人教版八年级（初二）数学下册全册同步讲义定稿

1、春季初二数学目录第 1 讲 二次根式2第 2 讲 勾股定理15第 3 讲 勾股定理逆定理38第 4 讲 本章复习与检测51第 5 讲 平行四边形61第 6 讲 矩形71第 7 讲 菱形84第 8 讲 正 方形92第 9 讲 本章复习与检测106第 10 讲 一次函数的解析式125第 11 讲 一次函数的应用138第 12 讲 本章复习与检测164第 13 讲 数据的集中趋势180第 14 讲 数据的波动程度187第 15 讲 本章复习与检测196第 16 讲 一元一次方程的解法208第 17 讲 一元二次方程的应用220第 18 讲 本章复习与检测2275第 1 讲二次根式入门检测x -11.

2、 若代数式 2x - 3 有意义，则 x的取值范围是A. x 1B. x 1C. x 1且 x 32Dx 1 且 x 3232. 下列四个算式正确的是363A+3=B 23=2(-4)(-9)-9C=-4 D 4-3 3=1-a3b3（15 年四中期中）已知b 0 ，化简二次根式的正确结果是A. -a -abB. - aC. aD aabab- ab4（15 年西城期末）函数 y =x +1 中，自变量 x的取值范围是 x - y5（15 年顺义期末）已知：=1， (x + 2y)3 = 343，求代数式3x + 2 y 的值二次根式概念。有意义的条件形如 a(a 0) 的式子叫二次根式，其中

3、 a 叫被开方数，只有当 a 是一个 时，a 才有意义 注：双重非负性1 根式本身具有非负性；2 被开方数一定是非负数【例】函数 y=中自变量 x 的取值范围是Ax3Bx3Cx3Dx3【练习】1（15 顺义期末）若代数式x - 2x -3有意义，则 x 的取值范围是A. x 2且x 3B. x 2C. x 3D. x 2且x 32（17 石景山期末）若代数式有意义，则 x 的取值范围是Ax-2B x-2C x-2D x-2x - 53（17 朝阳区期末）二次根式 2有意义，则 x 的取值范围是 4在实数范围内有意义，则 x 的范围是 5（17 怀柔区期末）请你写出一个二次根式，要求被开方数只含

4、有字母 a，且无论 a 取任何数值时，这个二次根式都有意义，这个二次根式可以是 二次根式的性质-a(a 0)a2 = | a | = a(a 0)或者：31非负性： a(a 0) 是一个非负数2 ( a)2 = a(a 0)【例】（17 平谷区第一学期 15）化简 （x - 5)2(x 5）= 【练习】(-3)21. 化简二次根式等于9A 3B -3C 3D2. 已知 x1，则x2 - 2x +1 化简的结果是 (2 - x)2(3 - x)23（15 年三帆中学期中）若 2 x 3 ，那么+的值为 x + y -1【例】若+ ( x - y +1)2 = 0 ，求 xy 【练习】1. 若实数

5、 a 、b 满足(a + 2)2 += 0 ，则= b - 4ab3y - 22. 如果 x -+= 0 ，则 x y 的值是 3. 若m-3+(n+1)2 = 0，则 m+n的值为 最简二次根式最简二次根式的定义：1 被开方数是 ，因式是 ；2 被开方数中不含能开得尽方的数或因式【例】（15 年西城期末）下列二次根式中，最简二次根式是12B 175a3A. C 75D【练习】1（15 年西城七中期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是12845ABCD2（17 西城区期末）下列二次根式中，最简二次根式是x -1181169a2ABCD3（15 年海淀期末）下列根式中，最简二次根式是25a0

6、.5a3a 2 + b 2ABCD4（17 丰台区期末）下列式子为最简二次根式的是1312810ABCD春季初二数学同类二次根式同类二次根式（可合并的根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果 相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式6【例】（15 年 41 中期中）若最简二次根式1+ a与 4 - 2a 是同类二次根式，则 a 的值为A. a = - 34B. a = 43C. a = 1D. a = -1【练习】1（15 年十三中分校期中）下列二次根式： 12 ；22 ；233； 27中，与是同类二次根式的是A和B和C和D和22（17 昌平区期末）下列二次根式中，与是

