全国版高考数学第八章平面解析几何8.7双曲线课件理.pptx

1、第七节 双曲线,【知识梳理】 1.双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c0)的距离_ _为非零常数2a(2a2c)的点的轨迹叫做双曲 线.这两个定点叫做双曲线的_,两焦点间的距离叫 做_.,之差,的绝对值,焦点,焦距,(2)集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a0,c0. 当_时,M点的轨迹是双曲线; 当_时,M点的轨迹是两条射线; 当_时,M点不存在.,2a|F1F2|,2a=|F1F2|,2a|F1F2|,2.双曲线的标准方程与几何性质,xa或x-a,y-a或ya,坐标轴,原点,坐标轴,原点,(-a,0),(a,0),(

2、0,-a),(0,a),(1,+),2a,2b,a2+b2,【特别提醒】 1.渐近线与离心率 =1(a0,b0)的一条渐近线的斜率为 = . 2.若P为双曲线上一点,F为其对应焦点,则|PF|c-a. 3.区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系,在 椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.,【小题快练】 链接教材练一练 1.(选修2-1P61习题2.3A组T1改编)双曲线 上 的点P到点(5,0)的距离是6,则点P的坐标是.,【解析】根据双曲线方程可知c= =5. 所以焦点为F2(5,0),F1(-5,0). 设P(x,y),由两点间距离公式: |PF2|= =6,

3、 所以点P在双曲线右支上, |PF1|= ,因为|PF1|-|PF2|=2a=8, 所以 =2a+6=14, 所以(x+5)2+y2=196, 联立得x=8. 代入原式可得y=3 . 所以点P坐标为(8,3 ). 答案:(8,3 ),2.(选修2-1P61练习T3改编)以椭圆 的焦点为 顶点,顶点为焦点的双曲线方程为.,【解析】设要求的双曲线方程为 (a0,b0), 由椭圆 ,得焦点为(1,0),顶点为(2,0). 所以双曲线的顶点为(1,0),焦点为(2,0). 所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3, 所以双曲线标准方程为x2- =1. 答案:x2- =1,感悟考题试一试 3.(20

4、15安徽高考)下列双曲线中,渐近线方程为y=2x的是(),【解析】选A.由双曲线的渐近线方程的公式可知选项A的渐近线方程为y=2x.,4.(2015四川高考)过双曲线x2- =1的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则 |AB|=(),【解析】选D.由双曲线方程知,右焦点为(2,0),直线 x=2与渐近线y= x的交点A(2,2 ),B(2,-2 ), 所以=4 .,5.(2016阜阳模拟)双曲线 =1的焦距为(),【解析】选C.由双曲线 =1,易知c2=3+2=5,所以 c= ,所以双曲线 =1的焦距为2 .,考向一双曲线的定义及其应用 【典例1】(1)(2015

5、福建高考)若双曲线E: =1 的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3, 则|PF2|等于() A.11B.9C.5D.3,(2)(2015全国卷)已知F是双曲线C:x2- =1的右 焦点,P是C左支上一点, 当APF周长最小时, 该三角形的面积为.,【解题导引】(1)由已知条件以及双曲线的定义,即可得出|PF2|的值. (2)利用双曲线的定义以及两点之间线段最短即可求出APF周长的最小值,进而求出三角形的面积.,【规范解答】(1)选B.因为|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|-|PF2|=6,所以|PF2|=9或-3(舍去).,(2)由已知a=1,b=2 ,c

6、=3,所以F(3,0), F(-3,0),又 所以|AF|= =15,APF周长 l=|PA|+|PF|+|AF|, 又|PF|-|PF|=2, 所以|PF|=|PF|+2,所以l=|PA|+|PF|+2+15|AF|+17=32,当且仅当A,P,F三点共线时,APF周长最小,如图所示.,设P(x,y), 直线AF的方程为 =1, 联立得 消去x得 y2+36y-96 =0,解得y=-8 (舍)或y=2 ,则P(x,2 ). 因为SAPF=SAFF-SPFF = 66 - 62 =12 . 答案:12,【规律方法】“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 (1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦

