高二数学 期末复习专题（解斜三角形）

1、解斜三角形,1.正弦定理及变式 (1) = = =2R; (2)a=2RsinA,b= ,c=2RsinC; (3)sinA= ,sinB= ,sinC= ; (4)sinAsinBsinC=abc. (5)在下列条件下，应用正弦定理求解: ()已知两角和一边，求其他边和角； ()已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他边和角.,2RsinB,2.余弦定理及变式 (1)a2=b2+c2-2bccosA; b2= ; c2=a2+b2-2abcosC. (2)cosA= ; cosB= ; cosC= .,a2+c2-2accosB,(3)在下列条件下，应运用余弦定理求解: ()已知三边，

2、求三个角； ()已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角； ()已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角.(此类问题需要讨论) 3.三角形的面积公式 S= absinC= = bcsinA.,acsinB,4.应用解三角形知识解决实际问题的步骤 (1)根据题意画出示意图； (2)确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知条件和未知条件； (3)选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性； (4)给出答案.,5.判断三角形的形状特征 必须从研究三角形的边与边的关系，或角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一. 三角形形状的判断依据： (1)

3、等腰三角形:a=b或A=B； (2)直角三角形:b2+c2=a2或A=90; (3)钝角三角形:a2b2+c2,或90A180;,(4)锐角三角形：若a为最大边，且满足a2b2+c2或A为最大角，且0A90. 6.在ABC中常用的一些基本关系式 (1)A+B+C= ; (2)sin(B+C)= ,cos(B+C)= ，tan(B+C)= ; (3)sin = ; (4)cos = ; (5)tanA+tanB+tanC= .,sinA,-cosA,-tanA,tanAtanBtanC,7.解斜三角形知识在生产实践中有着极为广泛的应用，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识.解斜三

4、角形有关的实际问题的思维过程可以用下图表示：,8.解斜三角形应用题的一般步骤是： 分析：准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方向角、方位角等，必要时，画出示意图，化实际问题为数学问题； 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；,求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 9.解斜三角形应用题常有以下几种情形： 实际问题经抽象概括后，已知与未知量全部集中在一个三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之

5、；,实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解； 实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形，需连续使用正弦定理或余弦定理. 运用正弦定理和余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件和待求式子的特点，恰当地选择定理.运用正弦定理一般是将边转化为角，而条件中给出三边关系的往往考虑用余弦定理求和.,1.在ABC中，已知BC=12，A=60，B=45，则AC=( ),D,A.3 B.3 C.4 D.4,由正弦定理得 = , 所以AC= = =4 .,课堂练习,2.在ABC中，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则c

6、osB=( ),D,A. B. C. D.,因为a、b、c成等比数列，所以b2=ac. 又c=2a,所以b2=2a2, 所以cosB= = = .,3.在ABC中,sinA:sinB:sinC=2: :( +1),则三角形的最小内角是( ),A.60 B.45 C.30 D.以上答案都错,由正弦定理 = = =2R， 得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC, 所以a:b:c=sinA:sinB:sinC=2 ( +1). 因为a为最小值，所以A为最小内角. 因为cosA= = , 且A(0,60)，所以A=45，故选B.,B,4.某人向正东方向走了x km，他向右转150,然后

7、朝新方向走了 km，结果他离出发点恰好为 千米，那么x的值是（ ）,C,A. B.2 C.2 或 D.3,先根据已知条件画出草图，再用余弦定理或正弦定理列方程，解方程即可，选C.,5.已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1,BC=4，则边BC上的中线AD的长为 ，SACD= .,由已知，B=60，AB=1，BD=2. 由余弦定理知 AD= = = .,又cosADB= = = , 又0ADB180， 所以ADB=30，所以ADC=150， 所以SACD= ADDCsinADC= .,正、余弦定理体现了三角形中角与边存在一种内在联系，其主要作用是将已知边、角互化或统一.一般的，利用

8、公式a=2RsinA等（R为外接圆半径），可将边转化角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理；利用公式cosA= 等，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边.,6.ABC中,已知sinA=2sinBcosC, sin2A=sin2B+sin2C,则三角形的形 状是( ),D,A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形,由sin2A=sin2B+sin2C,得a2=b2+c2. 所以ABC为直角三角形，A=90， 由sinA=2sinBcosC，得2sin2B=1. 因为B为锐角，所以sinB= ,从而B=45

