建模第一讲.ppt

1、,数学建模（第一讲） -李洪明,第一章 引言,数学建模:,用数学的方法解决实际问题；要求从世纪错综复杂的的关系中找出其内在规律，然后用数字、图表、符号、和公式把他们表示出来，再经过数学与计算机的处理，得出供人们进行分析、决策、预报或者控制的定量结果。我们把这种将实际问题进行简化归结为数学问题并求解的过程称为建立数学模型，简称数学建模或建模。,数学模型也可以简单的理解为：用数学的方法解决实际问题。,实例1 室内温度应调节在什么温度值时为最佳？,答：人的正常体温是36.5度，36.5o 0.618 = 22.557o ， 这个温度最佳。,实例2 张阿婆携一篓鸡蛋到集市上去出售，若个一堆则余个，若个

2、一堆则余个，问共有鸡蛋多少个？,解：设鸡蛋分成个一堆共 x 堆 , 12个一堆共 y 堆 则9x+2=12y+7 解得x=19 , y=13 张阿婆共携鸡蛋 9*19+2=173个,原型： 原型是指人们在现时世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。,模型： 模型是指为了某个目的，将原型的某一部分信息减缩、提炼而构成的原型的替代物。,实例3 古 题 枯木周四尺、高九尺； 葛藤经三周而达其顶； 藤长几何也?,要解决这道古题，让我们先从一道现代简单问题入手，寻找思路，探索求解方法。,实例4 一只圆柱形油罐的底圆周为长4米，高3米；一只蛐蛐沿罐壁螺旋爬行一周到达罐的顶部，求蛐蛐的爬行距离。,C=

3、4m,h=3m,4m,3m,L= 42 + 32 1/2 = 5(m),高9尺,周4尺,高 3尺,L = 3 * 42 +32 1/2=15,古 题,周4尺,模型,数学模型是模型的一种形式，属理想模型（又称为抽象模型），是将现实事物设定在一种理想状态，依据对事物所关心的目标，找出相关的主要因素，分析其内在联系，将目标及全部相关因素符号化、数量化；用数学的方法把这种关系表述出来（图形、图像、数表、解析式），这种数学表述形式就是数学模型。,一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用一些适当的数学工具，得到的一个数学结

4、构。建立数学模型的过程就称为建模。,实例5 人 口 模 型 某市2005年初有常住人口100万，流动人口20万，已知流动人口的年增长率为1%， 常住人口的年增长率为0.5%,请你预测到2055年初该市拥有的人口数。,解：2050年初该市拥有的人口数为 S=100(1+0.5%)50 +20(1+1%)50 利用二项式定理可得(1+0.5%)50 1.293，(1+1%)501.628 故S1001.293+201.628 =161.82（万）,建立数学模型来解决实际问题的过程，是各行各业、各科技领域大量需要的，做这样的事情远不只是数学知识和解数学题目的能力，而需要多方面的综合知识与能力。因此，

5、学校应当努力培养和提高学生在这方面的能力。,正是由于认识到培养应用型、研究型科技人才的重要性，而传统的数学竞赛不能担当这个任务，从1983年起，美国就有一些有识之士探讨组织一项应用数学方面的竞赛的可能性。经过论证、争论、争取资金等过程，1985年举行了美国第一届大学生数学建模竞赛。 简称MCM竞赛由美国工业与用数学学会和美国运筹学学会联合主办。,从1985年起每年举行一届，时间定为每年的二月下旬或三月初的星期五到星期日举行。,这项竞赛的宗旨是鼓励学生运用所学的知识（数学及其各门科学的知识）去参与解决实际问题的全过程。这些实际问题并不限于某个固定领域，可以涉及非常广泛的、并不固定的范围和领域。,

6、美国的MCM虽然只是美国的国内 赛，但它欢迎其他国家的大学组队参加，而且越来越多国家的大学参加这一竞赛，因此，在某种意义上它已经是国际比赛。我国最早由北京三所大学组队参加美国的MCM竞赛，继后我国参加此项比赛的大学越来越多。,我国大学生数学建模竞赛（CUMCM）,1992年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织,1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办(每年9月),2008年有31省(市、区）的1022所学校12836队参加,网址：,奖励：全国一等奖（约2%）、全国二等奖（约7%）教育部高教司和CSIAM共同签章,1999年起竞赛分为甲组(本科)、乙组(高职高专组),优秀论文刊登于次