7、定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用. (2)技巧:经常结合|PF1|-|PF2|=2a,运用平方的方法,建立它与|PF1|PF2|的联系.,提醒:利用双曲线的定义解决问题,要注意三点: (1)距离之差的绝对值.(2)2a|F1F2|.(3)焦点所在坐标轴的位置.,【变式训练】已知点F1(-3,0)和F2(3,0),动点P到F1,F2的距离之差为4,则点P的轨迹方程为(),【解析】选B.由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上 的双曲线的右支,设其方程为 =1(x0,a0,b0), 由题设知c=3,a=2,b2=9-4=5,所以点P的轨迹方程为 =1(x0).,【加固训练】 1.(2016阳泉模拟

8、)已知点F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且F1PF2=60,则|PF1|PF2|等于() A.2B.4C.6D.8,【解析】选B.由题意知a=1,b=1,c= , 所以|F1F2|=2 ,在PF1F2中, 由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60 =|F1F2|2=8, 即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=8,由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2, 两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4, -得|PF1|PF2|=4.,2.如果双曲线 =1上一点P到它的右焦点的距离 是8,

9、那么点P到它的左焦点的距离是() A.4B.12 C.4或12 D.不确定,【解析】选C.由双曲线方程,得a=2,c=4.根据双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2a,则|PF1|=|PF2|2a=84, 所以|PF1|=4或12,经检验二者都符合题意.,3.点P是双曲线 =1(a0,b0)右支上一点,点F1, F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则PF1F2的内切圆 圆心M的横坐标是() A.a B.b C.c D.a+b-c,【解析】选A.如图,内切圆圆心M到各边的距离分别为MA,MB,MC,切点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质则有:|CF1|=|AF1|,|AF2|=|BF2|,

10、|PC|=|PB|,所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,又|AF1|+|AF2|=2c, 所以|AF1|=a+c,则|OA|=|AF1|-|OF1|=a. 因为M的横坐标和A的横坐标相同,所以PF1F2的内切圆圆心M的横坐标为a.,考向二双曲线的标准方程及性质 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:与双曲线有关的范围问题 【典例2】(2015全国卷)已知M(x0,y0) 是双曲线C: -y2=1上的一点,F1,F2是C的 两个焦点,若 0,则y0的取值范围是(),【解题导引】直接利用向量的数量积列出并解不等式,即可求出y0的取值范围.,【规范解答

11、】选A.因为F1(- ,0),F2( ,0), =1,所以 0,即3y02-10,解得- y0 .,【母题变式】 1.若本例中的条件“ 0”改为“ =0”,试求MF1F2的面积.,【解析】由题意知:F1(- ,0),F2( ,0), =1, 所以 =3y02-1=0,解得:y0= , 又因为|F1F2|=2 ,所以MF1F2的面积= =1, 即MF1F2的面积为1.,2.若本例中的条件“ 0”去掉,试求 的范围.,【解析】由题意知:F1(- ,0),F2( ,0), =1, 所以 又因为x022,所以 -4-1, 即 -1.,命题方向2:与双曲线的离心率、渐近线相关的问题 【典例3】(1)(2

12、015全国卷)已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为() A.B.2C.D.,(2)(2015天津高考)已知双曲线 =1(a0,b0) 的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+ y2=3相切,则双曲线的方程为(),【解题导引】(1)依据已知条件,想办法得出关于a,c的等式,解方程即可得出离心率的值. (2)可由已知条件,得出关于a,b的两个方程,解方程组即可得出a,b的值,进而得出双曲线方程.,【规范解答】(1)选D.设双曲线方程为 =1(a0, b0),如图所示,|AB|=|BM|,ABM=120,过点M作MNx轴

13、,垂足为N,在 RtBMN中,|BN|=a,|MN|= a,故点M的坐标为M(2a, a),代入双曲线方程得a2=b2=c2-a2,即c2=2a2,所以 e= .,(2)选D.由双曲线的渐近线bx-ay=0与圆(x-2)2+y2=3相 切可知 又因为c= =2,所以有a=1, b= ,故双曲线的方程为x2- =1.,【技法感悟】 1.与双曲线有关的范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解. (2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.,2.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略 (1)双曲线的离心率e= 是一个比值,故只