7、同类二次根式的是8A 4BC 12D 2723（17 怀柔区期末）下列二次根式中可以和相加合并的是14181312ABCD春季初二数学分母有理化1. 分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化2. 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为 有理化因式有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用 a a =a来确定，如： a与 a ， a +b与 a +b ， a -b 与 a-b 等分别互为有理化因式 两项二次根式： 利用平方差公式来确定 如 a + b 与 a - b ， a + b与 a - b ，a x + b y与a x -b y

8、 分别互为有理化因式7【例】已知a、b为两个连续的整数，且 a 2 8 b ，则 a + b = 【练习】1（15 年海淀期末）如果 49a的值是一个整数，且a是大于1的数，那么满足条件的最小的整数a = 2. 如图在数轴上点 A 和点 B 之间表示整数的点共有 个(a -1)2(a - 2)23. 如果实数 a 在数轴上的位置如图所示，那么+为A1B-1C2aD-2a春季初二数学二次根式相关运算加减运算：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系 相加减 ，被开方数 不变 ab （ a 0 ， b 0 ）二次根式的乘法：a b b （ a 0 ， b 0 ）a

9、ab =乘除运算：积的算术平方根：【例】（17 门头沟期末）下列计算正确的是11A (-2 )2 = 2(-5)2B= -5263a2bC=D= a b (a 0, b 0 时，如果 a 2 b2 ，则 a b ；如果 a 2 b2 ，则 a 0 a b ； a - b 0 a b8、求商比较法a 0, b 0 时，如果 a b ，则 a b ；如果 a ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”或“ 0 且 x 1B. x 0C. x 1D. x 0 且 x 14如果实数 a 在数轴上的位置如图所示，那么( a -1) 2 += a + 25（15 年平谷期末）若+ b -3 = 0，则ab

10、 = 6若x-2y +9 与 x - y -3 互为相反数，求 x+y 的值487计算： (p- 3.14)0 - -231 - -2 312188计算：- 4- (- 8) 第 2 讲勾股定理入门检测1（15 年师大实验二龙路中学期中）若一直角三角形两边长为 4 和 5，则第三边长为A3B 41C3 或 41D不确定2（15 年三帆期中）如图，数轴上点 M 所表示的数为 m，则 m 的值是55A-1B-+1C+1D553（17 年北师大附中期中）直角三角形两直角边的长度分别为 2 和 4，则第三边的长为 A10B5C96D484（17 三帆中学期中）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳

11、子垂到地面还多 1米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是A8 米B10 米C12 米D14 米5（15 年 56 中期中）梯子的底端离建筑物 5 米，13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是 米6（15 年 62 中期中）如图是由边长为 1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明延图中所示的折线从 A B C A 所走的路程为 勾股定理概念如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 a 2 + b 2 = c 2 ；这一定理在我国被称为勾股定理【例 1】（ 19 年丰台期末） 直角三角形两边长分别为 3 和 4 ， 那么该直角三角形第三边长为 【练习

12、 1】1（17 年 35 中期中）直角三角形的两条边为 3 和 4，则第三边的长为7A5BC5 或D无法确定72（17 年铁二中期中）若一个直角三角形的两条边的长分别为 12 和 5，则三角形的第三边的长为 3（19 年 56 中期中）如下图，已知 OA=OB，那么数轴上点 A 所表示的数是 BA1- 4 - 3 - 2- 10123勾股定理求边长在 RtDABC 中， C = 90 o ，已知其中两边边长，求第三边边长a 2 + b2 = c 2 ， a =c2 -b2 ， b =c2 -a2 ， c =a2 +b2【例 2】1（16 年西城期末）如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且与新

13、兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处如果小强同学站在平安路与新兴 大街的交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为 m2（15 年 66 中期中）由于台风的影响，一棵树在离地面 6m 处折断，树顶落在离树干底部8m 处，则这棵树在折断前的高度是A18mB16mC10mD8m6 m8 m 3（19 年 35 中期中）ABC 中，C=90，A，B，C 的对边分别为 a, b, c （1）若 a : b = 3 : 4, c = 25 ，求 a, b.（2）若c - a = 4, b = 12, 求 a,c.4（16 年朝阳期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中

