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文档简介
1、1.3.3导数的实际应用,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题,通过前面的学习,知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具,本节我们运用导数,解决一些生活中的优化问题。,解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0x60).,令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 16000.,由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.,答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.,如果函数f(x)在开区间(a,b)上只有一个极值
2、点,那么这个极值点必定是最值点。,问题1:海报版面尺寸的设计,学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传,现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128cm2,上下边各空2cm,左右空1cm,如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?,解:设版心的高为xcm,则宽为,此时四周空白面积为,学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传,现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128cm2,上下边各空2cm,左右空1cm,如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?,解:设版心的高为xcm,则宽为,此时四周空白面积为:,求导数,有,解得,x=16 (x=-16舍去),
3、因此,x=16是函数s(x)的极小值点,也是最小值点。,所以,当版心高为16cm,宽为8cm时,能使四周空白面积最小。,答:当版心高为16cm,宽为8cm时,海报四周空白面积最小。,解法二:由解法(一)得,练习1、一条长为l的铁丝截成两段,分别 弯成两个正方形,要使两个正方形 的面积和最小,两段铁丝的长度分 别是多少?,则两个正方形面积和为,由问题的实际意义可知:,例3.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般 比大包装的要贵些? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 背景知识:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。 瓶子的制造成本是 分,其中
4、r 是瓶 子的半径,单位是厘米.已知每出售1 ml 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能 制作的瓶子的最大半径为 6cm. 问题()瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? ()瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?,解:由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是,令,当,当半径r时,f (r)0它表示 f(r) 单调递增, 即半径越大,利润越高; 当半径r时,f (r)0 它表示 f(r) 单调递减, 即半径越大,利润越低,1.半径为cm 时,利润最小,这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本, 此时利润是负值,半径为cm时,利润最大,解决优化问题的方法之一:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决在这个过程中,导数往往是一个有利的工具,其基本思路如以下流程图所示:,方法小结,优化问题,用函数表示数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,建立数学模型,解决数学模型,作答,表面积,设半径为R,则高为h,表面积写成R的函数,问题就转化求函数的最值问题,解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2rh+2r2.,由V=r2h,得 ,则,令 ,解得 ,从而 ,即h=2r.,由于S(r)只有一个极值,所
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