9、，C=45， 所以ABC为等腰直角三角形，故选D.,7.在锐角ABC中，已知cosA= , sinB= ,则cosC的值是( ),B,A. B. C. 或 D.-,因为cosA= ,sinB= , 所以sinA= = ,cosB= = , 所以cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B) =-cosAcosB+sinAsinB =- + = .,8.在ABC中,设命题p: = = ,命题q:ABC是等边三角形，则命题p是命题q的( ),C,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,p: = = ， 由正弦定理 = = ， 所以sinA=sinB=sin

10、C,所以A=B=C a=b=c, 故选C.,9.在ABC中，三个内角满足2A=B+C，且最大边与最小边分别是方程x2-12x+32=0的两根，则ABC外接圆的面积为( ),A,A.16 B.64 C.124 D.156,由方程x2-12x+32=0，解得x=4或x=8, 不妨设b=8,c=4, 因为2A=B+C,所以A+B+C=3A=180,A=60, 由余弦定理得， a2=b2+c2-2bccos60=64+16-284 =48. 所以a=4 . 由正弦定理，得2R=asinA= =8,R=4, 所以S圆=R2=16,故选A.,10.ABC中，已知a=x,b=2,B=45,若解此三角形有两解

11、,则x的取值范围是 .,(2,2 ),sinA= x= x, 因三角形有两解， 所以452,且 x1,解得2x2 .,1.解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理以及三角变换，解题时角度的选取是关键.并关注角的取值范围.如已知两边及其中一边的对角解三角形，要注意解的情况. 2.对于解斜三角形的实际应用问题，要理解题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，抽象或构造出三角形，把实际问题转化为解三角形，要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法.在演算过程中，要算法简练，算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求.,对于实际应用问题中的有关名词、术语、要理解清楚，如坡度、俯角、仰角、

12、方向角、方位角等，正确画出图形是解题的关键. 3.利用正、余弦定理可以进行边角互化，有利于判断三角形的形状. 4.解决三角形中的问题，要从统一着手，或统一成角的关系，或统一成边的关系，要视情况灵活处理.在解三角形时，要注意解题的完整性，谨防失根.,11.若P在Q的北偏东44，则Q在P的( ),C,A.东偏北45 B.东偏北44 C.南偏西44 D.西偏南44,由方位角的定义可知，Q应在P的南偏西44.,12.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s=6sin(2t+ )，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( ),D,A.2s B. s C.0.5 s

13、 D.1 s,T= =1，故选D.,13.在200米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是30、60，则塔高为( ),A,米 B. 米 C. 米 D. 米,画出示意图(如图)，由题意可知，DAC=60，OAC=DAB=30， 在AOC中，AO=200， 所以OC= , 而AD=OC= , 在ABD中，BD= = , 因此塔高为200- = (米)，故选A.,14.有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45，现要把倾斜角改为30，则坡底需伸长 米.,50( - ),坡的倾斜角即为坡度，依题意知，该坡的高度不变，即仍为50 ，当坡的倾斜角变为30时，坡底的长度为50 ,所以坡度改后，坡底伸

14、长了50( - )米.,15.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B望对岸的标记物C，测得CAB=30，CBA=75，AB=120m，则这条河的宽度为 m.,60,如图，在ABC中，过C作CDAB于D点，则CD为所求宽度. 在ABC中，因为CAB=30，CBA=75， 所以ACB=75， 所以AC=AB=120 m. 在RtACD中， CD=ACsinCAD=120sin30=60(m). 因此，这条河宽60 m.,面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘，就像前面的几个例题，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学

15、建模的过程，在高考中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题.,(2009湖南卷)在锐角ABC中，BC=1,B=2A,则 的值等于 ，AC的取值范围为 .,2,设A=B=2.由正弦定理得 = , 所以 =1 =2. 由锐角ABC得0290045. 故3045 cos , 所以AC=2cos( , ).,(2009全国卷)在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC,求b.,(方法一)在ABC中, 因为sinAcosC=3co

16、sAsinC,则由正弦定理及余弦定理有:a =3 c, 化简并整理得2(a2-c2)=b2. 又由已知a2-c2=2b,所以4b=b2,解得b=4或b=0(舍).,(方法二)由余弦定理得a2-c2=b2-2bccosA. 又a2-c2=2b,b0，所以b=2ccosA+2. 又sinAcosC=3cosAsinC， 所以sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC, 即sin(A+C)=4cosAsinC,即sinB=4cosAsinC. 由正弦定理得sinB= sinC,故b=4ccosA. 由解得b=4.,(2009宁夏/海南卷)如图，为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平面内（如图所示）,飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案，包括：指出需要测量的数 据（用字母表示，并 在图中标出）；用 文字和公式写出计