7、年工程数学学报（ 2000年前为数学的实践与认识）,内容,赛题：工程、管理中经过简化的实际问题,答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求解(通常用计算机)、结果分析和检验等的论文,形式,3名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛,可使用任何“死”材料(图书/互联网/软件等), 但不得与队外任何人讨论（包括上网讨论）,宗旨,创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争,标准,假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性。,数学建模竞赛内容与形式,数学建模竞赛CUMCM近年题目,CUMCM题目特点,题目来源: 实际研究课题的简化、改编；有实际背景问题的编撰；合适的社会热点（或兴趣）问题,题目背景

8、尽量通俗易懂，涉及的专业知识不深,题目需要的数学知识一般不超过本科的三门主干课（非数学专业）内容及统计、优化、计算等基本方法；专科题目力求少用大学数学内容,解题所用的数学方法尽量多元化、综合化,可以查阅到一些参考材料，但是无法照搬现成文献,兼顾数据的处理与数据的收集,竞赛培养创新精神和综合素质,赛题紧密结合科技和社会热点问题，培养理论联系实际的学风和实践能力,解决方法没有任何限制，培养主动学习、独立研究的能力,没有事先设定的标准答案，留有充分余地供同学们发挥聪明才智和创造精神,综合运用学过的数学知识和计算机技术(选择合适的数学软件)通过数学建模分析、解决实际问题的能力,三天内自由地使用图书馆和

9、互联网，培养同学在短时间内获取与赛题有关知识的能力,分工合作、取长补短、求同存异、同舟共济，培养同学的团队精神和组织协调能力,完成一篇用数学建模方法解决实际问题的完整的科技论文，培养同学的文字表达能力,竞赛培养创新精神和综合素质,在三天开放型竞赛中自觉遵守纪律，培养诚信意识和自律精神,数学建模竞赛是大学阶段除毕业设计外难得的一次 “真刀真枪”的训练，相当程度上模拟了学生毕业后工作时的情况 丰富、活跃了广大同学的课外生活 为优秀学生脱颖而出创造了条件,竞赛培养创新精神和综合素质,数学建模竞赛的赛后效果,竞赛三阶段: 赛前培训、三天竞赛、赛后继续,2004年的“饮酒驾车”赛题是让学生分析、估计司机

10、饮用少量酒后多长时间驾车才符合交通规则,重庆某校师生与当地交警大队联系，由交警大队安排司机做试验，由师生分析：根据司机肇事时的血液酒精浓度推测他饮用了多少酒；根据司机肇事若干时间后的血液酒精浓度推测他肇事时的浓度,该成果参加第九届“挑战杯”全国大学生课外学术科技作品竞赛并获奖,实例6 建 筑 问 题 房屋建筑成本由土地使用权取得费和材料工程费两部分组成。某市今年的土地使用权取得费为2000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2，请你帮助设计学校科技综合大楼的层数，使每层每平方米建筑面积的平均成本费最节省(成本最低)?,解：设学校科技综合大楼共有n

11、层，底层的建筑面积为s，则总成本费为 F=2000s+400s+440s+480s +400+（n-1）40 s =(20n2+380n+2000)s,故每层每平方米建筑面积的平均成本费为 f=（20n2+380n+2000）s（ns） =20n+380+2000/n 400+380 =780 当且仅当20n=2000/n, 即n=10时等号成立。 当学校科技综合大楼建造10层时，每层每平方米建筑面积的平本费最低为 780元/m2.,数学建模的常用方法：,1、机理分析法。,2、构造分析法,3、直观分析法。,4、数值分析法。,5、数学分析法。,数学本领高了，参与数学建模工作就更得心应手了，兴趣更

12、浓。 著名德国数学家H.G.Grassmann认为：“数学除了锻炼敏锐的理解能力，发现真理外，它还有另一个训练全面考虑科学系统的头脑的开发功能。”数学建模不同于其他数学分支，从教学的角度来看，重点不是学习理解数学知识本身，而是在于数学方法的掌握、数学思维的建立。,实例7商品调价问题 若将某商品先涨价10，然后再降价10，所得的价格与原先的价格相比有无变化？不少同学会不加思索脱口而出：那还用问吗？肯定不变！果真如此吗？,比如设这种商品原价为100元，则涨价10后价格为10010=110元，再降价10就是110-11=99元，可见比原先的价格便宜了。所以很多事情不能想当然贸然下结论，还是动笔算一算