14、，已知点 B（3，4），BAx 轴于 A（1） 画出将OAB 绕原点 O 逆时针旋转 90后所得的的OA1B1，并写出点 B 的对应点 B1 的坐标为 ；（2） 在（1）的条件下，连接 BB1，则线段 BB1 的长度为 25（18 年昌平期末）如图，已知ABC 中，ACB=90，AC=BC=角形，求 CD 的长度，ABD 是等边三6（16 年石景山期末）如图 1 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若 AC = 6 ， BC = 5 ，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到如图 2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是A76B72C

15、68D527（18 年怀柔期末）已知：如图，ABC 中，ABC=45，CDAB 于 D，BE 平分ABC，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G（1） 判断 AC 与图中的那条线段相等，并证明你的结论；（2） 若 CE 的长为 3 ，求 BG 的长【练习 2】1（16 年昌平期末）如图，矩形网格由小正方形构成，每一个小正方形的边长都为 1，点 A和点 B 是小正方形的顶点，则点 A 和点 B 之间的距离为 2.（ 17 年教育学院附属中学） 如图， 把两块相同的含 30 角的三角尺如图放置， 若6AD = 6cm，则三角尺的最长

16、边长为 3（19 年门头沟期末）在直角三角形 ACB 中，C=90，AB=4，AC=2，现操作如下：过点 C 做 CP1AB 于点 P1，得到 RtCP1B，过点 P1 做 P1P2CB 于点 P2，得到 RtP1P2B， 按照相同的方法一直操作下去，则 P1P2= ；PnPn+1= 4（16 年密云期末）已知ABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，ABC 的顶点 A、B、 C 都在格点上（1） 作出ABC 关于原点 O 的中心对称图形A1B1C1（点 A、B、C 关于原点 O 的对称点分别为 A1、B1、C1）；（2） 写出点 C1 的坐标及 CC1 长；（3） BC 与 BC1 的位置关系

17、为 5（19 年石景山期末）如图建立了一个由小正方形组成的网格（每个小正方形的边长为 1）（1） 在图 1 中，画出ABC 关于直线l 对称的 A B C ；（2） 在图 2 中，点 D，E 为格点（小正方形的顶点），则线段 DE= ；若点 F 也是格点且使得DEF 是等腰三角形，标出所有的点 F图 1图 26（16 年门头沟期末）如图，在每个小正方形的边长均为 1 个单位长度的方格纸中，有线段 AB 和直线 MN，点 A、B、M、N 均在小正方形的顶点上（1） 在方格纸中画四边形 ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD 是以直线 MN 为对称轴的轴对称图形，点 A

18、的对称点为点 D，点 B 的对称点为点 C；（2） 请直接写出四边形 ABCD 的周长利用勾股定理求高与面积= d2正方形S，四边形S= dh= dh2 ，DABCS222= aha = bhb = chcDABCS【例 3】1（ 15 年师大附中期中）直角三角形两直角边长分别为 5 和 12， 则它的斜边上的高为 2（19 年 66 中期中）如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，AC=3，BC=4，则 CD= 3（18 年怀柔期末）如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 1 和 9，则 b 的面积为A8B9C10D114（16 年海淀期末）如

19、图，四边形 ABCD 中，AB10，BC13，CD12，AD5，ADCD，求四边形 ABCD 的面积5（17 年西城八中期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，若 S1+S2+S3=144，则 S2 的值是A48B36C24D25【练习 3】1（18 年 15 中期中）如图，在菱形 ABCD 中，AB=5，对角线 AC=6，若过点 A 作 AEBC，垂足为 E，则 AE 的长为 2（

20、19 年西城铁二中）如图，直线l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 5 和11，则 b 的面积为A4B6C16D553（17 年 35 中学期中）如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，s1 =9，s2 =16，s3 =144，则s4 = 4（17 年三中期中）等腰三角形的腰长为 10,底长为 12,则其底边上的高为 5（17 年 39 中期中）直角三角形的两条直角边的长分别为 6 和 8，则斜边上的高为 6（19 年昌平期末）如图，已知，MN 是 AD 的垂直平分线，点 C 在 MN 上，MCA=20，ACB=90，CA=CB=5， BD 交 MN 于点