14、需根据条件 得到关于a,b,c的一个关系式,利用b2=c2-a2消去b,然后 变形成关于e的关系式,并且需注意e1.,(2)求双曲线 =1(a0,b0)的渐近线的方法是令 =0,即得两渐近线方程 =0. (3)与双曲线 =1共渐近线的方程可设为 =(0). (4)若渐近线的方程为y= x,则可设双曲线方程为 =(0).,【题组通关】 1.(2014全国卷)已知双曲线 =1(a0)的离 心率为2,则a=() 【解析】选D.由双曲线的离心率可得 =2,解得 a=1.,2.(2016成都模拟)设双曲线C的中心为点O,若有且只 有一对相交于点O,所成的角为60的直线A1B1和A2B2, 使|A1B1|

15、=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与 双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 (),【解析】选A.因为有且只有一对相交于点O,所成的角 为60的直线A1B1和A2B2,所以直线A1B1和A2B2关于x轴 对称,并且直线A1B1和A2B2与x轴的夹角为30,双曲线 的渐近线与x轴的夹角大于30且小于等于60,否则 不满足题意.可得 tan 30,即 所以 e,同样的,当 tan 60,即 3时,所以e2. 所以双曲线的离心率的范围是 .,3.(2016烟台模拟)已知双曲线x2- =1的左顶点为 A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则 的最 小值为.,【解析】由

16、题可知A1(-1,0),F2(2,0). 设P(x,y)(x1), 则 =(-1-x,-y), =(2-x,-y), =(-1-x)(2- x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x-5. 因为x1,函数f(x)=4x2-x-5的图象的对称轴为x= ,所以当x=1时, 取得最小值-2. 答案:-2,考向三双曲线的综合问题 【典例4】(1)(2016宁德模拟)已知椭圆 =1 (a0)与双曲线 =1有相同的焦点,则a的值为 (),(2)(2015江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,

17、则实数c的最大值为.,【解题导引】(1)依据椭圆、双曲线的焦点坐标相同,即可确定a的值;(2)利用点到直线的距离公式直接求解即可.,【规范解答】(1)选C.因为椭圆 =1(a0)与双曲 线 =1有相同的焦点( ,0), 则有a2-9=7,所以a=4.,(2)设P(x,y)(x1),因为直线x-y+1=0平行于渐近线x- y=0,所以c的最大值为直线x-y+1=0与渐近线x-y=0之间 的距离,由两平行线间的距离公式知,该距离为 答案:,【母题变式】 1.若将本例(1)中的条件“有相同的焦点”,改为“有相同的焦距”,试求a的值.,【解析】因为双曲线 =1中a2=4,b2=3,所以c2=7, 因此

18、,双曲线的焦距为2 .对于椭圆 =1,当a2 9时,c2=a2-9=7,a2=16,又因为a0,所以a=4;当a20,所以a= . 综上可知:a=4或 .,2.若将本例(1)中的条件“有相同的焦点”,改为“有相同的顶点”,试求a的值.,【解析】因为双曲线 =1的顶点坐标为(2,0), (-2,0),所以椭圆 =1(a0)的顶点坐标有(2,0), (-2,0),所以a2=4,又因为a0,所以a=2.,【规律方法】解决与双曲线有关综合问题的方法 (1)解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时,要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系,再结合双曲线的几何性质求解.,(2)解决直线与双曲线的综合问题,通常是联立直线方程与双曲线方程,消元求解一元二次方程即可,但一定要注意数形结合,结合图形注意取舍.,【变式训练】(2016秦皇岛模拟)已知双曲线 =1(a0,b0)的一条渐近线方程是y= x,它的一个焦 点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为(),【解析】选C.抛物线y2=24x的准线方程为x=-6,与x的 交点即为双曲线的左焦点F1(-6,0),故c=6. 由双曲线的一条渐近线方程为y= x可知 由 所以双曲线的方程为 =1.,【加固训练】 1.(2016张掖模拟)已知双曲线 =1(a0,b0) 的左、右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲 线渐