二次函数讲义VIP

1、二次函数讲义2.1 二次函数所描述的关系知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0典型例题：例1、 函数y=（m2）x2x1是二次函数，则m= 例2、 下列函数中是二次函数的有（ ）y=x；y=3（x1）22；y=（x3）22x2；y=xA1个 B2个 C3个 D4个例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x，请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式例4 、如图，

2、正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一点，QPAP交DC于Q，如果BP=x，ADQ的面积为y，用含x的代数式表示y训练题:1已知函数y=ax2bxc（其中a，b，c是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数2当m 时，y=（m2）x是二次函数3已知菱形的一条对角线长为a，另一条对角线为它的倍，用表达式表示出菱形的面积S与对角线a的关系4在物理学内容中，如果某一物体质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是E=mv2（m为定值）（1）若物体质量为1，填表表示物体在v取下列值时，E的取值：v12345678E（2）若物体的运动速度变

3、为原来的2倍，则它运动时的能量E扩大为原来的多少倍？5、请你分别给a，b，c一个值，让为二次函数，且让一次函数y=ax+b的图像经过一、二、三象限6下列不是二次函数的是（ ）Ay=3x24 By=x2 Cy= Dy=（x1）（x2）7函数y=（mn）x2mxn是二次函数的条件是（ ）Am、n为常数，且m0Bm、n为常数，且mnCm、n为常数，且n0Dm、n可以为任何常数8如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏（1）求梯形的面积y与高x的表达式；（2）求x的取值范围9如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm点P从点A开始沿

4、AB方向向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围10已知：如图，在RtABC中，C=90，BC=4，AC=8点D在斜边AB上，分别作DEAC，DFBC，垂足分别为E、F，得四边形DECF设DE=x，DF=y（1）AE用含y的代数式表示为：AE= ；（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式2.2 结识抛物线知识点归纳：1、作图“三步取”：

5、一般地，二次函数图像的作法和一次函数及反比例函数图像的作法过程相同，都是三步：列表、描点、连线。 规律技巧：列表时注意以0为中心，对称取值（一般取3-4组值）。观察图像，可得抛物线的开口方向、对称轴。学习过程：一、作二次函数y=x的图象。二、议一议：1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？3.当x0时呢？4.当x取什么值时，y的值最小？5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。三、y=x的图象的性质：典型例题：例1、求出函数y=x2与函数y=x2的图象的交点坐标 例2、在同一直角坐标系中画出y=3x2、

6、y=- 3x2 的图像例3、已知a1，点（a1，y1）、（a，y2）、（a1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy2y1y3训练题：1函数y=x2的顶点坐标为 若点（a，4）在其图象上，则a的值是 2若点A（3，m）是抛物线y=x2上一点，则m= 3函数y=x2与y=x2的图象关于 对称，也可以认为y=x2，是函数y=x2的图象绕 旋转得到4若二次函数y=ax2（a0），图象过点P（2，8），则函数表达式为 5点A（，b）是抛物线y=x2上的一点，则b= ；点A关于y轴的对称点B是 ，它在函数 上；点A关于原点的对称点C是 ，它在函数 上

7、6若a1，点（a1，y1）、（a，y2）、（a1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？7如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段ABy轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ）Ay=3 By=6 Cy=9 Dy=368、函数y=ax2 (a0)的图像与直线y=-2x-3交于点（1,b） （1)求a和b的值（2）求抛物线y=ax2 的解析式，并求出顶点坐标和对称轴；（3）x取何值时，二次函数y=ax2 中的y随x的增大而增大？（4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积。9、如图，把抛物线与直线围成的图形绕原点顺时针旋转后，再沿轴向右平移1个单位得

8、到图形则下列结论错误的是（ ）A点的坐标是 B点的坐标是C四边形是矩形 D若连接则梯形的面积是3OyxB10、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米。(1)在如图3所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(米)时，桥下水面的宽度为d(米)。试求出将d表示为h的函数解析式；(3)设正常水位时,桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行。 2.3 刹车距离与二次函数学习目标:1经历探索二次函数y=ax2和y=ax2c的图象的作法和性质的过程，进一步获得

9、将表格、表达式、图象三者联系起来的经验2会作出y=ax2和y=ax2c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响3能说出y=ax2c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标4体会二次函数是某些实际问题的数学模型学习重点:二次函数y=ax2、y=ax2c的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2bxc的图象和性质的基础我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析学习难点:由函数图象概括出y=ax2、y=ax2c的性质函数图象都由（1）列表，（2）描点、连线三步完成我们可根据函数图象来联想函数性质，由

10、性质来分析函数图象的形状和位置学习过程:一、复习：二次函数y=x2 与y=-x2的性质：抛物线y=x2y=-x2对称轴顶点坐标开口方向位置增减性最值二、问题引入：你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？刹车距离与什么因素有关？有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：晴天时：；雨天时：，请分别画出这两个函数的图像三、动手操作、探究：1.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象。2.在同一平面内画出函数y=3x2与y=3x2-1的图象。比较它们的性质，你可以得到什么结论？典型例题：例1 、已知抛物线y=（m1）x开口向下，求m的值

11、例2 、k为何值时，y=（k2）x是关于x的二次函数？例3 、在同一坐标系中，作出函数y=3x2，y=3x2，y=x2，y=x2的图象，并根据图象回答问题：（1）当x=2时，y=x2比y=3x2大（或小）多少？（2）当x=2时，y=x2比y=3x2大（或小）多少？例4、已知直线y=2x3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（3，m）（1）求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积例5、如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB18m.一同学站在门内

12、，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处.根据这些条件，请你求出该大门的高度h.训练题：1抛物线y=4x24的开口向 ，当x= 时，y有最 值，y= 2当m= 时，y=（m1）x3m是关于x的二次函数3抛物线y=3x2上两点A（x，27），B（2，y），则x= ，y= 4当m= 时，抛物线y=（m1）x9开口向下，对称轴是 在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 5抛物线y=3x2与直线y=kx3的交点为（2，b），则k= ，b= 6已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（1，2），则抛物线的表达式为7在同一坐标

13、系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（ ）Ay=x2By=x2Cy=2x2Dy=x28抛物线，y=4x2，y=2x2的图象，开口最大的是（ ）Ay=x2By=4x2Cy=2x2D无法确定9对于抛物线y=x2和y=x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）A两条抛物线关于x轴对称B两条抛物线关于原点对称C两条抛物线关于y轴对称D两条抛物线的交点为原点10二次函数y=ax2与一次函数y=axa在同一坐标系中的图象大致为（ ）11已知函数y=ax2的图象与直线y=x4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（ ）A4B2CD12求符合下列条件的抛物线y=ax

14、2的表达式：（1）y=ax2经过（1，2）；（2）y=ax2与y=x2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax2与直线y=x3交于点（2，m）13如图，直线经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x21的图象，在第一象限内相交于点C求：（1）AOC的面积；（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积14有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m水位上升3m，就达到警戒线CD，这时，水面宽度为10m（1）在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式；（2）若洪水到来时，水位以每小时02m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？ 15、（2008兰州）

15、一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由（共10分）yxOBAC图220m10mEF图16m 2.4 二次函数的图象知识点归纳：1、求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：，顶点是，对称轴是直线. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点2、二次函数的图象及性质： （1）二次函数y=ax2 (a0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a