分） 计算不定积分 （17）（本题满分10 分）计算二重积分，其中.（18）（本题满分11 分）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则，得证.证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且.（19）（本题满分10 分）设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的倍，求该曲线方程。（20）（本题满分11 分）设,求满足，的所有向量，.对中的任意向量,证明,线性无关。（21）（本题满分

4、11 分）设二次型求二次型的矩阵的所有特征值。若二次型的规范型为，求的值。（22）（本题满分11 分）设二维随机变量的概率密度为求条件概率密度求条件概率（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。求.求二维随机变量的概率分布.参考答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数的可去间断点的个数为：（ ）.1. 2 .3.无穷多个【答案】C 【解析】 则当取任何整数时，均无意义故的间断点有无穷多个，

5、但可去间断点为极限存在的点，故应是的解故可去间断点为3个，即（2）当时，与是等价无穷小，则（ ）.， . ， .， .，【答案】 【解析】为等价无穷小，则 故排除。另外存在，蕴含了故排除。所以本题选A。（3）使不等式成立的的范围是（ ）. .【答案】 【解析】原问题可转化为求成立时的取值范围，由，时，知当时，。故应选.（4）设函数在区间上的图形为：1-2023-1O则函数的图形为（ ）.0231-2-11. 0231-2-11.0231-11.0231-2-11【答案】 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：

6、时，且单调递减。时，单调递增。时，为常函数。时，为线性函数，单调递增。由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为。（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ）. . .【解析】根据，若分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆故答案为（B）（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则 为（ ）. . . .【答案】 A【解析】，即：（7）设事件与事件B互不相容，则（ ）. . .【答案】 【解析】因为互不相容，所以，因为不一定等于1，所以不正确当不为0时，不成立，故排除只有当互为对立事件的时候才成立，故排除，故正确。（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的

7、概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（ ）.0. 1 .2. 3【答案】 B【解析】独立（1）若，则（2）当，则为间断点，故选（B）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） .【答案】【解析】 （10）设，则 【解析】由，故代入得，（11）幂级数的收敛半径为 【答案】【解析】由题意知，所以，该幂级数的收敛半径为（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元【答案】12000【解析】所求即为因为，所以所以将代入有。（13）设,，若矩阵相似于，则 【答案】2【解析】相似于，

8、根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为3，0，0。而为矩阵的对角元素之和，。 (14) 设，,是来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则 【答案】 【解析】由三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数的极值。【解析】 故则而二元函数存在极小值（16）（本题满分10 分）计算不定积分 【解析】令得（17）（本题满分10 分）计算二重积分，其中.【解析】由得，（18）（本题满分11 分）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则，得证.证明：若函数在处连续

9、，在内可导，且，则存在，且.【解析】（）作辅助函数，易验证满足：；在闭区间上连续，在开区间内可导，且。根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即（）任取，则函数满足；在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：故存在，且。（19）（本题满分10 分）设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的倍，求该曲线方程。【解析】旋转体的体积为曲边梯形的面积为：，则由题可知两边对t求导可得 继续求导可得，化简可得，解之得在式中令，则，代入得。所以该曲线方程为：。（20）（本题满

10、分11 分）设,求满足，的所有向量，.对中的任意向量,证明,线性无关。【解析】（）解方程 故有一个自由变量，令，由解得， 求特解，令，得 故 ，其中为任意常数 解方程 故有两个自由变量，令，由得求特解 故 ，其中为任意常数（）证明：由于 故 线性无关.（21）（本题满分11 分）设二次型求二次型的矩阵的所有特征值。若二次型的规范型为，求的值。【解析】（） （） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。则1) 若，则 ， ，不符题意2) 若 ，即，则，符合3) 若 ，即，则 ，不符题意综上所述，故（22）（本题满分11 分）设二维随机变量的概率密度为求条件概率密度求条件概率【解析】（I）由 得其边缘密度函数 故 即 （II）而（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