高二数学理寒假专题——数列：等差数列与等比数列的性质及其应用苏教版知识精讲（通用）

1、高二数学理寒假专题数列：等差数列与等比数列的性质及其应用苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：寒假专题数列：等差数列与等比数列的性质及其应用二. 本周教学目标： （1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。 （2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。 （3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题。三. 本周知识要点： 1. 一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 2. 等差数列的通项公式：an=a1+（n1）d，an=ak+（nk

2、）d（其中a1为首项、ak为已知的第k项）当d0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。 3. 等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn= 当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a10），Sn=na1是关于n的正比例式。 4. 等差数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 5. 等差中项公式：A= （有唯一的值） 6. 等比数列的通项公式： an= a1 qn1 an= ak qnk （其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0） 7. 等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 （是关于n的正比例式）； 当q1时，Sn= Sn= 8. 等比中项公

3、式：G= （ab0，有两个值） 9. 等差数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2mSm、S3mS2m、S4mS3m、仍为等差数列。 10. 等差数列an中，若m+n=p+q，则 11. 等比数列an中，若m+n=p+q，则 12. 等比数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2mSm、S3mS2m、S4mS3m、仍为等比数列（m为偶数且公比为1的情况除外）。 13. 两个等差数列an与bn的和差的数列an+bn、anbn仍为等差数列。 14. 两个等比数列an与bn的积、商、倒数的数列anbn、仍为等比数列。 15. 等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 16. 等

4、比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 17. 三个数成等差的设法：ad，a，a+d；四个数成等差的设法：a3d，ad，a+d，a+3d 18. 三个数成等比的设法：a/q，a，aq；四个数成等比的错误设法：a/q3，a/q，aq，aq3 （因为其公比为0，对于公比为负的情况不能包括） 19. an为等差数列，则 （c0）是等比数列。 20. bn（bn0）是等比数列，则logcbn （c0且c1） 是等差数列。【典型例题】 例1. 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列，求公比q 解：设等差数列的通项an = a1+（n1）d（d0） 根据题意得 a32 = a2a6 即

5、（a1+2d）2 = （a1+d）（a1+5d） 解得 所以 例2. 设各项均为正数的数列an和bn满足:an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an，bn。 解：依题意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 a2n+1 = bnbn+1 an、bn为正数，由得 代入并同除以得： 为等差数列 b1 = 2 ， a2 = 3 ， 当n2时， 又a1 = 1，当n = 1时成立， 例3. 在等比数列an的前n项中，a1最小，且a1+an=66，a2 an1=128，前n项和Sn=126， 求n和公比q 解：an为等比数列 a1

6、an=a2an1 由a1an=128 ， a1+an=66 且 a1最小 得a1=2 ，an=64 解得 2qn1=64，2n=64 解得n=6， n=6，q=2 例4. 已知：正项等比数列an满足条件： ； ； 求的通项公式 解：易知 ， 由已知得 得 ，即 ， 得 即 ， 即 ，即 例5. 在等比数列an中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am， am+2， am+1成等差数列。 （）写出这个命题的逆命题； （）判断逆命题是否为真，并给出证明 解：（）逆命题：在等比数列an中，前n项和为Sn，若am，am+2，am+1成等差数列，则 Sm，Sm+2，Sm+1成等差数

7、列。 （）设an的首项为a1，公比为q 由已知得2am+2= am + am+1 2a1qm+1=a1+a1qm a10 q0 ，2q2q1=0 q=1或q= 当q=1时 Sm=ma1， Sm+2= （m+2）a1，Sm+1= （m+1）a1 Sm+Sm+12 Sm+2 Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列 当q=时 Sm+Sm+1=2 Sm+2 Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列 综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q1时，逆命题为真。 点评：对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题。 小结： 1. 等差数列

8、和等比数列的通项公式、前n项和公式联系着五个基本量：a1，d（或q），n，an，Sn“知三求二”是最基本的运算，充分利用公式建立方程是最基本的思想方法。 2. 列举一些项来判断“关系”和“性质”是解决数列问题常用的思路和手段。 3. 解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用。【模拟试题】（答题时间：45分钟） 1. 数列1，1/3，1/7，1/16，1/31，的一个通项公式为an= 。 2. 数列a，b，a，b，的一个通项公式an= 。 3. 数列an的前n项之和为Sn=3+2n，则其通项公式为an= 。 4. 数列an满足a1=1，an=

9、an1/2+1 （n2），求其通项公式。 5. 数列an中，已知a1=c，an+1=pan+q，（p1），求an的通项公式。 6. 数列an满足a1=1/2，a1+a2+an=n2an，求an。 7. 数列an的前n项之和Sn和第n项an之间满足2lg=lgSn+lg（1an），求an和Sn。 8. 数列an与bn的通项公式分别为an=2n，bn=3n+2，它们的公共项从小到大排成的数列是cn，（1）写出cn的前5项；（2）证明cn是等比数列。【试题答案】 1. 1/（2n1）； 2. （a+b）+（1）n1（ab）； 3. ； 4. 21/2n1 5. 略 6. a1+a2+an=n2an，

10、a1+a2+an1=an1 an/an1=（n1）/（n+1）取n=2，3，4，n代入上式，各式相乘得： an/a1= （注意上述变形方法，一个式子可以变化成无穷多个式子，这就是函数思想） 7. 原式可以变为（Snan+1）2=4Sn（1an）a1=1/2 可以变为（Sn1+1）2=4Sn（1+Sn1Sn）（Sn1+1）24Sn（Sn1+1）+4Sn2=（Sn1+12Sn）2=0Sn1+1=2SnSn=Sn1/2+1/2 如果有常数x，使得Sn+x=（Sn1+x）/2 比较原式可得：x/2=1/2x=1 Sn1=（Sn11）/2Sn=（S11） = 从而an=SnSn1= 另解：直接由原式移项配方可得： Sn（1an）2=0Sn=1an， Sn1=1an1两式相减得： an=SnSn1=an1an（适合n=1）an=an1/2，an为等比数列，an= 点评：以上两种解题的思路有所不同，第一种方法是从an转向Sn，第二种