21、 E，交 AC 于点 F，连接 AE（1） 求CBE，CAE 的度数；（2） 求 AE2+BE2 的值7（19 年房山期末）中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明， 而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法在图 1 中，小正方形 ABCD 的面积为 1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形 A1B1C1D1，则正方形 A1B1C1D1 的面积为 ；再把正方形 A1B1C1D1 的各边分别延长一倍得到正方形 A2B2C2D2（如图 2），如此进行下去，得到的正方形 AnBnCnDn 的面

22、积为 （用含 n 的式子表示， n 为正整数）8（16 年 66 中期中）阅读下列材料：5、 10 、小明遇到这样一个问题：已知：在ABC 中，AB，BC，AC 三边的长分别为13 ，求ABC 的面积小明是这样解决问题的：如图 1 所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中画出格点ABC（即ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网 格就能计算出ABC 的面积他把这种解决问题的方法称为构图法请回答：（1） 图 1 中ABC 的面积为 ；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：529（2） 图 2 是一个 66 的正方形网格（每个小正方形的边长为 1） 13利用构图法

23、在答题卡的图 2 中画出三边长分别为DEF；计算DEF 的面积为 、 2、的格点（3） 如图 3，已知PQR，以 PQ，PR 为边向外作正方形 PQAF，PRDE，连接 EF若17PQ = 2 2, PR = 13,QR =，则六边形 AQRDEF 的面积为 图 1图 2图 3列方程求线段长在已知的直角三角形中，将未知的线段设为 x，利用勾股定理，求出未知线段【例 4】1（17 年 159 期中）九章算术中芦苇问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？”译文：“有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺如

24、果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边，它的顶端恰好到达池边的水面。水池的深度为 这根芦苇的长度为 2（19 年平谷期末）我国古代的数学家很早就发现并应用勾股定理，而且尝试对勾股定理做出证明最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽如图，就是著名的“赵爽弦图”ABE，BCF，CDG 和DAH 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和 EFGH 都是正方形已知 AB=5，AH3，求 EF 的长小敏的思路是设 EF=x， 根据题意，小敏所列的方程是 3（1 年东城期末）如图，沿折痕 AE 折叠矩形 ABCD 的一边，使点 D 落在 BC 边上一点 F处若 AB=8，且ABF 的面积为

25、 24，则 EC 的长为 4（19 年师大附中期中）把一张矩形纸片 ABCD 按如右图方式折叠，使顶点 B 和顶点 D 重合，折痕为 EF若DEF=60，FC=2，则 BF 的长为 5（15 年 66 中期中）把一张矩形纸片（矩形 ABCD）按如图方式折叠，使顶点 B 和点 D 重合，折痕为 EF若 AB =4cm，BC=8cm，则重叠部分DEF 的面积是 cm2 A5B75C10D156（17 年三中期中）已知，如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，如果 AB=8cm，BC=10cm，求 EC 的长【练习 4】1（16 年石景山期末）我国传统数学重要著作九章算

26、术内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有 246 个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术九章算术中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺问：折者高几何？” 译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部 3 尺远问：原处还有多高的竹子？（1 丈=10 尺）答：原处的竹子还有 尺高2（19 年怀柔期末）九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术其中，方程术是九章算 术最高的数学成就九章算

27、术“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈问户高、广各几何？”译文：已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，那么门的高和宽各是多少？（1 丈=10 尺，1 尺=10 寸）设长方形门的宽 x 尺，可列方程为 3（16 年大兴期末）印度数学家什迦罗（1141 年1225 年）曾提出过“荷花问题”：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花 离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？如图所示：荷花茎与湖面的交点为O，点 O 距荷花的底端 A 的距离为 05 尺；被强风吹一边后，荷花底端与湖面交于点B，点 B 到点 O