13、为好，才能做到心中有“数”。,请研究下例：某商品拟作两次调价，设pq0，有下列六种方案供选择： (A) 选涨价p%，再降价q%; (B) 选涨价q%，再降价p%; (C) 选涨价(p+q)/2%，再降价(p+q)/2%; (D)选涨价(p*q)1/2%，再降价(p*q)1/2%; (E)选涨价(p+q)/2%，再降价(p*q)1/2%; (F)选涨价(p*q)1/2%，再降价(p+q)/2%;,若规定两次调价后该商品的价格最高的方案称为好方案。请判断其中哪一个是好方案？,方案（A）是好方案。,数学建模的基本步骤：,1、问题分析,2、模型假设,3、模型建立,4、模型求解,5、分析检验,6、论文写

14、作,7、应用实际,二十一世纪的工作者 需要具有以下能力,1.抽象思维能力 2.逻辑推理能力 3.数学运算能力 4.空间想象能力 5.数学建模能力 6.数值计算与数据处理能力 7.使用数学软件的能力 8.更新知识的能力,主要学习内容：,1、量纲分析。 2、集合分析。 3、微分方程。 4、差分方程。 5、差值与拟合。 6、层次分析。 7、概率分布。 8、数理统计。 9、回归分析。 10、线性规划。 11、整数规划。 12、非线性规划。 13、动态规划。MATLAB、LINDO等内容。,第二章 两种初等分析方法,初等分析方法： 所用的数学知识和方法都是初等的，在解决实际问题的过程中，往往主要是看解决

15、问题的效果和应用的结果如何，而不在于用了初等的方法还是高等的方法。,初等分析建模方法 常用的方法有： 类比分析法、几何分析法、 逻辑分析法、量纲分析发、 集合分析法等。,(一)、量纲分析法,量纲： 对物理概念进行定量描述时所 用的基本表述，如：质量M、 长度L、速度V=LT-1、力 F=MLT-2等。,Buckingham Pi定理：设m个物理量q1,q2,qm满足定律： f(q1,q2,qm)=0 , X1,X2,Xn是基本量纲(nm)。qj的量纲可 以表示为qj=Xiaij。矩阵A=(aij)nm称为 量纲矩阵，若A的秩rank(A)=r,可设线性齐 次方程组AY=0(Y是m维向量),有m

16、-r个基本解 Yk=(yk1,yk2,ykm)T(k=1,2,m-r),则有 m-r个相互独立的无量纲的量。,量纲分析法的一般步骤： 1、将于问题有关的物理量（变量和常量）收集起来，记为q1,q2,qm,根据问题的物理意义确定基本量纲，记为x1,x2,xn(nm)。,2、写书qj的量纲qj=Xjaij(j=1,2,m)。,3、设q1,q2,qm满足关系=qjyj,其中yj为待定的，为无纲的量。,4、解方程组aijyj=0 (i=1,2,n),系 数矩阵A=(aij)nm ,rank(A)=r,则方程组有 m-r个基本,yk=(yk1,yk2,ykm)T, （k=1,m-r）。,5、记k=qjy

17、kj ,则k(k=1,2,m-r)为 无量纲的量。,6、由 F(1 ,2 ,m-r)=0 解出物理 规律。,建模实例：空间点热源的扩散问题。,一、问题的提出 设初始时刻(t=0)在空间中有一热量为e的瞬时热源位于原点处(r=0),热量通过介质向无穷远空间扩散，试研究点热源的扩散规律。,二、模型假设 1.任意时刻t,空间任意一点(径向距离为r) 的温度是u。,2、介质的初始温度为0。,3、问题的基本量纲为长度、质量、时 间和温度的量纲；即L,M,T,u=。,三、模型的建立 空间任意一点的温度为u=u(r,t,e,c,k) 其中c为介质的体积比热，即单位体积的介 质温度升高一度所需热量。K为介质的

18、热扩 散系数，即由q=-ku/r确定（q是单位时 间通过单位面积的热量）。 据Buckingham Pi定理设f(u,r,t,e,c,k)=0 r=l,t=T,e=L2MT-2为热量e的量纲，,c = e/L3u = L-1.M.T-2.-1 k=L.M.T-3.-1,于是，量纲矩阵为：,其中rank(A)=4,线性齐次方程组AY=0 有6-4=2个基本解。,u r t e c k,于是可得两个相互独立的无量纲的量：,根据隐函数存在定理可得： 。,在此g无法确定，量纲分析法只能给出 温度函数依赖于其他参数的关系，具体的 形式不能给出。因为这些函数是无量纲 的，实际中有时可以通过实验数据进行模

