八年级数学上册 第十三章《13.1 幂的运算及整式乘法》教案 华东师大版

1、第十三章13.1 幂的运算及整式乘法教案 【同步教育信息】一. 本周教学内容： 第十四章 第一节 幂的运算及整式乘法 学习要求： 1. 初步认识同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方。 2. 理解单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的一般法则。二. 重点、难点： 学习重点： 1. 同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方。 2. 多项式与多项式相乘的法则。 学习难点： 1. 幂的乘方、积的乘方。 2. 多项式与多项式的法则。【典型例题】一. 幂的运算 1. 同底数幂的乘法： 首先观察： （1）2324=(222)(2222)=27 （2）5354=(555)(5555)=57 （3

2、）a3a4=(aaa)(aaaa)=a7 观察后得到运算的法则=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 即aman=am+n（m、n为正整数） 例1. 计算： （1）7375（2）y5y2（3）aa3an （4）amam+3（5）P2(P)4（6）(x)3x5 分析：解决此题关键是正确掌握同底数幂的乘法法则：aman=am+n（m、n为正整数），且注意有关符号的变化：(P)4=P4，(x)3=x3 解：（1）7375=73+5=78 （2）y5y2=y5+2=y7 （3）aa3an=a1+3an=a4an=a4+n （4）amam+3=am+m+3=a2m+3 （5）P2(P)4=P2P4=P6

3、（6）(x)3x5=x3x5=x8 注意： 1. 同底数幂的乘法是幂的运算的基础，非常重要。 2. 由（3）可知amanaP=am+n+P（m、n、P均为正整数） 例2. 计算： （1）(a)4(a)2(a) （2）(a)4(a2)(a) （3）x5x3x4x4+x7x+x2x6 （4）33363236+3(3)7 分析：上面几个题目均较为复杂，但主要是运用同底数幂相乘的法则，底数不同的要化成相同才能使用法则，而且是同类项的要合并。 解（1）(a)4(a)2(a)=(a)4+2+1=(a)7 （2）(a)4(a2)(a) =a4(a2)(a)=a4a2a=a4+2+1=a7 （3）x5x3x4

4、x4+x7x+x2x6=x5+3x4+4+x7+1+x2+6=x8x8+x8+x8=2x8 （4）33363236+3(3)7=33+632+6+3(37)=393838 =39238=338238 =(32)38=38 2. 幂的乘方： 观察： （1）(23)2=2323=26 （2）(32)3=323232=32+2+2=36 （3）(a3)4=a3a3a3a3=a34=a12 这也就是说：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 例3. 计算： （1）(103)5（2）(an)2（3）(am-3)2 （4）(3x2y)23（5）(x)2m（6）(x2)m 分析：解答此题的关键是掌握幂的乘方性质，即

5、：底数不变，指数相乘。(am)n=amn（m、n为正整数） 解：（1）(103)5=1035=1015 （2）(an)2=a2n （5）(x)2m=(x2)m=x2m （6）(x2)m=x2m 例4. 计算： （1）(a2)8(a4)4（2）(3x)3(x2)4 （3）(x3)2(x2)3（4）(xy)23(yx) 解：（1）(a2)8(a4)4=a28a44=a16a16=a16+16=a32 （2）(3x)3(x2)4=(3x)3(x2)4=(3x)3x24=(33x3)x8 =33x3+8=33x11 （3）(x3)2(x2)3=(x3)2(x2)3=x6(x6)=x12 （4）(xy)

6、23(yx)=(xy)6(xy)=(xy)6(xy)=(xy)7 3. 积的乘方： 观察： （1）(ab)2=(ab)(ab)=(aa)(bb)=a2b2 （2）(ab)4=(ab)(ab)(ab)(ab)=(aaaa)(bbbb)=a4b4 可得：(ab)n=anbn（n为整数） 这就是说：积的乘方等于各因数乘方的积。 例5. （1）(2b)3（2）(2a3)2 （3）(a)3（4）(3x)4 解：（1）(2b)3=23b3=8b3 （2）(2a3)2=22(a3)2=4a6 （3）(a)3=(1)3a3=a3 （4）(3x)4=(3)4x4=81x4 例6. 计算： （1）(x2)3(x2

7、y)2（2）x8y6(x4y3)2（3）2x10(2x5)2 （4）850.1255（5）1622442（用2n的形式表示） 解：（1）(x2)3(x2y)2=x6x4y2=x10y2 （2）x8y6(x4y3)2=x8y6x42y32=x8y6x8y6=0 （3）2x10(2x5)2=2x104x10=2x10 （5）1622442=(24)224(22)2=282424=28+4+4=216二、整式的乘法： 1. 单项式与单项式相乘： 例7. 计算： （1）3x2y（2xy3） （2）(5a2b3)(4b2c) 解：（1）3x2y（2xy3）=3(2)(x2x)(yy3) =6x3y4 （

8、2）(5a2b3)(4b2c)=(5)(4)a2(b3b2)c=20a2b5c 单项式与单项式相乘的法则：只要将它们的系数相乘，相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。 例8. 计算： （2）(3.2103)(5105) （3）(4a2b5c)3ab6(7b2c3) 解： =5x6y5 （2）(3.2103)(5105)=3.25(103105)=16108=1.6109 （3）(4a2b5c)3ab6(7b2c3) =(4)3(7)(a2a)(b5b6b2)（cc3） =84a3b13c4 2. 单项式与多项式相乘： 例9. 计算： （1）2