28、 的距离为 2 尺，则湖水深度 OC 的长是 尺4（19 年二中分校期中）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD、AC 于点 E、O，连接 CE，则 CE 的长为A3B35C25D285（16 年怀柔期末）已知：如图，折叠矩形 ABCD，使点 B 落在对角线 AC 上的点 F 处，若 BC=4，AB=3，则线段 CE 的长度是255AB82C3D286（19 年 14 中期中）如图，折叠矩形的一边 AD，点 D 落在 BC 边上点 F 处，已知 AB=8， BC=10，则 EC 的长是A3B4C5D67（17 西城外国语期中）如图，边长为 8cm

29、 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边中点 E 处，点 A 落在点 F 处，折痕为 MN，求线段 CN 的长.8（19 年 35 中期中）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使 AD 边 与对角线 BD 重合，折痕为 DG，则 AG 的长为 9（17 年四中期中）如图，在正方形 ABCD 中，ABE 和CDF 为直角三角形，AEB=CFD=90O,AE=CF=5,BE=DF=12,则 EF 的长是 出门检测551（15 年师大附中期中）如图，数轴上点 A 所表示的数为 a，则 a 的值是55A-1B-+1C+1D-3-1-2011A 232（17 年 1

30、59 中学期中）如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 5和 11，则 b 的面积为 A4B6C16D553（17 年北师大附属实验中学）如图有两棵树，一棵高8 m ，另一棵高2 m ，两树相距8 m ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 m .4（19 年西城期末）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 所在直线折叠，点 C 落在同一平面内，落点记为 C，BC与 AD 交于点 E，若 AB=3，BC4，则 DE 的长为 ACEDBC5（17 年 44 中期中）阅读材料，回答问题：（1） 中国古代数学著作周髀算经有着这样的记载：“勾广三，股修四，经

31、隅五”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为 3 和 4 时，那么斜边的长为 5”上述记载表明了：在 RtABC 中，如果C=90，BC=a，AC=b，AB=c，那么 a，b，c 三者之间的数量关系是： （2） 对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如下图，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：SABC = 1 ab ， S= c2 ，2正方形ABDES正方形MNPQ = 又 = ， (a + b)2 =4 1 ab + c2 ，2整理得 a2 + 2ab + b2 =2ab + c2 ， 6（19

32、年 14 中期中）如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，BC=1，CE=3，H 是 AF 的中点，求 CH 的长7.（17 年教育学院附属中学）已知：如图，矩形 ABCD 被一些线段分割成四部分， 其中某些线段的长度如图中所示，已知这四部分可以没有重叠、没有空隙地拼成一个正方形（1） 求出所拼得正方形的边长，并写出计算过程；（2） 求证：EAF=CGH；（3） 将五边形 DEFGH 的位置不动，在图中用实线补全拼接后得到的正方形，并标出图中所有线段的长（在不添加新线段的条件下）图图课后作业1（15 年西城月坛中学期中）如果直角三角形两直角边为 512，则斜边上的

33、高与斜边的比为A6013B512C1213D601692（15 年八中期中）ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高 AD=12，则 BC 的长为2A25B7C25 或 7D14 或 4 3（15 年 35 中期中）若三角形的三边长分别为 2, 6,2, 则此三角形的面积为A2B2C3D324（16 年门头沟期末）如图，RtABC 中，AB=9，BC=6，B=90，将ABC 折叠，使 A点与 BC 的中点重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为2A 2B 2 3C4D55（15 年三帆期中）如图，在长方形 ABCD 中，AC 是对角线，将长方形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转 90到

34、长方形 GBEF 位置，H 是 EG 的中点，若 AB=6，BC=8，则线段 CH 的长为4121A 2 5BC 2 10D6（17 年七中期中）若正方形的面积为 16cm2,则正方形对角线长为 7 （ 17 年八中期中） 古希腊的哲学家柏拉图曾指出， 如果 m 表示大于 1 的整数，a = 2m,b = m2 - 1,c = m2 + 1，那么 a,b,c 为勾股数，请你根据柏拉图的发现，写出一组满足条件的勾股数 .8（15 年师大实验二龙路中学期中）如图一个圆柱，底面圆周长 6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A 点爬到 B 点，则最少要爬行 cmBA9（15 年三帆期中）如图，