19、拟检验。,另一方面，该问题也可用热传导方程求解， 得：,注意： 1、基本量纲的选取方法不是唯一的。,2、量纲分析法虽然可以得到一些重要的结 果，但有很大的局限性，主要是用于对实际 问题的定性描述。,（二）、集合分析法,将事件发展的全过程作为一个 集合，将影响事件的各要素作为集 合的元素，进行整体分析的方法， 称为集合分析法。,建模实例：合理分派与会成员问题 （1997年美国大学生数学建模竞赛B题）,一、问题提出 AnTostal公司的一次董事会议，参加者为29位公司董事会成员，其中9位是在职董事（即公司的雇员）。会期一天，每个小组上午开三段，下午开四段，每段会议开45分钟，从上午九点到下午四点

20、每整点开始开会，中午12：0012：40午餐。上午的每段会议都有六个小组开会，每个小组都由一位非董事会的资深高级职员来主持。因此，每位资深高级职员都要主持上午的三个不同的讨论会。这些职员不参加下午的讨论会，而且,下午的每段会议开只有四个不同的小组讨论会。,公司董事长需要一份由公司董事参加的7段分组会议的每个小组的分配名单，这份名单要尽可能多的把董事均匀搭配，理想的搭配应该是任意两个董事同时参加一个小组讨论会的次数相同，与此同时，要使在不同时段的小组会中同在一起开会的董事总数达到最少。,名单搭配中还需满足以下两个准则： 1、在上午的讨论会上，不允许一位董事参加由 同一位资深高级职员主持的两次会议

21、。,2、每个分组讨论会都应将在职董事均匀分配到 各小组中。,给出一份1-9号在职董事，10-29号董事，1-6号公司资深高级职员的分组搭配名单，说明该名单在大多程度上满足了前面提出的各种要求和规则，因为有的董事可能在最后一分钟宣布不参加会议，也可能不在名单上的董事将出席会议。因此，一个能使秘书能在会前一小时接到参会与否的通知情况下来调整搭配分组的算法定会得到赏识。如果算法还能用于不同水平的与会者与参加后面会议中的每一类与会者合理搭配的话，那就更理想了。,二、模型假设 1、各场会议间及各小组之间是相对独立的。 2、所有资深高级职员和董事会成员都严格遵守派遣方案。 3、若能够满足每位董事出席会议的

22、次数都相等，则模型被认为是理想的。 4、6位资深高级职员之间无差异，同样，9位在职董事之间、20位外部董事之间也是无差异的。,5、引入符号：,O=oii=1,2,6为资深高级职员集合。 M=mii=1,2,29为董事会成员集合。 I(9)=mii=1,2,9为在职董事会成员集合。 E(20)=mii=10,11,29为外部董事会成员 集合。 Gn表示在一次分组会议中第n(1n6)组的与会 成员的集合。 Gn(k)=表示分组会议的第n(1n6)组经过k次分派(每次分派一名成员)后的会议成员集合。,aij表示董事会第i位成员与第j位成员分在同一组的次数 (1i,j29,ij)。 W(k)表示两位董

23、事会成员分在同一组时所赋予的权重。 bij表示资深高级职员oi(i=1,2,6)与董事会成员 mj(j=1,2,29)在此之前是否同组的指标，即当属于同 一组时取值为1，否则取值为0。 Ri(k)=Gi(k)I(9)表示在Gi(k)中在职董事的数量。 hi/2表示董事会两位在职董事在同一个讨论组中达到i次 的对数。 ti表示第i组中在职董事数与外部董事数之比。,三、模型分析 根据问题的具体要求，我们注意到分组工作要遵循如下两个原则： 1、均衡分派原则：尽可能使得各讨论组成员人数均等。 2、分派比例原则：各讨论组的在职董事数与外部董事的比例要大致相等。 据此我们得到两种分派方案：,方案一：如果公

24、司总裁更希望使各组的成员人数尽可能相等，则每场上午分组会议共分为6组，其中一组由4名董事会成员组成，其余五组每组由5名董事会成员组成。其中有三个小组每组有2名在职董事，另外三组每组只有1名在职董事，具体对于每组成员的分派都是随机的。,方案二：如果公司总裁更希望使各组的与会成员成员的比例尽可能相等，即要求各组中在职董事与外部董事的比例应该近似相等，大致为9/20=0.45:1。那么最接近的方案为： 上午：t1=1:2,t2=1:2,t3=1:2,t4=2:4,t5=2:5,t6=2:5 或者上午： t1=1:2,t2=1:2,t3=1:3,t4=2:4,t5=2:4t6=2:5 下午：t1=2:4,t2=2:4,t3=2:5,t4=3:7,四、模型建立 模型：第一分派方案 第一步：上午第一场会议的分派方案。 首先，随机的把29名董事会成员大致均匀的分派成6组，其中一组由4名成员组成，其余五个组每组由5各成员组成。然后，随机的将集合O中的6位资深高级职员分配到每一