9、a2(3a25b) （2）(2a2)(3ab25ab3) 解：（1）2a2(3a25b)=2a23a22a25b=6a410a2b （2）(2a2)(3ab25ab3)=(2a2)(3ab2)(2a2)(5ab3) =6a3b2(10a3b3) =6a3b2+10a3b3 单项式与多项式相乘的法则：将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加。 例10. 计算：x(x21)+2x2(x+1)3x(2x5) 解：原式=x3x+2x3+2x26x2+15x =3x34x2+14x 例11. 已知：ab2=6，求ab(a2b5ab3b)的值。 分析：此题应该先将单项式与多项式相乘，得出一些关于ab

10、2的代数式，然后再求结果。 解：ab(a2b5ab3b) =a3b6+a2b4+ab2 =(ab2)3+(ab2)2+ab2 = (6)3+(6)2+(6) =216+366 =246 3. 多项式乘多项式： 先研究(m+n)(a+b)： 将(m+n)看成一个整体，有(m+n)(a+b)=(m+n)a+(m+n)b =ma+na+mb+nb 由此可知，多项式乘多项式的法则：多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 例12. 计算： （1）(x+2)(x3)； （2）（3x1）(2x+1) 解：（1）(x+2)(x3)=x23x+2x6=x2x6 （

11、2）（3x1）(2x+1)=6x2+3x2x1=6x2+x1 例13. 计算： （1）(x3y)(x+7y)； （2）(2x+5y)(3x2y) 解：（1）(x3y)(x+7y)=x2+7xy3yx21y2=x2+4xy21y2 （2）(2x+5y)(3x2y)=6x24xy+15yx10y2=6x2+11xy10y2 例14. 先化简，再求值： 6x2+(3x2)(12x)+(x+2)(3x)，其中x=1 解：6x2+(3x2)(12x)+(x+2)(3x) =6x2+(3x26x2+4x)+(3x+6x22x) =6x2+3x26x2+4x+3x+6x22x =x2+8x+4 =(1)28

12、+4 =5。 例15. 若不论x取何值，多项式x32x24x1与(x+1)(x2+mx+n)都相等，求m、n。 分析：先求出（x+1）与（x2+mx+n）的积，再比较积与x32x24x1的系数。它们对应项的系数应分别相等。 解：(x+1)(x2+mx+n)=xx2+xmx+xn+x2+mx+n =x3+(m+1)x2+(m+n)x+n 因为不论x取何值，两多项式相等，所以m+1=2 n=1 即m=3，n=1 本课小结： 1. 在幂的运算中，很多情况下要注意观察是否是同底数幂，若是才可以用其法则，否则，不可以用其法则。 2. 在整式的乘法中，要注意熟记这些法则，而且还要继续注意在使用幂的运算时观

13、察其底数。【模拟试题】 1. 计算： （1）(x4)3，（2）(y3)2(y2)3，（3）3y2y35yy4， （4）(P)2(P)3P4PP3(P)5 （5）t2(t3)2，（6）8x62(x2)3，（7）(xx2x3)4，（8）(y2)24 （9）12y82y2(y2)33(y4)24(yy3)2 （10）x3(x2y)4，（11）(x2x3+m)3 （12）3(x5)2(x3)2(2x3)2(x2)5 （13）(3a3)3+(3a33a6)3a9 2. 计算： （1）3xy2x2y （4）(3ab2)(2a25ab1) （5）x(xy)+x(yx) （6）3x(x24x+1)2x(3x2

14、+x5) （7）(x1)(x2+x+1) （8）x(x21)(x+1)(x2+1) （9）(x2x1)(2x+1) 3. 已知1624326=22x-1，(10)2y=1012求x+y的值。 4. 先化简再求值： (2x)(3x24x1)+6x32x，其中|x2|=0。 5. 已知(x2+px+8)(x23x+q)的乘积中不含有x2与x3的项，求p、q的值。【试题答案】 1. 计算： （1）(x4)3=x12 （2）(y3)2(y2)3=y6y6=y12 （3）3y2y35yy4=3y55y5=2y5 （4）(P)2(P)3P4PP3(P)5=P2(P3)P4P4（P5） =P9+P9=0 （

15、5）t2(t3)2=t2t6=t8 （6）8x62(x2)3=8x62x6=6x6 （7）(xx2x3)4=(x6)4=x24 （8）(y2)24=y44=y16 （9）12y82y2(y2)33(y4)24(yy3)2=12y82y83y84y8=3y8 （10）x3(x2y)4=x3x8y4=x11y4 （11）(x2x3+m)3=x6x3(3+m)=x6+9+3m=x15+3m （12）3(x5)2(x3)2(2x3)2(x2)5=3x10x62x6x10=x16 （13）(3a3)3+(3a33a6)3a9=33a9+9a93a9=33a9 2. 计算： （1）3xy2x2y=6x3y2 （4）(3ab2)(2a25ab1)=6a3b2+15a2b3+3ab2 （5）x(xy)+x(yx)=x(xy)x(xy)=0 （6）3x(x24x+1)2x(3x2+x5)=3x312x2+3x6x32x2+10x =9x314x2+13x （7）(x1)(x2+x+1)=x3+x2+xx2x1=x31 （8）x(x21)(x+1)(x2+1)=x3xx3x2x1=x22x1 （9）(x2x1)(2x+1)=2x32x22x+x2x1=2x3