35、矩形纸片 ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使 AD 边与对角线BD 重合，折痕为 DG，则 AG 的长为 10（15 年西城外国语学校期中）已知：如图，在ABC 中，ACB=90，A=30，AB=4，D 是 AB 延长线上一点且CDB=45，求：DB 与 DC 的长11（15 年师大附中期中）如图，四边形 ABCD 中，AD/BC，ABC=45，ADC=120 ，2AD=DC，AB= 2，求 BC 的长A DBC12（15 年师大附中期中）根据题意作出图形，并回答相关问题：（1） 现有 5 个边长为 1 的正方形，排列形式如图 1，请在图 1 中用分割线把它们分割后标上序号，重新在图

36、 2 中拼接成一个正方形（标上相应的序号）图1图2（2） 在ABC 中，AC=BC=2，ACB=90，D 是 BC 边上的中点，E 是 AB 边上一动点，在右图中作出点 E，使 EC+ED 的值最小 （不写作法，保留作图痕迹） ， 此时 EC+ED 的值是 ACDB13（15 年师大附中期中）有一块直角三角形纸片，两直角边 AC = 6cm，BC = 8cm如图1，现将纸片沿直线AD 折叠，使直角边AC 落在斜边AB 上，则CD = cmACDB图 1图 2如图 2，若将直角C 沿 MN 折叠，点 C 与 AB 中点 H 重合，点 M、N 分别在 AC、BC 上，则 AM 2 、 BN 2 与

37、 M N 2 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论14（15 年 35 中期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图 1 或图 2 摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图 1 证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图 1 所示摆放，其中DAB=90，求证： a 2 + b2 = c2 .证明：连结 DB，过点 D 作 BC 边上的高 DF，则 DF=EC=b aS 四边形 ADCB=SACD+SABC=b2+ab又S 四边形 ADCB=SADB+SDCB=c2+a（ba） b2+ ab= c

38、2+ a（ba） a 2 + b2 = c2 .请参照上述证法，利用图 2 完成下面的证明将两个全等的直角三角形按图 2 所示摆放，其中DAB=90求证： a 2 + b2 = c2 .第 3 讲勾股定理逆定理入门检测1. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 2 米,当他把绳子的下端拉开 6 米后，发现绳子拉直且下端刚好接触地面，则旗杆的高是A4 米B6 米C8 米D10 米2. 如图，在RtDABC中C =90o ，若 AB=15,则正方形 ADEC 和正方形 BCFG 的面积和为A150B200C225D无法计算A DEB FC2 题图3 题图3. 已知：如图，折叠矩

39、形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EC 的长 4. 直角三角形的两条边长分别为 2 和 3，则另一条边长为 勾股定理逆定理勾股定理逆定理：如果三角形中的三边长 a，b，c 满足 a 2 + b 2 = c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理【例 1】1. 下列各组数中，以 a 、b 、c 为边长的三角形不是直角三角形的是A a = 3 ， b = 4 ，c = 55C a = 1 ， b = 2 ， c =B a = 5 ， b = 12 ， c = 13D a = 3 ， b = 2 ， c =

40、322. 若ABC 的三边长分别为 a、b、c，且 a2+2ab=c2+2bc，则ABC 是A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形3. 对于任意两个正整数 m、n（mn），下列各组三个数为勾股数的一组是A m2 + mn，m21，2mnB m2n2，2mn，m2 + n2C m2n2，2mn，m2 + n2D n21，n2 + mn，2mn【练习 1】1. 下列各组数中以 a，b，c 为边的三角形不是直角三角形的是Aa=2，b=3，c=4Ba=7，b=24，c=25Ca=6，b=8，c=10Da=3，b=4，c=5 2由下列条件不能够判定ABC为直角三角形的是A. A + B = CC (b + c )(b - c ) = a 2B A：B：C = 1：3：2D a = 3 + k , b = 4 + k , c = 5 + k (k0)3下列定理中，没有逆定理的是A直角三角形两锐角互余B. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方C两直线平行，同位角相等D对顶角相等通过勾股数判断直角三角形满足 a 2 + b 2 =